מקדם המתאם r · מתאם ורגרסיה · כיתה י״א

בשתי דיאגרמות המתאם חיובי. באחת הנקודות צמודות לקו, ובשנייה הן מפוזרות. «חזק» ו«חלש» הן מילים, והבגרות מבקשת מספר. המספר הזה הוא מקדם המתאם של פירסון, $r$ . הסתכלו קודם על הסימנים בדיאגרמה.

שעות לימוד וציון — 5 תלמידים, והממוצעים

הקווים עוברים בממוצעים

\bar{x}=4

ו-

\bar{y}=75

, ומחלקים את המישור לארבעה רביעים. בכל רביע כתוב הסימן של המכפלה

(x-\bar{x})(y-\bar{y})

לנקודה $(7,\,90)$ : מה הסימן של $x-\bar{x}$ , של $y-\bar{y}$ ושל המכפלה שלהם? ולנקודה $(1,\,60)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(7,\,90)$ : $7-4=3$ ו- $90-75=15$ , המכפלה $45>0$ . $(1,\,60)$ : $-3$ ו- $-15$ , המכפלה $45>0$ . שתי הנקודות מתאימות למגמה עולה, ולכן הן תורמות תרומה חיובית ל- $r$ .

מה $r$ אומר

-1 \leq r \leq 1

תמיד. תוצאה מחוץ לתחום היא טעות חישוב

r>0 \quad r<0

הסימן הוא הכיוון: מתאם חיובי או שלילי

|r| \to 1

הערך המוחלט הוא החוזק: קרוב ל- $1$ חזק, קרוב ל- $0$ חלש

\begin{aligned}r &= 1 \quad r \\ &= -1\end{aligned}

מתאם מלא: כל הנקודות בדיוק על קו ישר

r=0

אין קשר ליניארי. ייתכן קשר מסוג אחר

החישוב לפי הנוסחאון

r=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\dots+(x_N-\bar{x})(y_N-\bar{y})}{N \cdot S_x \cdot S_y}

$N$ הוא מספר הזוגות, ו- $S_x$ , $S_y$ הן סטיות התקן של $x$ ושל $y$ . בנוסחאון סטיית התקן מחולקת ב- $N$ : $S_x=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+\dots+(x_N-\bar{x})^2}{N}}$ . המונה הוא סכום המכפלות של ההפרשים מהממוצע, והוא שנותן ל- $r$ את הסימן.

חישוב $r$ : שעות לימוד וציון

חמישה תלמידים. שעות לימוד $x$ : $1,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7$ . ציון $y$ : $60,\ 70,\ 80,\ 75,\ 90$ .

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{20}{5} \\ &= 4 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{375}{5} \\ &= 75\end{aligned}

הממוצעים

x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -15,\ -5,\ 5,\ 0,\ 15

ההפרשים. בדיקה: כל שורה מסתכמת ב- $0$

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{9+1+0+1+9}{5}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית התקן של $x$

\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{225+25+25+0+225}{5}} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן של $y$

45+5+0+0+45=95

סכום המכפלות של ההפרשים

\begin{aligned}r &= \frac{95}{5 \cdot 2 \cdot 10} \\ &= 0.95\end{aligned}

מתאם חיובי חזק מאוד

בחישוב אחר יצא לתלמיד $r=1.3$ . מה אפשר לומר מיד?

להציג את התשובה והפתרון

יש טעות בחישוב. $r$ תמיד בין $-1$ ל- $1$ . הטעויות הנפוצות: שכחו את $N$ במכנה, או לקחו את השונות במקום את סטיית התקן, בלי שורש.

במחשבון מדעי יש לפעמים שתי סטיות תקן: $\sigma_n$ ו- $s_{n-1}$ . הנוסחאון מחלק ב- $N$ , ולכן בוחרים ב- $\sigma_n$ . בנוסחאון יש גם צורה שנייה: $r=\frac{z_{x_1} z_{y_1}+\dots+z_{x_N} z_{y_N}}{N}$ , הממוצע של המכפלות של ציוני התקן. זה אותו מספר.

שלוש טעויות בחישוב $r$ .

\begin{aligned}r &= \frac{95}{2 \cdot 10} \\ &= 4.75\end{aligned}

\begin{aligned}r &= \frac{95}{5 \cdot 2 \cdot 10} \\ &= 0.95\end{aligned}

שכחו את $N$ במכנה. תוצאה גדולה מ- $1$ היא סימן אזהרה.

S_x=\sqrt{\frac{20}{4}}

S_x=\sqrt{\frac{20}{5}}

בנוסחאון מחלקים ב- $N=5$ , ולא ב- $N-1$ .

x_1 y_1+x_2 y_2+\dots

(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots

מכפילים את ההפרשים מהממוצע, ולא את הנתונים עצמם.

תרגילים

תרגיל 1

איזה מהמספרים הבאים אינו יכול להיות מקדם מתאם?

$1.05$
$1$
$-0.98$
$0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $1.05$

הפתרון:

-1 \leq r \leq 1

התחום של $r$

1.05>1

מחוץ לתחום

הנכונה: $1.05$ . גם $1$ וגם $-0.98$ אפשריים: $r=1$ הוא מתאם מלא, כשכל הנקודות על קו עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה ערך של $r$ מתאר את המתאם החזק ביותר?

$0.1$
$-0.3$
$0.7$
$-0.85$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-0.85$

הפתרון:

|-0.85|=0.85 > 0.7

משווים ערכים מוחלטים

הנכונה: $-0.85$ . החוזק הוא $|r|$ , והסימן הוא רק הכיוון. מי שבחר $0.7$ חשב ש«חיובי» פירושו «חזק».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לששה זוגות של נתונים: $S_x=2$ , $S_y=5$ , וסכום המכפלות של ההפרשים מהממוצעים הוא $48$ . חשבו את $r$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

r=\frac{48}{N \cdot S_x \cdot S_y}

הנוסחה

\begin{aligned}\frac{48}{6 \cdot 2 \cdot 5} &= \frac{48}{60} \\ &= 0.8\end{aligned}

מציבים $N=6$

$r=0.8$ : מתאם חיובי חזק. מי שקיבל $4.8$ שכח את $N$ במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לחמישה זוגות: $r=-0.6$ , $S_x=3$ , $S_y=4$ . מהו סכום המכפלות $(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots+(x_5-\bar{x})(y_5-\bar{y})$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -36

הפתרון:

\text{סכום}=r \cdot N \cdot S_x \cdot S_y

מבודדים את המונה

=-0.6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4=-36

מציבים

הסכום שלילי, כמו $r$ : המונה הוא שנותן את הסימן. מי שענה $36$ איבד את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בדוכן לימונדה רשמו בחמישה ימים את מספר שעות השמש ( $x$ ) ואת מספר הכוסות שנמכרו ( $y$ ). $x$ : $3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 9$ . $y$ : $18,\ 34,\ 30,\ 26,\ 42$ . השלימו.

$\bar{x}=$ ____ , $\bar{y}=$ ____ , $S_x=$ ____ , $S_y=$ ____ , $r=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\bar{x}=$ 6 , $\bar{y}=$ 30 , $S_x=$ 2 , $S_y=$ 8 , $r=$ 0.8

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{30}{5} \\ &= 6 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{150}{5} \\ &= 30\end{aligned}

הממוצעים

x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -12,\ 4,\ 0,\ -4,\ 12

ההפרשים

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{5}} \\ &= 2 \qquad S_y \\ &= \sqrt{\frac{144+16+0+16+144}{5}} \\ &= \sqrt{64} \\ &= 8\end{aligned}

סטיות התקן

36-4+0-4+36=64

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{64}{5 \cdot 2 \cdot 8} \\ &= 0.8\end{aligned}

מקדם המתאם

שתי מכפלות שליליות ( $-4$ ) הן שתי נקודות שהולכות נגד המגמה. הן מקטינות את $r$ , אבל המגמה נשארת חיובית וחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

לנתונים $\bar{x}=10$ ו- $\bar{y}=40$ . איזו נקודה תורמת תרומה שלילית למונה של $r$ ?

$(10,\,50)$
$(8,\,35)$
$(13,\,32)$
$(12,\,45)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $(13,\,32)$

הפתרון:

\begin{aligned}(13-10)(32-40) &= 3 \cdot (-8) \\ &= -24\end{aligned}

$x$ מעל הממוצע ו- $y$ מתחתיו

(10-10)(50-40)=0

הנקודה על קו הממוצע של $x$ תורמת $0$

הנכונה: $(13,\,32)$ . $(8,\,35)$ נותנת $(-2)(-5)=10>0$ : שני מינוסים. $(10,\,50)$ לא תורמת כלום, לא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

אם $r=0.8$ , אז $80\%$ מהנקודות נמצאות על קו ישר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

r=0.8

מספר בלי יחידות, בין $-1$ ל- $1$

לא נכון. $r$ אינו אחוז של נקודות. $r=0.8$ אומר שהנקודות קרובות לקו עולה. ייתכן שאף נקודה לא נמצאת בדיוק עליו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שורה אחת בחישוב של סטיית התקן שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}x:\ 2 \\ \ 4 \\ \ 6 \\ \ 8 \ \Rightarrow \ \bar{x} &= 5\end{aligned}

(x-\bar{x})^2:\ 9,\ 1,\ 1,\ 9

S_x=\sqrt{\frac{20}{3}}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_x=\sqrt{\frac{20}{3}}$ → $S_x=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}$

הפתרון:

N=4

ארבעה נתונים

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5} \approx 2.24\end{aligned}

מחלקים ב- $N$

בנוסחאון מחלקים ב- $N$ , ולא ב- $N-1$ . סטיית תקן שגויה משנה גם את $r$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בארבעה סניפים של רשת חנויות נרשמו מספר העובדים ( $x$ ) ומספר הלקוחות ביום, בעשרות ( $y$ ). $x$ : $2,\ 4,\ 6,\ 8$ . $y$ : $3,\ 5,\ 4,\ 8$ . חשבו את $r$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.84

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= 5 \qquad \bar{y} \\ &= 5\end{aligned}

הממוצעים

x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 1,\ 3 \qquad y-\bar{y}:\ -2,\ 0,\ -1,\ 3

ההפרשים

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5} \qquad S_y \\ &= \sqrt{\frac{14}{4}} \\ &= \sqrt{3.5}\end{aligned}

סטיות התקן

6+0-1+9=14

סכום המכפלות

r=\frac{14}{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3.5}} \approx 0.84

מקדם המתאם

כשסטיות התקן אינן שלמות, השאירו אותן בשורש עד השלב האחרון. עיגול מוקדם של $\sqrt{5}$ ל- $2$ נותן $r \approx 0.94$ , תשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כל זוגות הנתונים מקיימים בדיוק $y=20-3x$ . מהו $r$ ?

$-3$
$-1$
$1$
$0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-1$

הפתרון:

y=20-3x

כל הנקודות על קו אחד: מתאם מלא, $|r|=1$

m=-3<0

הקו יורד, ולכן $r=-1$

הנכונה: $-1$ . $-3$ הוא השיפוע של הקו, ולא $r$ : מקדם המתאם אף פעם אינו קטן מ- $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מה rrr אומר

החישוב לפי הנוסחאון

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

מה $r$ אומר