עץ ההסתברויות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

דני קולע לסל בהסתברות 23\frac{2}{3}. הוא זורק פעמיים. מה יכול לקרות? ארבעה סיפורים בדיוק: קלע-קלע, קלע-החטיא, החטיא-קלע, החטיא-החטיא. עץ מסדר את הארבעה כך שאף אחד לא הולך לאיבוד.

שני הכללים

לאורך ענף — כופלים. «קלע ואז קלע» דורש ששני דברים יקרו, והדרישה הכפולה מקטינה את הסיכוי: 23×23=49\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.

בין ענפים — מחברים. «בדיוק פגיעה אחת» מתגשם בשני מסלולים נפרדים — קלע-החטיא או החטיא-קלע — וכל אחד תורם את חלקו:

23⋅13+13⋅23=49\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

שני מסלולים שאינם יכולים לקרות יחד — מחברים.

מה ההסתברות שדני יחטיא פעמיים?

להציג את התשובה והפתרון

מסלול אחד: 13×13=19\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}.

בדקו: 49+49+19\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} — כמה יוצא, ולמה זה מרגיע?

להציג את התשובה והפתרון

בדיוק 1. שלושת המאורעות — שתי פגיעות, פגיעה אחת, אפס — מכסים את כל האפשרויות, והעץ לא איבד אף מסלול.

שתי טעויות העץ.

23+23=43\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
23×23=49\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

חיבור לאורך ענף נותן הסתברות גדולה מ-1 — סימן אזהרה מובהק. דרישה כפולה מקטינה, וכפל שברים מקטין.

P(פגיעה אחת)=29P(\text{פגיעה אחת}) = \frac{2}{9}
29+29=49\frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}

מי ששכח את המסלול החטיא-קלע ספר רק חצי מהסיפור. תמיד לספור את כל המסלולים שמגשימים את המאורע.

תרגילים

תרגיל 1

דני קולע בהסתברות 23\frac{2}{3} וזורק פעמיים. מה ההסתברות לשתי פגיעות? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.44

הפתרון:

23×23=49≈0.44\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9} \approx 0.44

לאורך ענף כופלים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותם נתונים: מה ההסתברות לשתי החטאות? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.11

הפתרון:

13×13=19≈0.11\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \approx 0.11
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם נתונים: מה ההסתברות לפגיעה אחת בדיוק? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.44

הפתרון:

23⋅13+13⋅23\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}

שני מסלולים

29+29=49≈0.44\frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9} \approx 0.44
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מטילים מטבע הוגן פעמיים. מה ההסתברות לשני «עץ»? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

12×12=14\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מטילים מטבע הוגן פעמיים. מה ההסתברות ל«עץ» אחד בדיוק? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

14+14=12\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

עץ-פלי או פלי-עץ

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכד 3 כדורים אדומים ו-2 כחולים. מוציאים כדור, מחזירים, ומוציאים שוב. מה ההסתברות לשני אדומים? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.36

הפתרון:

35×35=925=0.36\begin{aligned}\frac{3}{5} \times \frac{3}{5} &= \frac{9}{25} \\ &= 0.36\end{aligned}

ההחזרה משאירה את הכד כשהיה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באותו כד, עם החזרה: מה ההסתברות לאדום ואז כחול? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.24

הפתרון:

35×25=625=0.24\begin{aligned}\frac{3}{5} \times \frac{2}{5} &= \frac{6}{25} \\ &= 0.24\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותו כד, עם החזרה: מה ההסתברות לכדור אחד מכל צבע (בכל סדר)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.48

הפתרון:

625+625=1225=0.48\begin{aligned}\frac{6}{25} + \frac{6}{25} &= \frac{12}{25} \\ &= 0.48\end{aligned}

אדום-כחול או כחול-אדום

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמיד עובר מבחן בהסתברות 0.8. הוא ניגש לשני מבחנים בלתי תלויים. מה ההסתברות שיעבור לפחות אחד? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.96

הפתרון:

P(אף אחד)=0.2×0.2=0.04\begin{aligned}P(\text{אף אחד}) &= 0.2 \times 0.2 \\ &= 0.04\end{aligned}

דרך המשלים

1−0.04=0.961 - 0.04 = 0.96

«לפחות אחד» הוא שלושה מסלולים — אבל המשלים שלו הוא מסלול אחד ויחיד. תמיד בדקו אם המשלים קצר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מתי מחברים הסתברויות ומתי כופלים?

  1. מחברים לאורך מסלול, כופלים בין מסלולים
  2. תמיד כופלים
  3. לפי גודל המספרים
  4. כופלים לאורך מסלול, מחברים בין מסלולים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כופלים לאורך מסלול, מחברים בין מסלולים

הפתרון:

P(A ואז B)=P(A)⋅P(B)P(A או B)=P(A)+P(B)\begin{aligned}P(A \text{ ואז } B) &= P(A) \cdot P(B) \\ \quad P(A \text{ או } B) &= P(A) + P(B)\end{aligned}

כשהמסלולים זרים

«ואז» = דרישה כפולה = כפל. «או» בין מסלולים זרים = חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת