קו הרגרסיה וניבוי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

תלמיד שישי למד 66 שעות. איזה ציון נצפה לו? הנקודות אינן על קו אחד, אבל אפשר להעביר ביניהן את הקו המתאים ביותר. הוא נקרא קו הרגרסיה, ובעזרתו מנבאים.

שעות לימוד וציון — 5 תלמידים, וקו הרגרסיה
(4, 75)x = 6012345678556065707580859095שעות לימודציון
הקו עובר בנקודת הממוצעים (xˉ, yˉ)=(4, 75)(\bar{x},\,\bar{y})=(4,\,75). כמה נקודות מעליו, וכמה מתחתיו.

לפי הקו בדיאגרמה: איזה ציון צפוי, בערך, לתלמיד שלמד 66 שעות?

להציג את התשובה והפתרון

בערך 8484 או 8585: עולים מ-x=6x=6 עד הקו וקוראים את ה-yy. החישוב המדויק, בהמשך, נותן 84.584.5.

השיפוע והנקודה

m=r⋅SySxy−yˉ=m(x−xˉ)\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \qquad\qquad y-\bar{y} \\ &= m(x-\bar{x})\end{aligned}

שני דברים קובעים את קו הרגרסיה. השיפוע mm מחושב מ-rr ומסטיות התקן, ולכן הסימן שלו הוא הסימן של rr. הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) נמצאת תמיד על הקו. מציבים את שניהם במשוואה של ישר לפי שיפוע ונקודה, כמו בגאומטריה אנליטית.

קו הרגרסיה והניבוי

לחמשת התלמידים: xˉ=4\bar{x}=4, yˉ=75\bar{y}=75, Sx=2S_x=2, Sy=10S_y=10, r=0.95r=0.95. מצאו את קו הרגרסיה, וחזו את הציון של תלמיד שלמד 66 שעות.

m=0.95⋅102=4.75\begin{aligned}m &= 0.95 \cdot \frac{10}{2} \\ &= 4.75\end{aligned}

השיפוע

y−75=4.75(x−4)y-75=4.75(x-4)

ישר דרך נקודת הממוצעים

y=4.75x+56y=4.75x+56

75−4.75⋅4=75−19=5675-4.75 \cdot 4=75-19=56

y(6)=4.75⋅6+56=84.5\begin{aligned}y(6) &= 4.75 \cdot 6+56 \\ &= 84.5\end{aligned}

הניבוי לתלמיד שלמד 66 שעות

בקו y=4.75x+56y=4.75x+56: מה המשמעות של השיפוע 4.754.75 בהקשר של השאלה?

להציג את התשובה והפתרון

כל שעת לימוד נוספת מעלה את הציון הצפוי ב-4.754.75 נקודות, בממוצע. זו מגמה: היא לא מבטיחה לתלמיד מסוים עוד 4.754.75 נקודות.

שאלות הפוכות

yˉ=mxˉ+b\bar{y}=m\bar{x}+b

נתונים הקו ו-xˉ\bar{x}: מציבים ומקבלים את yˉ\bar{y}. או להפך: נתונים xˉ\bar{x}, yˉ\bar{y} ו-mm, ומוצאים את bb

Sy=m⋅SxrS_y=\frac{m \cdot S_x}{r}

נתונים הקו, rr ו-SxS_x: מבודדים את SyS_y

r=m⋅SxSyr=\frac{m \cdot S_x}{S_y}

נתונים הקו וסטיות התקן: מבודדים את rr

כשכל הערכים של yy משתנים

y→y+cy \to y+c

mm, SyS_y ו-rr לא משתנים. yˉ\bar{y} ו-bb גדלים ב-cc: הקו זז למעלה

y→k⋅y(k>0)y \to k \cdot y \quad (k>0)

yˉ\bar{y}, SyS_y, mm ו-bb מוכפלים ב-kk. rr לא משתנה

+6% ⇒ k=1.06+6\% \ \Rightarrow \ k=1.06

תוספת של אחוזים היא כפל, ולא חיבור

המורה הוסיפה לכל ציון 55 נקודות. הקו הקודם היה y=4.75x+56y=4.75x+56. מה הקו החדש, ומה rr החדש?

להציג את התשובה והפתרון

y=4.75x+61y=4.75x+61. השיפוע לא משתנה, כי כל הנקודות זזו 55 למעלה יחד. rr נשאר 0.950.95.

שלוש טעויות בקו הרגרסיה.

m=r⋅SxSym=r \cdot \frac{S_x}{S_y}
m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

SyS_y במונה: השיפוע הוא «כמה yy לכל xx». בדיקה: 0.95⋅102=4.750.95 \cdot \frac{10}{2}=4.75.

b=yˉb=\bar{y}
b=yˉ−mxˉb=\bar{y}-m\bar{x}

הקו עובר בנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}), ולא בנקודה (0, yˉ)(0,\,\bar{y}).

y→1.1y ⇒ r→1.1ry \to 1.1y \ \Rightarrow \ r \to 1.1r
y→1.1y ⇒ r→ry \to 1.1y \ \Rightarrow \ r \to r

rr אינו משתנה בכפל בקבוע חיובי. ו-rr גם לא יכול להיות גדול מ-11: 1.1⋅0.95>11.1 \cdot 0.95>1.

תרגילים

תרגיל 1

נתון: r=0.8r=0.8, Sx=2S_x=2, Sy=5S_y=5. מהו השיפוע של קו הרגרסיה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

m=r⋅SySx=0.8⋅52=2\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.8 \cdot \frac{5}{2} \\ &= 2\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

m=2m=2. מי שקיבל 0.320.32 הפך את השבר: 0.8⋅250.8 \cdot \frac{2}{5}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בדוכן הלימונדה: xˉ=6\bar{x}=6 שעות שמש, yˉ=30\bar{y}=30 כוסות, Sx=2S_x=2, Sy=8S_y=8, r=0.8r=0.8. מצאו את קו הרגרסיה y=mx+by=mx+b.

m=m= ____ , b=b= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: m=m= 3.2 , b=b= 10.8

הפתרון:

m=0.8⋅82=3.2\begin{aligned}m &= 0.8 \cdot \frac{8}{2} \\ &= 3.2\end{aligned}

השיפוע

y−30=3.2(x−6)y-30=3.2(x-6)

דרך (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y})

b=30−3.2⋅6=30−19.2=10.8\begin{aligned}b &= 30-3.2 \cdot 6 \\ &= 30-19.2 \\ &= 10.8\end{aligned}

החותך

הקו: y=3.2x+10.8y=3.2x+10.8. בכל שעת שמש נוספת נמכרות, בממוצע, עוד 3.23.2 כוסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

קו הרגרסיה של דוכן הלימונדה הוא y=3.2x+10.8y=3.2x+10.8, ומספר שעות השמש בנתונים היה בין 33 ל-99. כמה כוסות צפויות להימכר ביום עם 88 שעות שמש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.4

הפתרון:

y(8)=3.2⋅8+10.8=25.6+10.8=36.4\begin{aligned}y(8) &= 3.2 \cdot 8+10.8 \\ &= 25.6+10.8 \\ &= 36.4\end{aligned}

מציבים x=8x=8

הניבוי הוא 36.436.4 כוסות: ערך צפוי, ולכן הוא יכול להיות לא שלם. x=8x=8 נמצא בתוך תחום הנתונים, ולכן מותר לנבא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קו הרגרסיה של yy לפי xx הוא y=12x+20y=12x+20, ו-xˉ=5\bar{x}=5. מהו yˉ\bar{y}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

yˉ=12⋅5+20=80\begin{aligned}\bar{y} &= 12 \cdot 5+20 \\ &= 80\end{aligned}

הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) על הקו

מציבים את xˉ\bar{x} במשוואת הקו. זה עובד רק בנקודת הממוצעים: לנקודה אחרת הקו נותן ניבוי, ולא ערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

קו הרגרסיה הוא y=12x+20y=12x+20, ונתון r=0.75r=0.75 ו-Sx=2S_x=2. מהי SyS_y?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

12=0.75⋅Sy212=0.75 \cdot \frac{S_y}{2}

m=r⋅SySxm=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

Sy=12⋅20.75=32\begin{aligned}S_y &= \frac{12 \cdot 2}{0.75} \\ &= 32\end{aligned}

מבודדים

Sy=32S_y=32. מי שכפל ב-0.750.75 במקום לחלק קיבל 1818.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השיפוע של קו הרגרסיה הוא −1.5-1.5, ונתון Sx=4S_x=4 ו-Sy=10S_y=10. מהו rr?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.6

הפתרון:

r=m⋅SxSy=−1.5⋅410=−0.6\begin{aligned}r &= \frac{m \cdot S_x}{S_y} \\ &= \frac{-1.5 \cdot 4}{10} \\ &= -0.6\end{aligned}

מבודדים את rr

r=−0.6r=-0.6: מתאם שלילי בינוני. לשיפוע ול-rr תמיד אותו סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

קו הרגרסיה הוא y=2.5x+30y=2.5x+30. מוסיפים 55 לכל ערך של yy. מה הקו החדש?

  1. y=12.5x+150y=12.5x+150
  2. y=2.5x+30y=2.5x+30
  3. y=7.5x+30y=7.5x+30
  4. y=2.5x+35y=2.5x+35
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד y=2.5x+35y=2.5x+35

הפתרון:

yˉ→yˉ+5,m→m\bar{y} \to \bar{y}+5 ,\quad m \to m

כל הנקודות זזות 55 למעלה

b→30+5=35b \to 30+5=35

החותך גדל ב-55

הנכונה: y=2.5x+35y=2.5x+35. חיבור לא משנה את SyS_y, ולכן גם לא את השיפוע. y=12.5x+150y=12.5x+150 היא תשובה של כפל ב-55, לא של חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כל הערכים של yy גדלים ב-10%10\%. מה נכון?

  1. mm לא משתנה, ו-SyS_y גדלה פי 1.11.1
  2. mm, SyS_y ו-rr גדלים פי 1.11.1
  3. mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1, ו-rr לא משתנה
  4. mm ו-SyS_y גדלים ב-0.10.1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1, ו-rr לא משתנה

הפתרון:

y→1.1yy \to 1.1y

הגדלה באחוזים היא כפל

Sy→1.1Sym=r⋅1.1SySx=1.1m\begin{aligned}S_y \to 1.1S_y \quad m &= r \cdot \frac{1.1S_y}{S_x} \\ &= 1.1m\end{aligned}

השיפוע גדל יחד עם SyS_y

הנכונה: mm ו-SyS_y גדלים פי 1.11.1. rr לא משתנה: הצורה של הענן לא השתנתה, רק קנה המידה של yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה (xˉ, yˉ)(\bar{x},\,\bar{y}) נמצאת תמיד על קו הרגרסיה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

y−yˉ=m(x−xˉ)y-\bar{y}=m(x-\bar{x})

מציבים x=xˉx=\bar{x}: y=yˉy=\bar{y}

נכון. זו הסיבה שאפשר למצוא את bb או את yˉ\bar{y} מתוך הקו. נקודה אחרת של הנתונים בדרך כלל לא על הקו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

קו הרגרסיה הוא y=2.5x+30y=2.5x+30. מחסירים 2020 מכל ערך של yy. מהו החותך bb של הקו החדש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

y−20=2.5x+30−20y-20=2.5x+30-20

כל ניבוי קטן ב-2020

y=2.5x+10y=2.5x+10

השיפוע לא משתנה

b=10b=10. השיפוע נשאר 2.52.5: הזזה של כל הנקודות לא משנה את SyS_y, ולכן לא את mm.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת