שטח משולש ושטח מקבילית בעזרת סינוס

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

במשולש ABCABC הצלעות CB=6CB = 6 ו-CA=8CA = 8 מחוברות בציר, כמו שתי זרועות של מחוגה, ב-CC. כשפותחים את הזווית γ\gamma, הצלעות לא משתנות, אבל הגובה מ-AA אל CBCB משתנה, ואיתו השטח. הגובה הוא הניצב שמול γ\gamma במשולש ישר הזווית AHCAHC.

CBAH
CBCB הבסיס, AHAH הגובה. במשולש AHCAHC הגובה הוא הניצב שמול הזווית γ\gamma, והיתר הוא CACA.

בשרטוט CA=8CA = 8. מה אורך הגובה AHAH כש-γ=30∘\gamma = 30^\circ? וכש-γ=90∘\gamma = 90^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

ב-△AHC\triangle AHC: AH=CA⋅sin⁡γAH = CA \cdot \sin\gamma. כש-γ=30∘\gamma = 30^\circ: AH=8⋅0.5=4AH = 8 \cdot 0.5 = 4. כש-γ=90∘\gamma = 90^\circ הגובה הוא CACA עצמה: AH=8AH = 8, וזה הגובה הגדול ביותר.

שטח משולש בעזרת סינוס

שטח = חצי בסיס כפול גובה. מציבים AH=bsin⁡γAH = b\sin\gamma ומקבלים נוסחה שאין בה גובה בכלל: שתי צלעות והזווית שביניהן.

S=12absin⁡γS = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

הזווית γ\gamma היא הזווית הכלואה בין הצלעות aa ו-bb.

שתי צלעות וזווית ביניהן

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=7AC = 7 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. מצאו את שטח המשולש.

S=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡AS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A

הזווית AA נמצאת בין ABAB ל-ACAC

S=12⋅10⋅7⋅sin⁡30∘S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \sin 30^\circ

מציבים

S=35⋅0.5=17.5\begin{aligned}S &= 35 \cdot 0.5 \\ &= 17.5\end{aligned}

השטח: 17.517.5 יחידות שטח

זווית קהה: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha

פותחים את γ\gamma מעבר ל-90∘90^\circ. הגובה נופל עכשיו מחוץ למשולש, על המשך הצלע CBCB. במשולש ישר הזווית החדש הזווית שליד CC היא 180∘−γ180^\circ - \gamma.

CBAH
γ\gamma קהה. הגובה AHAH נופל על המשך BCBC, והזווית ∠ACH\angle ACH שווה ל-180∘−γ180^\circ - \gamma.
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha

הזהות נמצאת בדף הנוסחאות.

משולש אחד: צלעות 66 ו-88 וזווית של 30∘30^\circ ביניהן. משולש שני: אותן צלעות וזווית של 150∘150^\circ ביניהן. למי שטח גדול יותר?

להציג את התשובה והפתרון

השטחים שווים. 12⋅6⋅8⋅sin⁡30∘=12\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 12 ו-12⋅6⋅8⋅sin⁡150∘=12\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 150^\circ = 12, כי sin⁡150∘=sin⁡30∘=0.5\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = 0.5. המשולשים שונים בצורתם, אבל הגובה שלהם שווה.

שטח מקבילית

האלכסון BDBD חוצה את המקבילית ABCDABCD לשני משולשים חופפים. בכל אחד מהם הצלעות aa ו-bb והזווית α\alpha שביניהן. לכן שטח המקבילית הוא פעמיים שטח המשולש, והחצי נעלם.

ABCD
AB=aAB = a, AD=bAD = b והזווית α\alpha ב-AA. האלכסון BDBD יוצר שני משולשים חופפים.
SABCD=absin⁡αS_{ABCD} = ab\sin\alpha

מה שטח מעוין שצלעו 1010 ואחת מזוויותיו 150∘150^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

מעוין הוא מקבילית: S=10⋅10⋅sin⁡150∘=100⋅0.5=50S = 10 \cdot 10 \cdot \sin 150^\circ = 100 \cdot 0.5 = 50. גם הזווית החדה 30∘30^\circ נותנת 5050: זוויות סמוכות במקבילית משלימות ל-180∘180^\circ, ולסינוס שלהן אותו ערך.

