סדרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סדרה היא רשימת מספרים בסדר קבוע. שני סוגים מכסים כמעט הכול בבגרות, וההבדל ביניהם הוא מה נשמר בין איבר לאיבר.

dd

סדרה חשבונית — כל איבר גדול מקודמו בהפרש קבוע: 3, 7, 11, 15.

qq

סדרה הנדסית — כל איבר הוא קודמו כפול מנה קבועה: 3, 6, 12, 24.

האיבר הכללי

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1) d

למה n−1n - 1? כי מהאיבר הראשון עד ה-nn עשינו צעד אחד פחות ממספר האיברים. מ-a1a_1 ל-a5a_5 יש ארבעה צעדים, לא חמישה.

an=a1⋅q n−1a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}

ובהנדסית — אותו היגיון בדיוק, רק שבמקום להוסיף dd כופלים ב-qq.

סכום סדרה חשבונית

Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

ההוכחה היפה של גאוס: כותבים את הסדרה פעמיים — פעם אחת רגיל ופעם אחת הפוך — ומחברים. כל זוג נותן אותו סכום, ויש nn זוגות. מחלקים ב-2 כי ספרנו פעמיים.

סדרה שלמה

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מצאו את a10a_{10} ואת סכום עשרת הראשונים.

a10=5+9⋅3a_{10} = 5 + 9 \cdot 3

תשעה צעדים, לא עשרה

=32= 32

האיבר העשירי

S10=(5+32)⋅102S_{10} = \frac{(5 + 32) \cdot 10}{2}

נוסחת הסכום

=185= 185

הסכום

הטעות של הסדרות.

an=a1+n⋅da_n = a_1 + n \cdot d
a1+(n−1)da_1 + (n - 1) d

צעד אחד פחות ממספר האיברים. זו הטעות שחוזרת יותר מכל אחרת בפרק.

בסדרה חשבונית a1=3a_1 = 3 ו-d=4d = 4. מהו a10a_{10}?

להציג את התשובה והפתרון

39: an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d, כלומר 3+9⋅43 + 9 \cdot 4. שימו לב ל-(n−1)(n-1) — תשע קפיצות, לא עשר.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה חשבונית a1=5a_1 = 5 ו-d=3d = 3. מהו a10a_{10}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

a10=5+9⋅3a_{10} = 5 + 9 \cdot 3

תשעה צעדים

=32= 32

התוצאה

n−1n - 1 ולא nn — צעד אחד פחות ממספר האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה סדרה — מהו סכום עשרת האיברים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 185

הפתרון:

S=(5+32)⋅102S = \frac{(5 + 32) \cdot 10}{2}

נוסחת הסכום

=185= 185

מחשבים

ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה הנדסית a1=3a_1 = 3 ו-q=2q = 2. מהו a5a_5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

3⋅243 \cdot 2^4

ארבעה צעדים

=48= 48

התוצאה

3, 6, 12, 24, 48 — בדיקה בספירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הסדרה 4, 12, 36, 108 — איזה סוג?

  1. חשבונית, d=8d = 8
  2. הנדסית, q=3q = 3
  3. הנדסית, q=8q = 8
  4. לא חשבונית ולא הנדסית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הנדסית, q=3q = 3

הפתרון:

12:4=312 : 4 = 3

המנה

36:12=336 : 12 = 3

זהה

מנה קבועה — הנדסית. ההפרשים כאן אינם קבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה חשבונית a1=2a_1 = 2 ו-a5=18a_5 = 18. מהו dd?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

18=2+4d18 = 2 + 4d

ארבעה צעדים מ-a1a_1 ל-a5a_5

4d=16⇒d=4\begin{aligned}4d &= 16 \Rightarrow d \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

ארבעה צעדים, לא חמישה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסדרה חשבונית a1=8a_1 = 8 ו-d=5d = 5. מהו a12a_{12}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63

הפתרון:

8+11⋅58 + 11 \cdot 5

אחת-עשרה קפיצות

=63= 63

(n−1)(n-1) קפיצות, לא nn.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה הנדסית a1=4a_1 = 4 ו-q=3q = 3. מהו a4a_4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

4⋅334 \cdot 3^3

שלוש קפיצות

=108= 108

בהנדסית ה-(n−1)(n-1) יושב בחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה חשבונית a1=2a_1 = 2 ו-d=4d = 4. מהו הסכום S8S_8?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 128

הפתרון:

a8=2+7⋅4=30\begin{aligned}a_8 &= 2 + 7 \cdot 4 \\ &= 30\end{aligned}

קודם האחרון

8(2+30)2=128\frac{8(2+30)}{2} = 128

הסכום נשען על האיבר האחרון — מחשבים אותו קודם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרה שבה כל איבר הוא פי 3 מקודמו. איזו סדרה זו?

  1. הנדסית עם q=3q = 3
  2. לא סדרה מוכרת
  3. תלוי באיבר הראשון
  4. חשבונית עם d=3d = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הנדסית עם q=3q = 3

הפתרון:

an+1=3ana_{n+1} = 3a_n

כפל קבוע

כפל ⇐ הנדסית. חיבור ⇐ חשבונית. זו כל ההבחנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האיברים 66, bb, 1414 עוקבים בסדרה חשבונית. מהו bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2b=6+142b = 6 + 14

האמצעי הוא הממוצע

b=10b = 10

ההפרש יוצא 44: 6,10,146, 10, 14.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת