משפט הסינוסים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

משולש ישר זווית שהיתר שלו 1010, וזוויותיו 30∘30^\circ, 60∘60^\circ ו-90∘90^\circ. הצלעות: 55, 535\sqrt{3} ו-1010. מחלקים כל צלע בסינוס של הזווית שמולה: 5sin⁡30∘=10\frac{5}{\sin 30^\circ} = 10, 53sin⁡60∘=10\frac{5\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 10, 10sin⁡90∘=10\frac{10}{\sin 90^\circ} = 10. שלוש פעמים אותו מספר, והוא אורך היתר: הקוטר של המעגל שעובר דרך שלושת הקדקודים.

αα2ROABCD
BDBD קוטר. ∠BDC\angle BDC ו-∠BAC\angle BAC הן זוויות היקפיות על אותה קשת BCBC, ולכן שתיהן α\alpha. ∠BCD=90∘\angle BCD = 90^\circ, כי היא נשענת על קוטר.

למה במשולש ישר זווית היתר הוא קוטר של המעגל החוסם?

להציג את התשובה והפתרון

זווית היקפית של 90∘90^\circ נשענת על קשת של 180∘180^\circ, כלומר על קוטר. לכן היתר הוא קוטר, 2R2R. בשרטוט זה המשולש BCDBCD: הזווית הישרה ב-CC והיתר BDBD.

משפט הסינוסים

asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\begin{aligned}\frac{a}{\sin\alpha} &= \frac{b}{\sin\beta} \\ &= \frac{c}{\sin\gamma} \\ &= 2R\end{aligned}

בכל משולש, לא רק במשולש ישר זווית. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

למה? בשרטוט: sin⁡α=BCBD=a2R\sin\alpha = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R} במשולש ישר הזווית BCDBCD. ומכאן asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R. אותו דבר עם bb ועם cc. ואם α\alpha קהה? הזווית ב-DD היא 180∘−α180^\circ - \alpha, ו-sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha: המשפט לא משתנה.

a, αa,\ \alpha

הזוג: צלע והזווית שמולה. בלי זוג ידוע המשפט לא מתחיל.

β ⇒ b\beta \ \Rightarrow \ b

עם הזוג ועוד זווית: מוצאים את הצלע שמולה.

β, γ ⇒ α\beta,\ \gamma \ \Rightarrow \ \alpha

שתי זוויות נותנות את השלישית: α=180∘−β−γ\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma.

2R=asin⁡α2R = \frac{a}{\sin\alpha}

הזוג לבדו כבר נותן את רדיוס המעגל החוסם.

צלע חסרה

במשולש ABCABC נתון BC=8BC = 8, ∠A=45∘\angle A = 45^\circ ו-∠C=60∘\angle C = 60^\circ. מצאו את ABAB ואת רדיוס המעגל החוסם.

BC, ∠ABC,\ \angle A

הזוג: BCBC מול ∠A\angle A

ABsin⁡60∘=8sin⁡45∘\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 45^\circ}

ABAB מול ∠C\angle C

AB=8⋅3222=46≈9.80\begin{aligned}AB &= \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= 4\sqrt{6} \approx 9.80\end{aligned}
2R=8sin⁡45∘=82 ⇒ R=42≈5.66\begin{aligned}2R &= \frac{8}{\sin 45^\circ} \\ &= 8\sqrt{2} \ \Rightarrow \ R \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

חצי מהיחס

במשולש זווית של 30∘30^\circ וזווית של 45∘45^\circ. הצלע שמול 30∘30^\circ היא 66. מה אורך הצלע שמול 45∘45^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

xsin⁡45∘=6sin⁡30∘=12\frac{x}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 30^\circ} = 12, ולכן x=12⋅22=62≈8.49x = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49. בדיקה: 45∘>30∘45^\circ > 30^\circ, ולכן הצלע ארוכה מ-66.

בדיקה מהירה בכל תשובה: מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה. אם יצא לכם b<ab < a כש-β>α\beta > \alpha, הפכתם את היחס. ולפני כל חישוב: המחשבון במצב מעלות (DEG).

שלוש טעויות במשפט הסינוסים.

asin⁡α=R\frac{a}{\sin\alpha} = R
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha} = 2R

היחס הוא הקוטר. במשולש ישר זווית: היתר חלקי sin⁡90∘\sin 90^\circ הוא היתר, והיתר הוא קוטר.

ABsin⁡A=BCsin⁡C\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}
ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

הצלע ABAB יוצאת מ-AA, ולכן היא לא מול AA. מול AA נמצאת BCBC.

∠C=180∘−45∘\angle C = 180^\circ - 45^\circ
∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B

הזווית השלישית היא 180∘180^\circ פחות שתי הזוויות האחרות.

תרגילים

תרגיל 1

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, ∠A=40∘\angle A = 40^\circ ו-∠B=75∘\angle B = 75^\circ. מצאו את ACAC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.03

הפתרון:

ACsin⁡75∘=12sin⁡40∘\frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{12}{\sin 40^\circ}

משפט הסינוסים: BCBC מול AA, ACAC מול BB

AC=12sin⁡75∘sin⁡40∘≈18.03AC = \frac{12 \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 18.03

AC≈18.03AC \approx 18.03. המלכודת: 12sin⁡40∘sin⁡75∘≈7.99\frac{12 \sin 40^\circ}{\sin 75^\circ} \approx 7.99, היחס ההפוך. בדיקה: 75∘>40∘75^\circ > 40^\circ, ולכן AC>BCAC > BC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABC
המעגל החוסם לא מצויר.

במשולש ABCABC נתון BC=9BC = 9 ו-∠A=30∘\angle A = 30^\circ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

9sin⁡30∘=2R\frac{9}{\sin 30^\circ} = 2R

הזוג: BCBC והזווית שמולה

18=2R ⇒ R=9\begin{aligned}18 &= 2R \ \Rightarrow \ R \\ &= 9\end{aligned}

R=9R = 9. המלכודת: לעצור ב-1818, שזה הקוטר ולא הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66. נתון ∠C=45∘\angle C = 45^\circ. מהו אורך ABAB?

  1. 12212\sqrt{2}
  2. 66
  3. 626\sqrt{2}
  4. 323\sqrt{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 626\sqrt{2}

הפתרון:

ABsin⁡C=2R\frac{AB}{\sin C} = 2R

ABAB מול ∠C\angle C

AB=2⋅6⋅sin⁡45∘=12⋅22=62\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 6 \cdot \sin 45^\circ \\ &= 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

הנכונה: 626\sqrt{2}. המלכודת: 323\sqrt{2} מתקבל מ-Rsin⁡CR\sin C, בלי ה-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=10BC = 10, ∠B=50∘\angle B = 50^\circ ו-∠C=60∘\angle C = 60^\circ. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.22

הפתרון:

∠A=180∘−50∘−60∘=70∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

הזווית שמול BCBC

ABsin⁡60∘=10sin⁡70∘\frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 70^\circ}

ABAB מול ∠C\angle C

AB=10sin⁡60∘sin⁡70∘≈9.22AB = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 9.22

AB≈9.22AB \approx 9.22. המלכודת: לכתוב 10sin⁡50∘\frac{10}{\sin 50^\circ}. ∠B\angle B לא נמצאת מול BCBC, ולכן קודם מוצאים את ∠A\angle A.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABC

איזה שוויון נכון בכל משולש ABCABC?

  1. AB⋅sin⁡C=BC⋅sin⁡AAB \cdot \sin C = BC \cdot \sin A
  2. ABsin⁡B=ACsin⁡C\frac{AB}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C}
  3. ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
  4. ABsin⁡A=BCsin⁡C\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

הפתרון:

AB↔∠C,BC↔∠AAB \leftrightarrow \angle C ,\quad BC \leftrightarrow \angle A

כל צלע עם הזווית שמולה

ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}

משפט הסינוסים

הנכונה: ABsin⁡C=BCsin⁡A\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}. המלכודת: לחבר צלע לזווית שבקצה שלה. הצלע שמול קדקוד היא הצלע שאין בה את האות שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCO
OO מרכז המעגל החוסם.

מצאו את רדיוס המעגל החוסם משולש שווה צלעות שצלעו 99 (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.2

הפתרון:

9sin⁡60∘=2R\frac{9}{\sin 60^\circ} = 2R

כל זווית היא 60∘60^\circ

R=92⋅32=93=33≈5.20\begin{aligned}R &= \frac{9}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \\ &= \frac{9}{\sqrt{3}} \\ &= 3\sqrt{3} \approx 5.20\end{aligned}

רדיוס 33≈5.203\sqrt{3} \approx 5.20. המלכודת: R=4.5R = 4.5, חצי צלע. צלע היא קוטר רק כשהזווית שמולה ישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABC

במשולש ABCABC נתון ∠A>∠B\angle A > \angle B (שתיהן חדות). לכן BC>ACBC > AC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

BC=2Rsin⁡AAC=2Rsin⁡B\begin{aligned}BC &= 2R\sin A \\ \quad AC &= 2R\sin B\end{aligned}

משפט הסינוסים

∠A>∠B ⇒ sin⁡A>sin⁡B\angle A > \angle B \ \Rightarrow \ \sin A > \sin B

בין 0∘0^\circ ל-90∘90^\circ הסינוס עולה

נכון: מול הזווית הגדולה הצלע הגדולה. המלכודת: להשוות את ABAB ואת ACAC, הצלעות שיוצאות מ-AA, במקום את הצלעות שמול הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 55. נתון ∠A=70∘\angle A = 70^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.4

הפתרון:

BCsin⁡70∘=2⋅5\frac{BC}{\sin 70^\circ} = 2 \cdot 5

BCBC מול ∠A\angle A

BC=10sin⁡70∘≈9.4BC = 10 \sin 70^\circ \approx 9.4

BC≈9.4BC \approx 9.4. המלכודת: 5sin⁡70∘≈4.75 \sin 70^\circ \approx 4.7, רדיוס במקום קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

CAB

שני מגדלי תצפית AA ו-BB בנמל אשדוד נמצאים במרחק 800800 מטר זה מזה. אונייה CC נראית מ-AA בזווית ∠CAB=55∘\angle CAB = 55^\circ ומ-BB בזווית ∠CBA=65∘\angle CBA = 65^\circ. מצאו את המרחק ACAC במטרים (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 837.21

הפתרון:

∠C=180∘−55∘−65∘=60∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 55^\circ - 65^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית שמול ABAB

ACsin⁡65∘=800sin⁡60∘\frac{AC}{\sin 65^\circ} = \frac{800}{\sin 60^\circ}

ACAC מול ∠B\angle B

AC=800sin⁡65∘sin⁡60∘≈837.21AC = \frac{800 \sin 65^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 837.21

AC≈837.21AC \approx 837.21 מטר. המלכודת: לחבר את ACAC לזווית 55∘55^\circ שב-AA. זו זווית שיוצאת מ-AA, והיא מול BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABC

מיינו: באילו נתונים אפשר להתחיל מיד במשפט הסינוסים במשולש ABCABC?

  • יש זוג צלע וזווית שמולה
  • אין זוג
  • a, α, βa ,\ \alpha ,\ \beta
  • a, b, γa ,\ b ,\ \gamma
  • a, b, ca ,\ b ,\ c
  • b, α, γb ,\ \alpha ,\ \gamma
  • c, γ, Rc ,\ \gamma ,\ R
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a, α, βa ,\ \alpha ,\ \beta — יש זוג צלע וזווית שמולה · b, α, γb ,\ \alpha ,\ \gamma — יש זוג צלע וזווית שמולה · c, γ, Rc ,\ \gamma ,\ R — יש זוג צלע וזווית שמולה · a, b, γa ,\ b ,\ \gamma — אין זוג · a, b, ca ,\ b ,\ c — אין זוג

הפתרון:

a, αa,\ \alpha

זוג ידוע מיד

α γ ⇒ β=180∘−α−γ\begin{aligned}\alpha \\ \ \gamma \ \Rightarrow \ \beta &= 180^\circ - \alpha - \gamma\end{aligned}

שתי זוויות נותנות את השלישית, והנה הזוג b, βb ,\ \beta

a, b, γa,\ b,\ \gamma

הזווית בין שתי הצלעות: אין זוג

שואלים: יש צלע והזווית שמולה, או שתי זוויות? המלכודת: a, b, γa ,\ b ,\ \gamma נראה כמו שלושה נתונים מספיקים, אבל γ\gamma לא נמצאת מול אף אחת מהצלעות הנתונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת