דיאגרמת פיזור וגרף הממוצעים · מתאם ורגרסיה · כיתה י״א

עשרה תלמידים בכיתה יא רשמו כמה שעות למדו למבחן, ואיזה ציון קיבלו. כל תלמיד הוא נקודה אחת: שעות הלימוד על ציר ה- $x$ , והציון על ציר ה- $y$ . לפני כל מושג, הסתכלו על הנקודות.

שעות לימוד וציון במבחן — 10 תלמידים

כל נקודה היא תלמיד אחד. הנקודה

(3,\,65)

היא תלמיד שלמד

3

שעות וקיבל

65

מה קורה לציון, בדרך כלל, כשמספר שעות הלימוד גדל? והאם כל תלמיד שלמד יותר קיבל ציון גבוה יותר?

להציג את התשובה והפתרון

בדרך כלל הציון עולה: הנקודות עולות משמאל לימין. אבל לא תמיד: התלמיד שלמד $3$ שעות קיבל $65$ , פחות מהתלמיד שלמד $2$ שעות וקיבל $68$ . זו מגמה, לא חוק לכל תלמיד.

דיאגרמת פיזור: כיוון וחוזק

דיאגרמת פיזור מציגה זוגות של נתונים $(x,\,y)$ , נקודה לכל זוג. קוראים בה שני דברים. הכיוון: אם $y$ נוטה לגדול כש- $x$ גדל, המתאם חיובי. אם $y$ נוטה לקטון, המתאם שלילי. החוזק: ככל שהנקודות קרובות יותר לקו ישר, הקשר הליניארי חזק יותר.

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \uparrow

מתאם חיובי: הנקודות עולות משמאל לימין. למשל טמפרטורה ומכירות של גלידה

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \downarrow

מתאם שלילי: הנקודות יורדות. למשל הגיל של מכונית והמחיר שלה

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \ ?

אין מתאם ליניארי: הנקודות מפוזרות בלי כיוון. למשל מידת הנעליים והציון בהיסטוריה

בשתי דיאגרמות יש מתאם חיובי. בראשונה הנקודות צמודות לקו מתון. בשנייה הן מפוזרות ברצועה רחבה סביב קו תלול. באיזו דיאגרמה המתאם חזק יותר?

להציג את התשובה והפתרון

בראשונה. החוזק נמדד לפי כמה קרובות הנקודות לקו, ולא לפי השיפוע של הקו. קו מתון שהנקודות צמודות אליו הוא מתאם חזק.

גרף הממוצעים

לפעמים אותו ערך של $x$ חוזר כמה פעמים: כמה תלמידים עם אותה מידת נעליים, וגבהים שונים. אז מחשבים לכל ערך של $x$ את הממוצע של ערכי ה- $y$ שלו, ומחברים את הנקודות $(x,\,\bar{y})$ בקו. זה גרף הממוצעים. אם הוא קרוב לקו ישר, הקשר בין המשתנים קרוב לקשר ליניארי.

גרף הממוצעים: מידת נעליים וגובה

12 תלמידים. הגובה (בס״מ) לפי מידת הנעליים. מידה $37$ : $158,\ 162,\ 160$ . מידה $39$ : $163,\ 167,\ 168,\ 166$ . מידה $41$ : $170,\ 174,\ 172$ . מידה $43$ : $177,\ 179$ .

\frac{158+162+160}{3}=160

מידה $37$

\begin{aligned}\frac{163+167+168+166}{4} &= \frac{664}{4} \\ &= 166\end{aligned}

מידה $39$ : מחלקים ב- $4$ , מספר התלמידים במידה הזאת

\begin{aligned}\frac{170+174+172}{3} &= 172 \qquad \frac{177+179}{2} \\ &= 178\end{aligned}

מידות $41$ ו- $43$

160,\ 166,\ 172,\ 178

הממוצעים עולים ב- $6$ ס״מ בכל פעם: גרף הממוצעים הוא קו ישר

מידת נעליים וגובה — 12 תלמידים, וגרף הממוצעים

תלמיד
ממוצע הגובה במידה

העיגולים הם התלמידים, והמעוינים הם הממוצעים. הקו שמחבר את הממוצעים הוא גרף הממוצעים.

לפי גרף הממוצעים: מהו הגובה הממוצע הצפוי של תלמידים במידה $40$ ?

להציג את התשובה והפתרון

באמצע בין $166$ ל- $172$ : $169$ ס״מ. גרף הממוצעים עולה ב- $3$ ס״מ לכל מידה. זו הערכה לממוצע של כל התלמידים במידה $40$ , ולא הגובה של תלמיד מסוים.

מתאם הוא קשר סטטיסטי: הוא מתאר מגמה של הרבה נקודות יחד. נקודה אחת שלא מתאימה למגמה לא מבטלת אותה. ומגמה חזקה לא אומרת בדיוק מה יקרה לאדם אחד.

שתי טעויות בקריאת דיאגרמה.

\searrow \ \Rightarrow \ \text{חלש}

\searrow \ \Rightarrow \ \text{שלילי}

ירידה היא כיוון, לא חוזק. נקודות שיורדות צמוד לקו הן מתאם שלילי חזק.

\text{תלול} \ \Rightarrow \ \text{חזק}

\text{צמוד} \ \Rightarrow \ \text{חזק}

השיפוע של הקו לא מודד חוזק. החוזק נמדד לפי המרחק של הנקודות מהקו.

תרגילים

תרגיל 1

טמפרטורה בחוץ ושעות חימום ביום

בדיאגרמה: הטמפרטורה בחוץ ומספר השעות שהחימום בבית פעל, בשבעה ימי חורף. מה מתאר נכון את הקשר?

מתאם שלילי חזק
אין מתאם ליניארי
מתאם חיובי חזק
מתאם שלילי חלש

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מתאם שלילי חזק

הפתרון:

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \downarrow

ככל שחם יותר, החימום פועל פחות שעות: כיוון שלילי

(8,\,9) \ \dots \ (20,\,2)

הנקודות כמעט על קו ישר: מתאם חזק

הנכונה: מתאם שלילי חזק. מי שבחר «שלילי חלש» חשב שירידה פירושה חולשה. הכיוון והחוזק הם שני דברים נפרדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מיינו כל זוג משתנים לפי כיוון המתאם הצפוי ביניהם.

מתאם חיובי
מתאם שלילי

גובה ומידת נעליים
הגיל של מכונית והמחיר שלה
הטמפרטורה בחוץ ושעות החימום
טמפרטורה ומספר הגלידות שנמכרו
שעות לימוד וציון במבחן
שעות תרגול בהקלדה ומספר השגיאות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: טמפרטורה ומספר הגלידות שנמכרו — מתאם חיובי · גובה ומידת נעליים — מתאם חיובי · הגיל של מכונית והמחיר שלה — מתאם שלילי · הטמפרטורה בחוץ ושעות החימום — מתאם שלילי · שעות תרגול בהקלדה ומספר השגיאות — מתאם שלילי · שעות לימוד וציון במבחן — מתאם חיובי

הפתרון:

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \uparrow

חיובי: שני המשתנים גדלים יחד

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \downarrow

שלילי: כשאחד גדל, השני קטן

שאלו בכל זוג: כש- $x$ גדל, מה בדרך כלל קורה ל- $y$ ? התרגול בהקלדה מקטין את מספר השגיאות, ולכן המתאם שלילי, אף שזה «טוב».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באיזה מהזוגות הבאים צפוי שלא יהיה מתאם ליניארי?

גובה ומשקל של מבוגרים
הגיל של ילד ומספר המילים שהוא מכיר
היום בחודש שבו נולד תלמיד והציון שלו במתמטיקה
מספר השעות בנסיעה ומספר הקילומטרים שנסעו

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג היום בחודש שבו נולד תלמיד והציון שלו במתמטיקה

הפתרון:

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \ ?