מהשטח אל הזווית

שטח משולש הוא 1515, ושתי צלעות שלו הן 66 ו-1010. מצאו את הזווית שבין שתי הצלעות.

15=12⋅6⋅10⋅sin⁡γ15 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin\gamma

נוסחת השטח, והזווית היא הנעלם

sin⁡γ=1530=0.5\begin{aligned}\sin\gamma &= \frac{15}{30} \\ &= 0.5\end{aligned}

מבודדים את הסינוס

γ=30∘אוγ=150∘\begin{aligned}\gamma &= 30^\circ \quad \text{או} \quad \gamma \\ &= 150^\circ\end{aligned}

שתי זוויות במשולש עם סינוס 0.50.5

כשמחפשים זווית מתוך סינוס, המחשבון נותן רק את הזווית החדה. תמיד שואלים: האם גם 180∘180^\circ פחות הזווית מתאימה? בשאלה האחרונה שתיהן מתאימות: יש שני משולשים שונים עם אותו שטח.

שלוש טעויות בשטח בעזרת סינוס.

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡AS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin A
S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

הזווית חייבת להיות בין שתי הצלעות. ABAB ו-BCBC נפגשות בקדקוד BB, ולכן sin⁡B\sin B.

SABCD=12absin⁡αS_{ABCD} = \frac{1}{2}ab\sin\alpha
SABCD=absin⁡αS_{ABCD} = ab\sin\alpha

החצי שייך למשולש. המקבילית היא שני משולשים.

sin⁡150∘=−sin⁡30∘\sin 150^\circ = -\sin 30^\circ
sin⁡150∘=sin⁡30∘=0.5\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin 30^\circ \\ &= 0.5\end{aligned}

הסינוס של זווית קהה חיובי. שטח שלילי היה צריך להדליק נורה אדומה.

תרגילים

תרגיל 1

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=8AB = 8, AC=5AC = 5 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. מצאו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

S=12⋅8⋅5⋅sin⁡30∘S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ

∠A\angle A היא הזווית שבין ABAB ל-ACAC

S=20⋅0.5=10\begin{aligned}S &= 20 \cdot 0.5 \\ &= 10\end{aligned}

השטח 1010. המלכודת: לשכוח את החצי ולקבל 2020, שזה שטח של מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

CBA

במשולש ABCABC נתון CA=7CA = 7, CB=10CB = 10 ו-∠C=150∘\angle C = 150^\circ. מצאו את שטח המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17.5

הפתרון:

sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=0.5\begin{aligned}\sin 150^\circ &= \sin(180^\circ - 30^\circ) \\ &= \sin 30^\circ \\ &= 0.5\end{aligned}

זהות הזווית המשלימה

S=12⋅7⋅10⋅0.5=17.5\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 10 \cdot 0.5 \\ &= 17.5\end{aligned}

השטח 17.517.5. המלכודת: לחשוב שלזווית קהה סינוס שלילי, או שאי אפשר להשתמש בנוסחה כשהגובה נופל מחוץ למשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABC
משולש עם זווית קהה של 140∘140^\circ ב-AA.

איזו זווית נוספת בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ יש לה אותו סינוס כמו לזווית 40∘40^\circ?

  1. 50∘50^\circ
  2. 220∘220^\circ
  3. 320∘320^\circ
  4. 140∘140^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 140∘140^\circ

הפתרון:

sin⁡(180∘−40∘)=sin⁡40∘\sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ

הזווית המשלימה ל-180∘180^\circ

180∘−40∘=140∘180^\circ - 40^\circ = 140^\circ

התשובה 140∘140^\circ. המלכודת: 50∘50^\circ היא הזווית המשלימה ל-90∘90^\circ, והיא נותנת cos⁡40∘\cos 40^\circ, לא sin⁡40∘\sin 40^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=9AB = 9, AD=6AD = 6 ו-∠A=120∘\angle A = 120^\circ. מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 46.77

הפתרון:

S=AB⋅AD⋅sin⁡AS = AB \cdot AD \cdot \sin A

שטח מקבילית: שתי צלעות סמוכות והזווית שביניהן

S=54⋅sin⁡120∘=54⋅32=273≈46.77\begin{aligned}S &= 54 \cdot \sin 120^\circ \\ &= 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 27\sqrt{3} \approx 46.77\end{aligned}

השטח 273≈46.7727\sqrt{3} \approx 46.77. המלכודת: להוסיף חצי כמו במשולש ולקבל 23.3823.38.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

BCA

שטח המשולש ABCABC הוא 2424. נתון AB=8AB = 8 ו-BC=12BC = 12, והזווית ∠B\angle B חדה. מצאו את ∠B\angle B (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

24=12⋅8⋅12⋅sin⁡B24 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin B

נוסחת השטח, ∠B\angle B בין ABAB ל-BCBC

sin⁡B=2448=0.5\begin{aligned}\sin B &= \frac{24}{48} \\ &= 0.5\end{aligned}
∠B=30∘\angle B = 30^\circ

הזווית חדה, ולכן לא 150∘150^\circ

∠B=30∘\angle B = 30^\circ. המלכודת: בלי המילה «חדה» היו שתי תשובות, 30∘30^\circ ו-150∘150^\circ. קראו את כל הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

CBA
המשולש עם הזווית 40∘40^\circ.

למשולש שבו שתי צלעות 55 ו-88 והזווית שביניהן 40∘40^\circ, ולמשולש שבו אותן צלעות והזווית שביניהן 140∘140^\circ, אותו שטח.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

S1=12⋅5⋅8⋅sin⁡40∘S_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 40^\circ
S2=12⋅5⋅8⋅sin⁡140∘=12⋅5⋅8⋅sin⁡40∘\begin{aligned}S_2 &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 140^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 40^\circ\end{aligned}

sin⁡(180∘−40∘)=sin⁡40∘\sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ

נכון. המלכודת: לחשוב שזווית גדולה יותר נותנת תמיד שטח גדול יותר. השטח הגדול ביותר מתקבל ב-90∘90^\circ, ומשם הוא קטן שוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD

צלע המעוין ABCDABCD היא 77, ו-∠A=45∘\angle A = 45^\circ. מצאו את שטח המעוין (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34.65

הפתרון:

S=7⋅7⋅sin⁡45∘S = 7 \cdot 7 \cdot \sin 45^\circ

מעוין הוא מקבילית שכל צלעותיה שוות

S=49⋅22≈34.65S = 49 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 34.65

השטח 4922≈34.65\frac{49\sqrt{2}}{2} \approx 34.65. המלכודת: נוסחת האלכסונים d1d22\frac{d_1 d_2}{2} נכונה, אבל כאן האלכסונים לא נתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABC

במשולש ABCABC נתונות הצלעות ABAB ו-BCBC והזווית ∠B\angle B. מהו שטח המשולש?

  1. AB⋅BC⋅sin⁡BAB \cdot BC \cdot \sin B
  2. 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B
  3. 12⋅AB⋅BC⋅cos⁡B\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B
  4. 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡A\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin A
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

הפתרון:

AB∩BC=BAB \cap BC = B

שתי הצלעות נפגשות בקדקוד BB

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡BS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B

הזווית הכלואה

הנכונה: 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B. המלכודת: sin⁡A\sin A, זווית שאינה בין שתי הצלעות הנתונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABC

במשולש שווה השוקיים ABCABC השוקיים AB=AC=10AB = AC = 10, וזווית הראש ∠A=120∘\angle A = 120^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 43.3

הפתרון:

S=12⋅10⋅10⋅sin⁡120∘S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin 120^\circ

שתי השוקיים וזווית הראש שביניהן

S=50⋅32=253≈43.30\begin{aligned}S &= 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 25\sqrt{3} \approx 43.30\end{aligned}

השטח 253≈43.3025\sqrt{3} \approx 43.30. המלכודת: לחפש את הבסיס ואת הגובה. הנוסחה עם הסינוס חוסכת את החישוב הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD

שטח המקבילית ABCDABCD הוא 4040. נתון AB=10AB = 10 ו-AD=8AD = 8, והזווית ∠A\angle A קהה. מצאו את ∠A\angle A (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

40=10⋅8⋅sin⁡A40 = 10 \cdot 8 \cdot \sin A

שטח מקבילית

sin⁡A=0.5\sin A = 0.5
∠A=180∘−30∘=150∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 30^\circ \\ &= 150^\circ\end{aligned}

הזווית קהה

∠A=150∘\angle A = 150^\circ. המלכודת: לעצור ב-30∘30^\circ שהמחשבון נותן. 30∘30^\circ היא הזווית הסמוכה ∠B\angle B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת