פותרים יחד · מתאם ורגרסיה · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלה 2 של הבגרות: חישוב מלא מטבלה, קו רגרסיה נתון שממנו מוצאים את החסר, שינוי של כל ערכי $y$ , ונתון חסר עם בחירה של $r$ . כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה של רגרסיה הסדר קבוע: ממוצעים, סטיות תקן, $r$ , שיפוע, קו, ניבוי.

1 — חישוב מלא מטבלה

פעילות אינטראקטיבית

בחמישה ימים נרשמו הטמפרטורה ( $x$ , במעלות) ומספר הגלידות שנמכרו בקיוסק ( $y$ ). $x$ : $20,\ 24,\ 26,\ 28,\ 32$ . $y$ : $120,\ 140,\ 150,\ 180,\ 160$ . א. חשבו את הממוצעים ואת סטיות התקן. ב. חשבו את $r$ . ג. מצאו את קו הרגרסיה של $y$ לפי $x$ . ד. כמה גלידות צפויות להימכר ביום של $30°$ ?

x:\ 20,\ 24,\ 26,\ 28,\ 32 \qquad y:\ 120,\ 140,\ 150,\ 180,\ 160

לחצו «להתחיל». כתבו את ההפרשים מהממוצע בשורה אחת: הם ישמשו לכל הסעיפים.

א. ממוצעים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{130}{5} \\ &= 26 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{750}{5} \\ &= 150\end{aligned}

סכום חלקי מספר הימים.

א. הפרשים

x-\bar{x}:\ -6,\ -2,\ 0,\ 2,\ 6 \qquad y-\bar{y}:\ -30,\ -10,\ 0,\ 30,\ 10

בדיקה: כל שורה מסתכמת ב- $0$ .

א. סטיות תקן

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{80}{5}} \\ &= 4 \qquad S_y \\ &= \sqrt{\frac{2000}{5}} \\ &= 20\end{aligned}

$36+4+0+4+36=80$ ו- $900+100+0+900+100=2000$ . מחלקים ב- $N=5$ .

ב. מכפלות

180+20+0+60+60=320

כל המכפלות אי-שליליות: כל הנקודות מתאימות למגמה עולה.

ב. r

\begin{aligned}r &= \frac{320}{5 \cdot 4 \cdot 20} \\ &= 0.8\end{aligned}

מתאם חיובי חזק.

ג. שיפוע

\begin{aligned}m &= 0.8 \cdot \frac{20}{4} \\ &= 4\end{aligned}

$S_y$ במונה.

ג. הקו

\begin{aligned}y-150 &= 4(x-26) \ \Rightarrow \ y \\ &= 4x+46\end{aligned}

דרך נקודת הממוצעים.

ד. ניבוי

\begin{aligned}y(30) &= 4 \cdot 30+46 \\ &= 166\end{aligned}

$30°$ בתוך תחום הנתונים, ולכן מותר לנבא.

שני מקומות שבהם שואלים את זה בבחינה: החלוקה ב- $N$ בסטיית התקן, ו- $S_y$ במונה של השיפוע.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם אפשר להשתמש בקו $y=4x+46$ כדי לנבא את המכירות ביום של $5°$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. הנתונים הם מימים של $20°$ עד $32°$ . $5°$ רחוק מחוץ לתחום: זו אקסטרפולציה. המספר $4 \cdot 5+46=66$ נראה סביר, וזה בדיוק מה שמסוכן בו.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — קו נתון: מה חסר?

פעילות אינטראקטיבית

מהקו אל הממוצע ואל סטיית התקן

חברת משלוחים בדקה את המרחק מהסניף ( $x$ , בק״מ) ואת זמן המשלוח ( $y$ , בדקות). קו הרגרסיה: $y=2.5x+14$ . נתון: $\bar{x}=8$ , $S_x=3$ , $r=0.75$ . א. מצאו את $\bar{y}$ . ב. מצאו את $S_y$ . ג. משלוח למרחק $10$ ק״מ: מה הזמן הצפוי? האם אפשר לדעת את הזמן בדיוק?

איך מוצאים את $\bar{y}$ ?

מציבים $x=\bar{x}=8$ במשוואת הקו

להציג את התשובה והפתרון

הנקודה $(\bar{x},\,\bar{y})$ תמיד על קו הרגרסיה.

$\bar{y}=b=14$

להציג את התשובה והפתרון

$b$ הוא ה- $y$ של הקו ב- $x=0$ , ולא ב- $x=\bar{x}$ .

\begin{aligned}\bar{y} &= 2.5 \cdot 8+14 \\ &= 34\end{aligned}

זמן המשלוח הממוצע: $34$ דקות.

איך מוצאים את $S_y$ ?

מ- $m=r \cdot \frac{S_y}{S_x}$ : $\ 2.5=0.75 \cdot \frac{S_y}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

השיפוע של הקו הוא $m$ שבנוסחאון.

$2.5=0.75 \cdot \frac{3}{S_y}$

להציג את התשובה והפתרון

השבר הפוך: $S_y$ במונה.

\begin{aligned}S_y &= \frac{2.5 \cdot 3}{0.75} \\ &= 10\end{aligned}

סטיית התקן של זמני המשלוח: $10$ דקות.

מה הזמן הצפוי ל- $10$ ק״מ, ומה אפשר לומר עליו?

$39$ דקות, בממוצע; משלוח מסוים יכול לקחת יותר או פחות

להציג את התשובה והפתרון

$r=0.75$ : הנקודות לא על הקו.

$39$ דקות בדיוק

להציג את התשובה והפתרון

הקו נותן ערך צפוי. רק ב- $r=\pm 1$ כל הנקודות על הקו.

\begin{aligned}y(10) &= 2.5 \cdot 10+14 \\ &= 39\end{aligned}

ניבוי, ולא ערך מדויק.

להציג את התשובה והפתרון

$\bar{y}=34$ , $S_y=10$ , והזמן הצפוי $39$ דקות. אי אפשר לדעת אותו בדיוק: $r=0.75$ , ולכן יש פיזור סביב הקו.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשאלה 2, האם $10$ ק״מ נמצא בתחום הנתונים?

להציג את התשובה והפתרון

לא יודעים. נתון רק $\bar{x}=8$ ו- $S_x=3$ . $10$ קרוב לממוצע, פחות מסטיית תקן אחת ממנו, ולכן סביר שהוא בתחום. בבחינה כותבים את ההנחה הזאת במפורש.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — כל ערכי $y$ משתנים

פעילות אינטראקטיבית

בבדיקה של דירות נרשמו מספר החדרים ( $x$ ) וצריכת החשמל החודשית ( $y$ , במאות קוט״ש). נתון: $\bar{x}=4$ , $S_x=1.5$ , $\bar{y}=6$ , $S_y=2$ , $r=0.9$ . א. מצאו את קו הרגרסיה. ב. אחרי מבצע לחיסכון בחשמל, הצריכה בכל דירה ירדה ב- $10\%$ . מצאו את $\bar{y}$ , את $S_y$ ואת $r$ החדשים, ואת הקו החדש.

\begin{aligned}\bar{x} &= 4 \\ \ S_x &= 1.5 \\ \ \bar{y} &= 6 \\ \ S_y &= 2 \\ \ r &= 0.9 \qquad y \to 0.9y\end{aligned}

לחצו «להתחיל». ירידה של 10% היא כפל ב-0.9: זה קובע מה משתנה ומה לא.

א. שיפוע

\begin{aligned}m &= 0.9 \cdot \frac{2}{1.5} \\ &= 1.2\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון.

א. הקו

\begin{aligned}y-6 &= 1.2(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 1.2x+1.2\end{aligned}

$6-4.8=1.2$ .

ב. המרה

y \to 0.9y

ירידה של 10% היא כפל, ולא חיסור של 0.1.

ב. ממוצע ופיזור

\begin{aligned}\bar{y} &= 0.9 \cdot 6 \\ &= 5.4 \qquad S_y \\ &= 0.9 \cdot 2 \\ &= 1.8\end{aligned}

בכפל, גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים.

ב. r

r=0.9

כפל בקבוע חיובי לא משנה את $r$ .

ב. הקו החדש

\begin{aligned}m &= 0.9 \cdot \frac{1.8}{1.5} \\ &= 1.08 \qquad y \\ &= 1.08x+1.08\end{aligned}

$5.4-1.08 \cdot 4=1.08$ . בדיקה: כל המקדמים של הקו הקודם, כפול 0.9.

את הקו החדש אפשר לקבל גם בלי חישוב: כופלים את כל המשוואה ב- $0.9$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

אילו גדלים לא השתנו בסעיף ב, ולמה?

להציג את התשובה והפתרון

$\bar{x}$ ו- $S_x$ לא השתנו, כי $x$ לא השתנה. גם $r$ לא השתנה: כפל של $y$ בקבוע חיובי לא משנה את הצורה של הענן, רק את קנה המידה של הציר האנכי.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — נתון חסר, ובחירה של $r$

שעות תרגול (x)	3	5	9	11	15	17
שגיאות (y)	26	22	20	22	?	16

שעות תרגול ושגיאות — 5 הנקודות הידועות

פעילות אינטראקטיבית

נתון חסר, ואז $r$

ששה תלמידים רשמו כמה שעות תרגלו הקלדה ( $x$ ) וכמה שגיאות עשו במבחן ( $y$ ). בטבלה חסר מספר השגיאות של התלמיד שתרגל $15$ שעות. נתון: $\bar{y}=20$ , $S_x=5$ . א. מצאו את הנתון החסר. ב. איזה מהערכים הוא $r$ : $-0.9$ , $-0.3$ , $0.3$ , $0.9$ ? נמקו. ג. מצאו את קו הרגרסיה.

$-0.9$

$-0.3$

$0.3$

$0.9$

איך מוצאים את הנתון החסר?

מהממוצע: סכום כל ה- $y$ הוא $6 \cdot 20=120$

להציג את התשובה והפתרון

הממוצע נותן את הסכום, והסכום נותן את החסר.

מקו הרגרסיה

להציג את התשובה והפתרון

את הקו עוד אי אפשר לבנות: חסר נתון.

\begin{aligned}120-(26+22+20+22+16) &= 120-106 \\ &= 14\end{aligned}

התלמיד שתרגל $15$ שעות עשה $14$ שגיאות.

מה אומרת הדיאגרמה על הסימן של $r$ ?

שלילי: ככל שמתרגלים יותר, יש פחות שגיאות

להציג את התשובה והפתרון

הנקודות יורדות משמאל לימין.

חיובי, כי התרגול משפר

להציג את התשובה והפתרון

«משפר» זה פחות שגיאות: $y$ קטן. הסימן תלוי במה ש- $y$ מודד.

r \in \{-0.9 ,\ -0.3\}

נשארו שני ערכים שליליים.

חזק או חלש?

חזק: הנקודות קרובות לקו יורד, ולכן $r=-0.9$

להציג את התשובה והפתרון

בדיקה בחישוב: סכום המכפלות $-108$ , $S_y=4$ , ו- $\frac{-108}{6 \cdot 5 \cdot 4}=-0.9$ .

חלש, ולכן $r=-0.3$

להציג את התשובה והפתרון

הנקודות לא מפוזרות: הן יוצרות רצועה צרה.

\begin{aligned}r &= \frac{-42-10+0+2-30-28}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= \frac{-108}{120} \\ &= -0.9\end{aligned}

$\bar{x}=10$ , $S_y=\sqrt{\frac{96}{6}}=4$ .

מה השיפוע?

$m=-0.9 \cdot \frac{4}{5}=-0.72$

להציג את התשובה והפתרון

הנוסחה מהנוסחאון.

$m=-0.9 \cdot \frac{5}{4}=-1.125$

להציג את התשובה והפתרון

השבר הפוך: $S_y$ במונה.

\begin{aligned}y-20 &= -0.72(x-10) \ \Rightarrow \ y \\ &= -0.72x+27.2\end{aligned}

דרך נקודת הממוצעים $(10,\,20)$ .

להציג את התשובה והפתרון

הנתון החסר: $14$ . $r=-0.9$ : הכיוון שלילי והנקודות צמודות לקו. הקו: $y=-0.72x+27.2$ . מי שבחר $0.9$ קרא «תרגול טוב» כמתאם חיובי.

לעשות את הפעילות ב-elev

לפי הקו, כמה שגיאות צפויות לתלמיד שתרגל $12$ שעות?

להציג את התשובה והפתרון

$-0.72 \cdot 12+27.2=18.56$ : בערך $18.6$ שגיאות, בממוצע. תלמיד מסוים לא יעשה $18.56$ שגיאות; זה ערך צפוי.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה, ושאלה 5 על בחירת $r$ .

תרגילים

תרגיל 1

חמישה עובדים: מספר השנים בחברה ( $x$ ) והשכר השעתי בשקלים ( $y$ ). $x$ : $10,\ 12,\ 13,\ 14,\ 16$ . $y$ : $41,\ 50,\ 53,\ 47,\ 59$ . חשבו את $r$ ומצאו את קו הרגרסיה $y=mx+b$ .

$r=$ ____ , $m=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $r=$ 0.85 , $m=$ 2.55 , $b=$ 16.85

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= 13 \\ \ \bar{y} &= 50 \\ \ S_x &= \sqrt{\frac{20}{5}} \\ &= 2 \\ \ S_y &= \sqrt{\frac{180}{5}} \\ &= 6\end{aligned}

ממוצעים וסטיות תקן

27+0+0-3+27=51

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{51}{5 \cdot 2 \cdot 6} \\ &= 0.85\end{aligned}

מקדם המתאם

\begin{aligned}m &= 0.85 \cdot \frac{6}{2} \\ &= 2.55 \qquad b \\ &= 50-2.55 \cdot 13 \\ &= 16.85\end{aligned}

הקו

הקו: $y=2.55x+16.85$ . שימו לב למכפלה $0$ בנקודה $(12,\,50)$ : $y=\bar{y}$ , ולכן היא לא תורמת כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

קו הרגרסיה של $y$ לפי $x$ הוא $y=3x+20$ . נתון: $\bar{x}=6$ , $S_x=2$ , $r=0.6$ . מצאו את $\bar{y}$ ואת $S_y$ .

$\bar{y}=$ ____ , $S_y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\bar{y}=$ 38 , $S_y=$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{y} &= 3 \cdot 6+20 \\ &= 38\end{aligned}

$(\bar{x},\,\bar{y})$ על הקו

\begin{aligned}3 &= 0.6 \cdot \frac{S_y}{2} \ \Rightarrow \ S_y \\ &= \frac{3 \cdot 2}{0.6} \\ &= 10\end{aligned}

מהשיפוע

$\bar{y}=38$ ו- $S_y=10$ . מי שכתב $\bar{y}=20$ לקח את $b$ במקום להציב את $\bar{x}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון: $\bar{x}=5$ , $S_x=2$ , $\bar{y}=40$ , $S_y=8$ , $r=0.75$ . א. מצאו את קו הרגרסיה. ב. כל הערכים של $y$ גדלים ב- $5\%$ . מצאו את הקו החדש.

א. $m=$ ____ , $b=$ ____ ; ב. $m=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א. $m=$ 3 , $b=$ 25 ; ב. $m=$ 3.15 , $b=$ 26.25

הפתרון:

\begin{aligned}m &= 0.75 \cdot \frac{8}{2} \\ &= 3 \qquad b \\ &= 40-3 \cdot 5 \\ &= 25\end{aligned}

הקו המקורי

y \to 1.05y

תוספת של $5\%$ היא כפל

\begin{aligned}m &= 1.05 \cdot 3 \\ &= 3.15 \qquad b \\ &= 1.05 \cdot 25 \\ &= 26.25\end{aligned}

כל המשוואה מוכפלת ב- $1.05$

הקו החדש: $y=3.15x+26.25$ . מי שהוסיף $0.05$ לשיפוע חיבר במקום לכפול. $r$ נשאר $0.75$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

תיאטרון בדק את המחיר של כרטיס ( $x$ , בשקלים) ואת מספר הכרטיסים שנמכרו, בעשרות ( $y$ ), בחמש הצגות. $x$ : $20,\ 40,\ 50,\ 60,\ 80$ . $y$ : $75,\ 65,\ ?,\ 45,\ 55$ . נתון $\bar{y}=60$ . מצאו את הנתון החסר, את $r$ ואת קו הרגרסיה.

חסר: ____ , $r=$ ____ , $m=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: חסר: 60 , $r=$ -0.8 , $m=$ -0.4 , $b=$ 80

הפתרון:

\begin{aligned}5 \cdot 60-(75+65+45+55) &= 300-240 \\ &= 60\end{aligned}

הנתון החסר מהממוצע

\begin{aligned}\bar{x} &= 50 \\ \ S_x &= \sqrt{\frac{2000}{5}} \\ &= 20 \\ \ S_y &= \sqrt{\frac{500}{5}} \\ &= 10\end{aligned}

סטיות התקן

\begin{aligned}-450-50+0-150-150 &= -800 \ \Rightarrow \ r \\ &= \frac{-800}{5 \cdot 20 \cdot 10} \\ &= -0.8\end{aligned}

מקדם המתאם

\begin{aligned}m &= -0.8 \cdot \frac{10}{20} \\ &= -0.4 \qquad b \\ &= 60+0.4 \cdot 50 \\ &= 80\end{aligned}

הקו

הקו: $y=-0.4x+80$ . כל שקל נוסף במחיר מוריד, בממוצע, $0.4$ עשרות, כלומר $4$ כרטיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מבקרים וספרים שנשאלו — 7 ימים

בדיאגרמה: שבעה ימים, מספר המבקרים בספרייה ( $x$ , בעשרות) ומספר הספרים שנשאלו ( $y$ , בעשרות). איזה מהערכים הוא הקרוב ביותר ל- $r$ ?

$-0.25$
$-0.95$
$0.95$
$0.25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $0.25$

הפתרון:

x \uparrow \ \Rightarrow \ y \uparrow \ \text{קצת}

מגמה עולה חלשה

r \approx 0.22

הנקודות רחוקות מקו ישר: $|r|$ קטן

הנכונה: $0.25$ (בחישוב $r \approx 0.22$ ). יש מגמה עולה, אבל הנקודות רחוקות מקו ישר. $0.95$ מתאים לנקודות צמודות לקו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — חישוב מלא מטבלה

2 — קו נתון: מה חסר?

3 — כל ערכי yyy משתנים

4 — נתון חסר, ובחירה של rrr

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

3 — כל ערכי $y$ משתנים

4 — נתון חסר, ובחירה של $r$