אין סיבה שהציון יעלה או ירד עם היום בחודש

הנכונה: היום בחודש ... והציון. בשלושת הזוגות האחרים יש מגמה ברורה: חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בגרף ממוצעים של מידת נעליים וגובה: לארבעה תלמידים במידה $38$ הגבהים $160,\ 164,\ 165,\ 167$ ס״מ. מהו ה- $y$ של הנקודה במידה $38$ בגרף הממוצעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 164

הפתרון:

160+164+165+167=656

סכום הגבהים במידה $38$

\frac{656}{4}=164

מחלקים במספר התלמידים במידה הזאת

הנקודה היא $(38,\,164)$ . בגרף הממוצעים מחלקים במספר התלמידים של אותו $x$ , ולא במספר כל התלמידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

עשרה רצים רשמו כמה אימונים עשו בשבוע ( $x$ ) ובכמה דקות רצו $2$ ק״מ ( $y$ ). אימון אחד: $12,\ 11,\ 13$ . שני אימונים: $11,\ 10,\ 9,\ 10$ . שלושה אימונים: $8,\ 9,\ 7$ . השלימו את גרף הממוצעים.

$x=1$ : $\bar{y}=$ ____ , $x=2$ : $\bar{y}=$ ____ , $x=3$ : $\bar{y}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=1$ : $\bar{y}=$ 12 , $x=2$ : $\bar{y}=$ 10 , $x=3$ : $\bar{y}=$ 8

הפתרון:

\frac{12+11+13}{3}=12

אימון אחד

\frac{11+10+9+10}{4}=10

שני אימונים

\frac{8+9+7}{3}=8

שלושה אימונים

הממוצעים יורדים ב- $2$ דקות בכל אימון נוסף: גרף ממוצעים ישר ויורד, כלומר מתאם שלילי. מי שחילק ב- $10$ חילק במספר כל הרצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במתאם חזק, כל הנקודות נמצאות בדיוק על קו ישר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\text{צמוד} \neq \text{בדיוק}

מתאם חזק: הנקודות קרובות לקו

לא נכון. בדיוק על קו ישר זה המקרה הקיצוני, מתאם מלא. במתאם חזק הנקודות קרובות לקו, אבל לא עליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גרף הממוצעים של הרצים עובר בנקודות $(1,\,12)$ , $(2,\,10)$ , $(3,\,8)$ . בכמה דקות, בממוצע, יורד זמן הריצה עם כל אימון נוסף בשבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}12-10 &= 2 \qquad 10-8 \\ &= 2\end{aligned}

ההפרש בין ממוצעים סמוכים

הזמן יורד ב- $2$ דקות לכל אימון. התשובה היא $2$ ולא $-2$ : השאלה שואלת בכמה הוא יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו לכל זוג משתנים את סוג המתאם הצפוי.

גובה ומשקל של מבוגרים
הגיל של מכונית והמחיר שלה
מידת הנעליים והציון בהיסטוריה

אין מתאם ליניארי
מתאם חיובי
מתאם שלילי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: גובה ומשקל של מבוגרים — מתאם חיובי · הגיל של מכונית והמחיר שלה — מתאם שלילי · מידת הנעליים והציון בהיסטוריה — אין מתאם ליניארי

הפתרון:

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \uparrow

גובה ומשקל

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \downarrow

מכונית ישנה יותר זולה יותר

בכל זוג שאלו מה קורה ל- $y$ בדרך כלל כש- $x$ גדל. אם אין תשובה, אין מתאם ליניארי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

טמפרטורה ומכירות גלידה — 8 ימים

בדיאגרמה: הטמפרטורה ומספר הגלידות שנמכרו בדוכן בשמונה ימים. לפי הדיאגרמה: בכל יום חם יותר נמכרו יותר גלידות מבכל יום קר יותר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(24,\,130) \quad (25,\,125)

ב- $25°$ נמכרו פחות גלידות מאשר ב- $24°$

(27,\,150) \quad (28,\,140)

וגם כאן

לא נכון. יש מתאם חיובי חזק, אבל הוא מתאר מגמה. נקודה אחת מול נקודה אחרת יכולה ללכת נגד המגמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

דיאגרמת פיזור: כיוון וחוזק

גרף הממוצעים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev