תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: שטח בעזרת סינוס, משפט הסינוסים ורדיוס המעגל החוסם, מציאת זווית, וצורות מורכבות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=12AC = 12 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. מצאו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

S=12⋅10⋅12⋅sin⁡30∘=30\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ \\ &= 30\end{aligned}

השטח 3030. המלכודת: cos⁡30∘\cos 30^\circ במקום sin⁡30∘\sin 30^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABC
המעגל החוסם לא מצויר.

במשולש ABCABC נתון AB=8AB = 8 ו-∠C=30∘\angle C = 30^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

2R=8sin⁡30∘=16 ⇒ R=8\begin{aligned}2R &= \frac{8}{\sin 30^\circ} \\ &= 16 \ \Rightarrow \ R \\ &= 8\end{aligned}

ABAB מול ∠C\angle C

R=8R = 8. המלכודת: 1616, הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABC

במשולש ABCABC נתון ∠A=110∘\angle A = 110^\circ. לאיזה ביטוי שווה sin⁡A\sin A?

  1. sin⁡20∘\sin 20^\circ
  2. −sin⁡70∘-\sin 70^\circ
  3. cos⁡70∘\cos 70^\circ
  4. sin⁡70∘\sin 70^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד sin⁡70∘\sin 70^\circ

הפתרון:

sin⁡110∘=sin⁡(180∘−110∘)=sin⁡70∘\begin{aligned}\sin 110^\circ &= \sin(180^\circ - 110^\circ) \\ &= \sin 70^\circ\end{aligned}

הנכונה: sin⁡70∘\sin 70^\circ. המלכודת: sin⁡20∘\sin 20^\circ, מ-110∘−90∘110^\circ - 90^\circ. הזהות היא עם 180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=9BC = 9, ∠B=80∘\angle B = 80^\circ ו-∠C=45∘\angle C = 45^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.82

הפתרון:

∠A=55∘\angle A = 55^\circ

הזווית שמול BCBC

AC=9sin⁡80∘sin⁡55∘≈10.82AC = \frac{9 \sin 80^\circ}{\sin 55^\circ} \approx 10.82

ACAC מול ∠B\angle B

AC≈10.82AC \approx 10.82. המלכודת: להתחיל ישר ב-9sin⁡80∘\frac{9}{\sin 80^\circ}. ∠B\angle B לא מול BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=7AB = 7, AD=6AD = 6 ו-∠A=135∘\angle A = 135^\circ. מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29.7

הפתרון:

S=7⋅6⋅sin⁡135∘=42⋅22=212≈29.70\begin{aligned}S &= 7 \cdot 6 \cdot \sin 135^\circ \\ &= 42 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 21\sqrt{2} \approx 29.70\end{aligned}

השטח 212≈29.7021\sqrt{2} \approx 29.70. המלכודת: לחשוב שצריך את הזווית החדה. sin⁡135∘=sin⁡45∘\sin 135^\circ = \sin 45^\circ, ושתיהן נותנות אותו שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, AC=9AC = 9 ו-∠A=75∘\angle A = 75^\circ. מצאו את ∠B\angle B במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 46.42

הפתרון:

sin⁡B=9sin⁡75∘12≈0.7244\sin B = \frac{9 \sin 75^\circ}{12} \approx 0.7244
∠B≈46.42∘\angle B \approx 46.42^\circ

∠A\angle A מול הצלע הגדולה, ולכן ∠B\angle B חדה: 75∘+133.58∘>180∘75^\circ + 133.58^\circ > 180^\circ

∠B≈46.42∘\angle B \approx 46.42^\circ. המלכודת: להוסיף תשובה שנייה 133.58∘133.58^\circ שלא נכנסת למשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 88, הזווית המרכזית ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ. הנקודה CC על הקשת הגדולה. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.26

הפתרון:

∠ACB=50∘\angle ACB = 50^\circ

זווית היקפית: חצי מהמרכזית

AB=2⋅8⋅sin⁡50∘≈12.26AB = 2 \cdot 8 \cdot \sin 50^\circ \approx 12.26

משפט הסינוסים ב-△ABC\triangle ABC

AB≈12.26AB \approx 12.26. המלכודת: 16sin⁡100∘16 \sin 100^\circ, עם הזווית המרכזית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

ABCD

במרובע ABCDABCD נתון AD=8AD = 8, ∠BAD=65∘\angle BAD = 65^\circ, ∠ADB=55∘\angle ADB = 55^\circ, ∠CBD=50∘\angle CBD = 50^\circ ו-∠BDC=45∘\angle BDC = 45^\circ. מצאו את שטח המרובע (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 46.49

הפתרון:

∠ABD=60∘BD=8sin⁡65∘sin⁡60∘≈8.37\begin{aligned}\angle ABD &= 60^\circ \\ \quad BD &= \frac{8 \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 8.37\end{aligned}

משפט הסינוסים ב-△ABD\triangle ABD

∠C=85∘CD=BDsin⁡50∘sin⁡85∘≈6.44\begin{aligned}\angle C &= 85^\circ \\ \quad CD &= \frac{BD \sin 50^\circ}{\sin 85^\circ} \approx 6.44\end{aligned}

משפט הסינוסים ב-△BCD\triangle BCD

S=12⋅8⋅BD⋅sin⁡55∘+12⋅BD⋅CD⋅sin⁡45∘≈46.49S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot BD \cdot \sin 55^\circ + \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 45^\circ \approx 46.49

בכל משולש: הזווית שבין שתי הצלעות

השטח ≈46.49\approx 46.49. המלכודת: לקחת בכל משולש את הזווית שנוחה, ולא את הזווית הכלואה בין שתי הצלעות שבנוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=11AB = 11, AC=8AC = 8 ו-∠B=38∘\angle B = 38^\circ. הזווית ∠C\angle C קהה. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.41

הפתרון:

sin⁡C=11sin⁡38∘8≈0.8465\sin C = \frac{11 \sin 38^\circ}{8} \approx 0.8465
∠C≈180∘−57.84∘=122.16∘\angle C \approx 180^\circ - 57.84^\circ = 122.16^\circ

הזווית קהה

∠A≈19.84∘BC=8sin⁡19.84∘sin⁡38∘≈4.41\begin{aligned}\angle A \approx 19.84^\circ \\ \quad BC &= \frac{8 \sin 19.84^\circ}{\sin 38^\circ} \approx 4.41\end{aligned}

BCBC מול ∠A\angle A

BC≈4.41BC \approx 4.41. המלכודת: להמשיך עם הזווית החדה 57.84∘57.84^\circ ולקבל את BCBC של המשולש השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

BDCA
המעגל לא מצויר.

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון BD=10BD = 10, ∠BAD=70∘\angle BAD = 70^\circ ו-∠CBD=35∘\angle CBD = 35^\circ. מצאו את CDCD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.1

הפתרון:

2R=10sin⁡70∘≈10.642R = \frac{10}{\sin 70^\circ} \approx 10.64

משפט הסינוסים ב-△ABD\triangle ABD

CD=2Rsin⁡∠CBDCD = 2R\sin\angle CBD

גם △BCD\triangle BCD חסום באותו מעגל

CD=10sin⁡35∘sin⁡70∘≈6.1CD = \frac{10 \sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 6.1

CD≈6.1CD \approx 6.1. המלכודת: לחפש זווית נוספת במשולש BCDBCD. במעגל אחד 2R2R משותף, והזווית ∠CBD\angle CBD מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת