סדרה 3 — לקראת הבגרות · משפט הסינוסים · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל, והנתונים חוזרים בכל אחד. השאלה השלישית מחברת את הפרק לגאומטריה האנליטית, כמו בבחינה: זווית משיפוע, ואחריה שטח ורדיוס.

בבחינה סעיף משתמש בתוצאה של הסעיף הקודם. שמרו את התוצאות המלאות במחשבון ועגלו רק בסוף, אחרת הטעות של העיגול גדלה מסעיף לסעיף.

תרגילים

תרגיל 1

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ . נתון $\angle BAC = 40^\circ$ ו- $\angle ABC = 75^\circ$ . א. מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.71

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BC}{\sin 40^\circ} &= 2R \\ &= 12\end{aligned}

משפט הסינוסים: $BC$ מול $\angle A$

BC = 12 \sin 40^\circ \approx 7.71

$BC \approx 7.71$ . המלכודת: $R\sin 40^\circ$ , בלי ה- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ . נתון $\angle BAC = 40^\circ$ ו- $\angle ABC = 75^\circ$ . ב. מצאו את $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.59

הפתרון:

AC = 2R\sin\angle ABC

$AC$ מול $\angle B$

AC = 12 \sin 75^\circ \approx 11.59

$AC \approx 11.59$ . המלכודת: לחשב עם $\angle C$ . $\angle C$ מול $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $6$ . נתון $\angle BAC = 40^\circ$ ו- $\angle ABC = 75^\circ$ . ג. מצאו את שטח המשולש $ABC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40.52

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית שבין $BC$ ל- $AC$

S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 65^\circ \approx 40.52

שתי הצלעות מסעיפים א ו-ב

השטח $\approx 40.52$ . המלכודת: $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 40^\circ$ . הזווית שבין $BC$ ל- $AC$ היא $\angle C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במרובע $ABCD$ האלכסון $BD$ חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון $AB = 7$ , $\angle ABD = 65^\circ$ ו- $\angle ADB = 35^\circ$ . עוד נתון $\angle DBC = 45^\circ$ ו- $\angle BCD = 95^\circ$ . א. מצאו את $BD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.02

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 65^\circ - 35^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

הזווית שמול $BD$

\frac{BD}{\sin 80^\circ} = \frac{7}{\sin 35^\circ} \ \Rightarrow \ BD \approx 12.02

משפט הסינוסים ב- $\triangle ABD$ : $AB$ מול $\angle ADB$

$BD \approx 12.02$ . המלכודת: $\frac{7 \sin 80^\circ}{\sin 65^\circ}$ . $\angle ABD$ יוצאת מ- $B$ , והצלע שמולה היא $AD$ , לא $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במרובע $ABCD$ האלכסון $BD$ חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון $AB = 7$ , $\angle ABD = 65^\circ$ ו- $\angle ADB = 35^\circ$ . עוד נתון $\angle DBC = 45^\circ$ ו- $\angle BCD = 95^\circ$ . ב. מצאו את $CD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.53

הפתרון:

\frac{CD}{\sin 45^\circ} = \frac{BD}{\sin 95^\circ}

משפט הסינוסים ב- $\triangle BCD$ : $CD$ מול $\angle DBC$ , $BD$ מול $\angle C$

CD \approx \frac{12.02 \sin 45^\circ}{\sin 95^\circ} \approx 8.53

$CD \approx 8.53$ . המלכודת: לחשוב ש- $\sin 95^\circ$ שלילי. $\sin 95^\circ = \sin 85^\circ \approx 0.996$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במרובע $ABCD$ האלכסון $BD$ חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון $AB = 7$ , $\angle ABD = 65^\circ$ ו- $\angle ADB = 35^\circ$ . עוד נתון $\angle DBC = 45^\circ$ ו- $\angle BCD = 95^\circ$ . ג. מצאו את שטח המרובע $ABCD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 71.08

הפתרון:

S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot BD \cdot \sin 65^\circ \approx 38.12

$\angle ABD$ בין $AB$ ל- $BD$

\begin{aligned}\angle BDC &= 180^\circ - 45^\circ - 95^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

ב- $\triangle BCD$

S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 40^\circ \approx 32.95

$\angle BDC$ בין $BD$ ל- $CD$

S_{ABCD} \approx 71.08

סכום שני המשולשים

השטח $\approx 71.08$ . המלכודת: בשטח של $\triangle BCD$ להשתמש ב- $\angle DBC = 45^\circ$ . היא בין $BD$ ל- $BC$ , ו- $BC$ לא ידועה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

AB

על ציר ה-

x

במערכת צירים נתונות הנקודות $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ו- $C(2,4)$ . א. מצאו את הזווית $\angle CAB$ בעזרת שיפוע הישר $AC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63.43

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{4 - 0}{2 - 0} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע

\tan\angle CAB = 2 \ \Rightarrow \ \angle CAB \approx 63.43^\circ

$AB$ על ציר ה- $x$ , ולכן זו זווית השיפוע: $\tan\alpha = m$

$\angle CAB \approx 63.43^\circ$ . המלכודת: $\tan^{-1}(\frac{1}{2}) \approx 26.57^\circ$ , כשהופכים את השיפוע ל- $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

AB

על ציר ה-

x

במערכת צירים נתונות הנקודות $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ו- $C(2,4)$ . ב. מצאו את הזווית $\angle ABC$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{4 - 0}{2 - 6} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע

\begin{aligned}\tan\beta &= -1 \ \Rightarrow \ \beta \\ &= 135^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של $BC$ עם הכיוון החיובי של ציר ה- $x$

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 135^\circ \\ &= 45^\circ\end{aligned}

הזווית בתוך המשולש צמודה לזווית השיפוע

$\angle ABC = 45^\circ$ . המלכודת: לענות $135^\circ$ . זו זווית השיפוע, והזווית של המשולש צמודה לה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

AB

על ציר ה-

x

במערכת צירים נתונות הנקודות $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ו- $C(2,4)$ . ג. מצאו את שטח המשולש $ABC$ בעזרת הנוסחה $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 6 \\ \quad AC &= \sqrt{2^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}\sin\angle CAB &= \frac{4}{\sqrt{20}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{5}}\end{aligned}

ב- $\triangle$ ישר הזווית שהגובה מ- $C$ יוצר

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}} \\ &= 12\end{aligned}

השטח $12$ . בדיקה: הבסיס $AB = 6$ והגובה מ- $C$ הוא $4$ : $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ . המלכודת: לקחת את $\angle ABC$ עם הצלעות $AB$ ו- $AC$ . הזווית שכלואה בין $AB$ ל- $AC$ היא $\angle CAB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

AB

על ציר ה-

x

במערכת צירים נתונות הנקודות $A(0,0)$ , $B(6,0)$ ו- $C(2,4)$ . ד. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.16

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{20} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

הצלע שמול $\angle B$

\begin{aligned}2R &= \frac{AC}{\sin 45^\circ} \\ &= \frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 2\sqrt{10}\end{aligned}

משפט הסינוסים עם הזוג $AC$ , $\angle B$ מסעיף ב

R = \sqrt{10} \approx 3.16

$R = \sqrt{10} \approx 3.16$ . בדיקה עם הזוג השני: $BC = \sqrt{32}$ ו- $\sin\angle A = \frac{2}{\sqrt{5}}$ נותנים אותו $R$ . המלכודת: לחבר את $AC$ לזווית $\angle A$ , שממנה $AC$ יוצאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev