סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שני צעדים: מוצאים זווית שלישית ואז צלע, צלע ואז שטח, סינוס ואז שתי זוויות, שטח ואז צלע או זווית.

רשמו את הצעד הראשון לפני שמחשבים. אם הזווית הנתונה לא נמצאת מול הצלע הנתונה, הצעד הראשון הוא הזווית השלישית.

תרגילים

תרגיל 1

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=10BC = 10, ∠B=45∘\angle B = 45^\circ ו-∠C=75∘\angle C = 75^\circ. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.15

הפתרון:

∠A=180∘−45∘−75∘=60∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית שמול BCBC

AB=10sin⁡75∘sin⁡60∘≈11.15AB = \frac{10 \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 11.15

ABAB מול ∠C\angle C

AB≈11.15AB \approx 11.15. המלכודת: 10sin⁡75∘sin⁡45∘\frac{10 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}. ∠B\angle B לא מול BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=8BC = 8, ∠B=50∘\angle B = 50^\circ ו-∠C=70∘\angle C = 70^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.6

הפתרון:

∠A=60∘\angle A = 60^\circ
AC=8sin⁡50∘sin⁡60∘≈7.08AC = \frac{8 \sin 50^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 7.08

משפט הסינוסים

S=12⋅8⋅AC⋅sin⁡70∘≈26.6S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AC \cdot \sin 70^\circ \approx 26.6

∠C\angle C בין BCBC ל-ACAC

השטח ≈26.6\approx 26.6. המלכודת: 12⋅8⋅AC⋅sin⁡50∘\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AC \cdot \sin 50^\circ. ∠B\angle B לא נמצאת בין BCBC ל-ACAC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD

שטח המעוין ABCDABCD הוא 1818, וצלעו 66. מצאו את הזווית החדה של המעוין (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

18=6⋅6⋅sin⁡α18 = 6 \cdot 6 \cdot \sin\alpha

מעוין הוא מקבילית

sin⁡α=0.5 ⇒ α=30∘\begin{aligned}\sin\alpha &= 0.5 \ \Rightarrow \ \alpha \\ &= 30^\circ\end{aligned}

החדה. הקהה היא 150∘150^\circ

הזווית החדה 30∘30^\circ. המלכודת: 12⋅36⋅sin⁡α=18\frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \sin\alpha = 18, נוסחת המשולש, שנותנת sin⁡α=1\sin\alpha = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 55. נתון ∠A=30∘\angle A = 30^\circ ו-∠B=45∘\angle B = 45^\circ. מצאו את היקף המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.73

הפתרון:

∠C=105∘\angle C = 105^\circ
BC=10sin⁡30∘=5AC=10sin⁡45∘AB=10sin⁡105∘\begin{aligned}BC &= 10\sin 30^\circ \\ &= 5 \\ \quad AC &= 10\sin 45^\circ \\ \quad AB &= 10\sin 105^\circ\end{aligned}

2R2R כפול הסינוס של הזווית שמול כל צלע

P≈5+7.07+9.66=21.73P \approx 5 + 7.07 + 9.66 = 21.73

ההיקף ≈21.73\approx 21.73. המלכודת: sin⁡105∘\sin 105^\circ לא שלילי: sin⁡105∘=sin⁡75∘\sin 105^\circ = \sin 75^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

BACC'

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=8AC = 8 ו-∠B=50∘\angle B = 50^\circ. מצאו את שתי האפשרויות ל-∠C\angle C (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה). כתבו קודם את החדה.

∠C1=\angle C_1 = ____ , ∠C2=\angle C_2 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠C1=\angle C_1 = 73.25 , ∠C2=\angle C_2 = 106.75

הפתרון:

sin⁡C=10sin⁡50∘8≈0.9576\sin C = \frac{10 \sin 50^\circ}{8} \approx 0.9576
∠C1≈73.25∘,∠C2≈106.75∘\angle C_1 \approx 73.25^\circ ,\quad \angle C_2 \approx 106.75^\circ
50∘+106.75∘<180∘50^\circ + 106.75^\circ < 180^\circ

שתיהן מתאימות

שני משולשים, ABCABC ו-ABC′ABC'. המלכודת: לעצור ב-∠C1\angle C_1. ∠B\angle B מול הצלע הקטנה ACAC, ולכן בודקים גם את הקהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

הנקודות AA, BB, CC על מעגל. AB=8AB = 8 ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. מצאו את רדיוס המעגל (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.22

הפתרון:

2R=8sin⁡40∘2R = \frac{8}{\sin 40^\circ}
R=4sin⁡40∘≈6.22R = \frac{4}{\sin 40^\circ} \approx 6.22

R≈6.22R \approx 6.22. המלכודת: 8sin⁡40∘≈12.45\frac{8}{\sin 40^\circ} \approx 12.45, הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=6AB = 6, AD=4AD = 4 ו-∠A=135∘\angle A = 135^\circ. מהו שטח המקבילית?

  1. 24224\sqrt{2}
  2. 626\sqrt{2}
  3. −122-12\sqrt{2}
  4. 12212\sqrt{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 12212\sqrt{2}

הפתרון:

sin⁡135∘=sin⁡45∘=22\begin{aligned}\sin 135^\circ &= \sin 45^\circ \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}
S=6⋅4⋅22=122\begin{aligned}S &= 6 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 12\sqrt{2}\end{aligned}

הנכונה: 12212\sqrt{2}. המלכודת: 626\sqrt{2} הוא שטח המשולש ABDABD, ו-−122-12\sqrt{2} בא מסינוס שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABC

במשולש ABCABC הצלע BCBC ארוכה פי 22 מהצלע ACAC. לכן ∠A=2∠B\angle A = 2\angle B.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

BCAC=sin⁡Asin⁡B=2\begin{aligned}\frac{BC}{AC} &= \frac{\sin A}{\sin B} \\ &= 2\end{aligned}

משפט הסינוסים: היחס בין הצלעות הוא היחס בין הסינוסים

∠A=90∘ ∠B=30∘\begin{aligned}\angle A &= 90^\circ \\ \ \angle B &= 30^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית: sin⁡90∘=2sin⁡30∘\sin 90^\circ = 2\sin 30^\circ

90∘≠2⋅30∘90^\circ \neq 2 \cdot 30^\circ

לא נכון. המלכודת: לחשוב שהסינוס מתנהג כמו כפל. הצלעות פרופורציוניות לסינוסים, לא לזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABC

במשולש שווה השוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) הבסיס BC=10BC = 10 וזווית הראש ∠A=40∘\angle A = 40^\circ. מצאו את אורך השוק (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14.62

הפתרון:

∠B=∠C=180∘−40∘2=70∘\begin{aligned}\angle B &= \angle C \\ &= \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זוויות הבסיס שוות

ABsin⁡70∘=10sin⁡40∘ ⇒ AB≈14.62\frac{AB}{\sin 70^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ} \ \Rightarrow \ AB \approx 14.62

משפט הסינוסים

השוק ≈14.62\approx 14.62. המלכודת: ABAB מול ∠C\angle C, לא מול ∠A\angle A. 10sin⁡40∘sin⁡70∘\frac{10 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} נותן שוק קצרה מהבסיס, וזה לא ייתכן מול זווית ראש של 40∘40^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABC

במשולש ABCABC נתון AC=10AC = 10, ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, ושטח המשולש 20320\sqrt{3}. מצאו את ABAB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

203=12⋅AB⋅10⋅sin⁡60∘20\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ

נוסחת השטח, ABAB הנעלם

203=AB⋅532 ⇒ AB=8\begin{aligned}20\sqrt{3} &= AB \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} \ \Rightarrow \ AB \\ &= 8\end{aligned}

AB=8AB = 8. המלכודת: לשכוח את החצי שבנוסחה ולקבל AB=4AB = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת