תרגול · סדרות · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: לזהות סדרה חשבונית או הנדסית, האיבר הכללי של שתיהן, והסכום של סדרה חשבונית. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

בסדרה חשבונית $a_1 = 4$ ו- $d = 6$ . מהו $a_{20}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 118

הפתרון:

a_{20} = 4 + 19 \cdot 6

תשע-עשרה קפיצות

= 118

צעד אחד פחות ממספר האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הסדרה $5, 10, 20, 40, \ldots$ — איזה סוג?

לא חשבונית ולא הנדסית
חשבונית, $d = 5$
הנדסית, $q = 5$
הנדסית, $q = 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הנדסית, $q = 2$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{10}{5} &= \frac{20}{10} \\ &= \frac{40}{20} \\ &= 2\end{aligned}

מנה קבועה

\begin{aligned}10 - 5 &= 5 \ \\ \ 20 - 10 &= 10\end{aligned}

ההפרשים לא קבועים

כפל קבוע ⇐ הנדסית. ההפרש הראשון $5$ מטעה, אבל הוא לא חוזר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה הנדסית $a_1 = 2$ ו- $q = 3$ . מהו $a_5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 162

הפתרון:

a_5 = 2 \cdot 3^{4}

ארבעה צעדים של כפל

= 2 \cdot 81 = 162

החזקה היא $n-1$ , בדיוק כמו ה- $(n-1)$ של החשבונית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

בסדרה חשבונית $a_1 = -7$ ו- $d = 3$ . מהו $S_{16}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 248

הפתרון:

\begin{aligned}a_{16} &= -7 + 15 \cdot 3 \\ &= 38\end{aligned}

קודם האיבר האחרון

S_{16} = \frac{(-7 + 38) \cdot 16}{2}

= 248

האיבר הראשון שלילי — הנוסחה לא משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה הנדסית שכל איבריה חיוביים, $a_2 = 6$ ו- $a_4 = 54$ . מהו $a_1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= q^2 \\ &= \frac{54}{6} \\ &= 9\end{aligned}

שני צעדים של כפל ביניהם

q = 3

האיברים חיוביים

\begin{aligned}a_1 &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

צעד אחד אחורה

הסדרה: $2, 6, 18, 54$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

יעל מתאמנת לריצה. ביום הראשון היא רצה 2 ק״מ, ובכל יום היא רצה חצי ק״מ יותר מביום הקודם. כמה ק״מ היא רצה בסך הכול ב-15 הימים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 82.5

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 2 \ \\ \ d &= 0.5\end{aligned}

סדרה חשבונית

\begin{aligned}a_{15} &= 2 + 14 \cdot 0.5 \\ &= 9\end{aligned}

ביום ה-15

\begin{aligned}S_{15} &= \frac{(2 + 9) \cdot 15}{2} \\ &= 82.5\end{aligned}

82.5 ק״מ בסך הכול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה הנדסית $a_1 = 5$ ו- $q = 2$ . האיבר $a_4$ שווה ל- $80$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

a_4 = 5 \cdot 2^{3}

שלושה צעדים

= 40

$80 = 5 \cdot 2^4$ — זו אותה טעות של $n$ במקום $n-1$ , הפעם בחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

בסדרה חשבונית $a_2 = 11$ ו- $a_6 = 27$ . מהו סכום עשרים האיברים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 900

הפתרון:

\begin{aligned}a_6 - a_2 &= 4d \\ &= 16 \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

ארבע קפיצות

\begin{aligned}a_1 &= 11 - 4 \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}a_{20} &= 7 + 19 \cdot 4 \\ &= 83\end{aligned}

\begin{aligned}S_{20} &= \frac{(7 + 83) \cdot 20}{2} \\ &= 900\end{aligned}

ארבעה צעדים: $d \ , \ a_1$ , האיבר האחרון, הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סטודנטית מקבלת מלגה חודשית. בחודש הראשון היא קיבלה 1000 ש״ח, ובכל חודש המלגה גדלה ב- $10\%$ לעומת החודש הקודם. כמה ש״ח היא תקבל בחודש הרביעי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1331

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 1000 \ \\ \ q &= 1.1\end{aligned}

סדרה הנדסית

a_4 = 1000 \cdot 1.1^{3}

שלושה צעדים, לא ארבעה

= 1331

$1000 \cdot 1.1^4 = 1464.1$ היא התשובה של החודש החמישי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הסדרה החשבונית $7, 11, 15, \ldots$ . כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי שהסכום יהיה $348$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}a_n &= 7 + 4(n-1) \\ &= 4n + 3\end{aligned}

האיבר הכללי

\frac{(7 + 4n + 3) \cdot n}{2} = 348

2n^2 + 5n - 348 = 0

\begin{aligned}n &= \frac{-5 + 53}{4} \\ &= 12\end{aligned}

הפתרון השלילי נפסל

בדיקה: $a_{12} = 51$ ו- $\frac{(7 + 51) \cdot 12}{2} = 348$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev