גבולות הניבוי ומלכודות · מתאם ורגרסיה · כיתה י״א

בשבעה ימי קיץ רשם מוכר גלידה בטיילת את הטמפרטורה ואת מספר הגלידות שמכר. הטמפרטורות היו בין $24°$ ל- $34°$ , ו- $r \approx 0.98$ . קו הרגרסיה שיצא: $y=12x-180$ . מה הקו מנבא ליום חורף של $10°$ ?

טמפרטורה וגלידות — 7 ימי קיץ, והקו ממשיך שמאלה

הנתונים נמצאים רק בין הקווים

24°

ו-

34°

. משמאל להם הקו ממשיך, אבל אין שם אף נקודה.

חשבו את הניבוי ל- $10°$ . האם הוא הגיוני?

להציג את התשובה והפתרון

$12 \cdot 10-180=-60$ גלידות: מספר שלילי, וזה בלתי אפשרי. הקו נבנה מימים של $24°$ עד $34°$ , ואין לנו מידע על מה שקורה מחוץ לתחום. ניבוי מחוץ לתחום הנתונים נקרא אקסטרפולציה, והוא לא אמין.

ניבוי רק בתוך תחום הנתונים

ניבוי בתוך תחום ה- $x$ של הנתונים הוא סביר, במיוחד כש- $|r|$ קרוב ל- $1$ . ניבוי מחוץ לתחום מניח שהמגמה ממשיכה בלי שינוי, ושום דבר בנתונים לא מבטיח את זה. וגם בתוך התחום, הקו נותן ערך צפוי, לא ערך מדויק.

מתאם אינו סיבתיות

בחודשים שבהם נמכרות יותר גלידות נמכרים גם יותר מזגנים. המתאם בין שני המספרים חיובי וחזק. האם הגלידה גורמת לקנות מזגנים? לא. שני המשתנים עולים בגלל גורם שלישי: החום. מתאם חזק אומר שהמשתנים משתנים יחד. הוא לא אומר מי גורם למי, ולא אומר שאחד גורם לשני.

נמצא $r=0.9$ בין מספר קרמי ההגנה מהשמש שנמכרו בחנות בכל שבוע לבין מספר המבקרים בחוף הים הסמוך. האם אפשר להסיק שמכירת קרמים מביאה אנשים לחוף?

להציג את התשובה והפתרון

לא. מזג אוויר חם ושמשי מגדיל את שני המספרים. מתאם מראה שהמשתנים «נעים יחד»; כדי לדעת מה גורם למה צריך ניסוי, ולא דיאגרמת פיזור.

נקודה חריגה

נקודה אחת שהופכת את הסימן

ארבעה שחקני כדורסל: שעות אימון בשבוע ( $x$ ) וקליעות מתוך $10$ ( $y$ ): $(1,\,2)$ , $(2,\,3)$ , $(3,\,5)$ , $(4,\,6)$ . שחקן חמישי, שנפצע, התאמן $8$ שעות וקלע רק $1$ .

r \approx 0.99

ארבעת השחקנים: מתאם חיובי חזק מאוד

r \approx -0.28

עם השחקן החמישי: המתאם שלילי

(8,\,1)

נקודה אחת, רחוקה מכל השאר, משנה את $r$ לגמרי

לפני כל חישוב, הסתכלו בדיאגרמה. נקודה חריגה יכולה להיות טעות רישום, או מקרה מיוחד. מחליטים עליה בהקשר של השאלה, ולא מוחקים אותה רק כי היא מקלקלת את התוצאה.

$r=0$ אינו «אין קשר»

קשר מלא ו- $r=0$

הנקודות: $(-2,\,4)$ , $(-1,\,1)$ , $(0,\,0)$ , $(1,\,1)$ , $(2,\,4)$ . כל נקודה מקיימת $y=x^2$ בדיוק.

\begin{aligned}\bar{x} &= 0 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ 2,\ -1,\ -2,\ -1,\ 2

ההפרשים של $y$

(-2)(2)+(-1)(-1)+0+(1)(-1)+(2)(2)=0

סכום המכפלות

r=0

ובכל זאת $y$ נקבע לגמרי לפי $x$

הנקודות של y = x² — קשר מלא, ו-r = 0

$r$ מודד רק קשר ליניארי, קשר של קו ישר. בפרבולה הצד השמאלי יורד והצד הימני עולה, והתרומות מבטלות זו את זו. לכן לפני שמסיקים «אין קשר» מ- $r$ קרוב ל- $0$ , מסתכלים בדיאגרמה.

שינוי יחידות

x \to ax+b ,\quad a>0

$r$ לא משתנה. למשל מס״מ למטרים, או ממעלות צלזיוס לפרנהייט

x \to ax+b ,\quad a<0

$r$ מחליף סימן, והערך המוחלט שלו לא משתנה

m

השיפוע כן משתנה: הוא נמדד ביחידות של $y$ לכל יחידה אחת של $x$

הגובה נמדד בס״מ, המשקל בק״ג, ו- $r=0.7$ . מעבירים את הגובה למטרים. מה $r$ החדש? ומה קורה לשיפוע של קו הרגרסיה של המשקל לפי הגובה?

להציג את התשובה והפתרון

$r=0.7$ , בלי שינוי. השיפוע גדל פי $100$ : עלייה של מטר אחד היא עלייה של $100$ ס״מ, ולכן היא מוסיפה פי $100$ ק״ג בניבוי.

שלוש מסקנות שגויות.

y(10)=-60

אקסטרפולציה: הקו נבנה מ- $24°$ עד $34°$ . מחוץ לתחום אין לו תוקף.

r=0.9 \ \Rightarrow \ x \to y

מתאם חזק אינו סיבה. ייתכן גורם שלישי שמשפיע על שניהם.

r=0

« $r=0$ ולכן אין קשר» היא מסקנה שגויה. $r=0$ אומר רק שאין קשר ליניארי. $y=x^2$ הוא קשר מלא עם $r=0$ .

תרגילים

תרגיל 1

קו רגרסיה נבנה מנתונים של תלמידים שלמדו בין $1$ ל- $7$ שעות, ו- $r=0.95$ . לאיזה ניבוי הכי סביר לסמוך?

לכולם באותה מידה, כי $r=0.95$
לתלמיד שלמד $12$ שעות
לתלמיד שלמד $20$ שעות
לתלמיד שלמד $5.5$ שעות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לתלמיד שלמד $5.5$ שעות

הפתרון:

1 \leq 5.5 \leq 7

בתוך תחום הנתונים

12 ,\ 20 > 7

אקסטרפולציה

הנכונה: $5.5$ שעות. $r$ גבוה מראה שהקו מתאים לנתונים שיש לנו, ולא לנתונים מחוץ לתחום. הניבוי ל- $20$ שעות הוא ציון $4.75 \cdot 20+56=151$ : יותר מ- $100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הנקודות: $(-3,\,9)$ , $(-1,\,1)$ , $(1,\,1)$ , $(3,\,9)$ . חשבו את $r$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= 0 \qquad \bar{y} \\ &= 5\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ 4,\ -4,\ -4,\ 4

ההפרשים של $y$

-12+4-4+12=0

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{0}{N \cdot S_x \cdot S_y} \\ &= 0\end{aligned}

המונה $0$

$r=0$ , אף שכל הנקודות מקיימות $y=x^2$ . $r$ מודד רק קשר של קו ישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נמצא $r=0.92$ בין מספר המזגנים שנמכרו בכל חודש לבין מספר הגלידות שנמכרו באותו חודש. לכן מכירת מזגנים מגדילה את מכירות הגלידה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x \leftarrow \text{חום} \rightarrow y

גורם שלישי משפיע על שניהם

לא נכון. המתאם חזק, אבל הוא לא מראה סיבה. החום מגדיל גם את מכירת המזגנים וגם את מכירת הגלידות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בין הגובה (בס״מ) לבין המשקל (בק״ג) של 20 תלמידים $r=0.7$ . מעבירים את כל הגבהים למטרים. מה $r$ החדש?

$0.7$
$70$
$-0.7$
$0.007$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $0.7$

הפתרון:

x \to 0.01x

כפל בקבוע חיובי

r \to r

הצורה של הענן לא משתנה

הנכונה: $0.7$ . $r$ הוא מספר בלי יחידות. $70$ בכלל לא אפשרי: $r$ תמיד בין $-1$ ל- $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

השיפוע של קו הרגרסיה של המשקל (ק״ג) לפי הגובה (ס״מ) הוא $0.9$ . מה יהיה השיפוע אם הגובה יימדד במטרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

1 \ \text{מ׳}=100 \ \text{ס״מ}

מטר אחד הוא $100$ ס״מ

0.9 \cdot 100=90

ק״ג למטר

השיפוע הוא $90$ ק״ג למטר. $r$ לא השתנה, אבל השיפוע תלוי ביחידות. מי שענה $0.009$ חילק במקום לכפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

קו הרגרסיה של מספר הבקבוקים שנמכרו ( $y$ ) לפי הטמפרטורה ( $x$ , במעלות צלזיוס) הוא בעל שיפוע $18$ . מעבירים את הטמפרטורה למעלות פרנהייט: $F=1.8C+32$ . מה השיפוע החדש?

$18$
$32.4$
$50$
$10$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $10$

הפתרון:

\Delta F=1.8 \cdot \Delta C

מעלת צלזיוס אחת היא $1.8$ מעלות פרנהייט

\frac{18}{1.8}=10

בקבוקים לכל מעלת פרנהייט

הנכונה: $10$ . מעלת פרנהייט קטנה ממעלת צלזיוס, ולכן לכל מעלה נוספים פחות בקבוקים. $32.4=18 \cdot 1.8$ כפל במקום לחלק. ה- $32$ לא משפיע על השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שעות אימון וקליעות מתוך 10 — 5 שחקנים

בדיאגרמה: שעות אימון וקליעות של חמישה שחקנים. מה יקרה ל- $r$ אם נוציא את השחקן שהתאמן $8$ שעות?

$r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$
$r$ לא ישתנה
$r$ יקטן
$r$ יהיה $0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$

הפתרון:

r \approx -0.28

עם הנקודה החריגה

r \approx 0.99

בלעדיה: ארבע הנקודות כמעט על קו עולה

הנכונה: $r$ יגדל ויהיה קרוב ל- $1$ . נקודה חריגה אחת יכולה לשנות גם את הסימן של $r$ . לכן מסתכלים בדיאגרמה לפני שמחשבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בין שעות הלימוד (מ- $1$ עד $7$ ) לבין הציון נמצא $r=0.95$ , והקו $y=4.75x+56$ . מיינו כל מסקנה.

מותר להסיק
אסור להסיק

הלימוד הוא הסיבה היחידה לציון
המתאם בין שעות הלימוד לציון חיובי וחזק
הציון הצפוי של תלמיד שלמד $15$ שעות הוא $127.25$
הציון הצפוי של תלמיד שלמד $5$ שעות הוא $79.75$
כל תלמיד שילמד עוד שעה יקבל בדיוק עוד $4.75$ נקודות
לתלמידים שלמדו יותר היו בדרך כלל ציונים גבוהים יותר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לתלמידים שלמדו יותר היו בדרך כלל ציונים גבוהים יותר — מותר להסיק · המתאם בין שעות הלימוד לציון חיובי וחזק — מותר להסיק · הציון הצפוי של תלמיד שלמד $5$ שעות הוא $79.75$ — מותר להסיק · כל תלמיד שילמד עוד שעה יקבל בדיוק עוד $4.75$ נקודות — אסור להסיק · הציון הצפוי של תלמיד שלמד $15$ שעות הוא $127.25$ — אסור להסיק · הלימוד הוא הסיבה היחידה לציון — אסור להסיק

הפתרון:

4.75 \cdot 5+56=79.75

בתוך התחום: ניבוי מותר

4.75 \cdot 15+56=127.25 > 100

מחוץ לתחום: אקסטרפולציה

שלוש המסקנות האסורות הן שלוש המלכודות: «בדיוק» במקום «בממוצע», אקסטרפולציה, וסיבה במקום מתאם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במבחן הקלדה נמצא $r=-0.6$ בין מספר השגיאות ( $x$ ) לבין מהירות ההקלדה ( $y$ ). הציון במבחן נקבע לפי $20-x$ . מהו מקדם המתאם בין הציון לבין מהירות ההקלדה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

x \to -x+20

כפל בקבוע שלילי, ואחר כך חיבור

r \to -r=0.6

הסימן מתהפך, הערך המוחלט לא משתנה

$r=0.6$ . ציון גבוה פירושו מעט שגיאות, ולכן הכיוון מתהפך. החוזק לא משתנה: $|r|=0.6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ניבוי רק בתוך תחום הנתונים

מתאם אינו סיבתיות

נקודה חריגה

r=0r=0r=0 אינו «אין קשר»

שינוי יחידות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

$r=0$ אינו «אין קשר»