מציאת זווית: אחת או שתיים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

במחשבון: sin⁡−1(0.5)=30∘\sin^{-1}(0.5) = 30^\circ. אבל גם sin⁡150∘=0.5\sin 150^\circ = 0.5. המחשבון מחזיר רק את הזווית החדה, ובמשולש יכולה להיות גם זווית קהה. לכן כשמשפט הסינוסים נותן סינוס של זווית, עוצרים ושואלים: אחת או שתיים?

sin⁡x=0.8\sin x = 0.8, ו-xx זווית במשולש. מהן שתי האפשרויות ל-xx?

להציג את התשובה והפתרון

המחשבון: x≈53.13∘x \approx 53.13^\circ. והשנייה: 180∘−53.13∘=126.87∘180^\circ - 53.13^\circ = 126.87^\circ. שתיהן בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ, ולשתיהן סינוס 0.80.8.

מציאת זווית במשפט הסינוסים

sin⁡β=b⋅sin⁡αa\sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a}

מהזוג a, αa ,\ \alpha ומהצלע bb מוצאים את הזווית β\beta שמולה.

זווית אחת בלבד

במשולש ABCABC נתון BC=12BC = 12, AC=8AC = 8 ו-∠A=70∘\angle A = 70^\circ. מצאו את ∠B\angle B.

8sin⁡B=12sin⁡70∘\frac{8}{\sin B} = \frac{12}{\sin 70^\circ}

ACAC מול ∠B\angle B, BCBC מול ∠A\angle A

sin⁡B=8sin⁡70∘12≈0.6265\sin B = \frac{8 \sin 70^\circ}{12} \approx 0.6265
∠B≈38.79∘או∠B≈141.21∘\angle B \approx 38.79^\circ \quad \text{או} \quad \angle B \approx 141.21^\circ

שתי אפשרויות על הנייר

70∘+141.21∘>180∘70^\circ + 141.21^\circ > 180^\circ

הקהה לא נכנסת למשולש

∠B≈38.79∘\angle B \approx 38.79^\circ

תשובה אחת

מתי יש שני משולשים

נתונות שתי צלעות, ABAB ו-ACAC, והזווית ∠B\angle B שמול ACAC. מ-AA פותחים מחוגה ברדיוס ACAC. אם ACAC קצרה מ-ABAB, הקשת יכולה לחתוך את הקרן שיוצאת מ-BB בשתי נקודות: CC ו-C′C'.

BACC'
AB=10AB = 10, AC=AC′=7AC = AC' = 7 ו-∠B=40∘\angle B = 40^\circ. שני משולשים שונים, ABCABC ו-ABC′ABC', עם אותם שלושה נתונים. ∠AC′B\angle AC'B קהה, ∠ACB\angle ACB חדה, וסכומן 180∘180^\circ.

בשרטוט: AB=10AB = 10, AC=7AC = 7 ו-∠B=40∘\angle B = 40^\circ. מצאו את שתי האפשרויות לזווית ∠C\angle C, ובדקו ששתיהן מתאימות.

להציג את התשובה והפתרון

sin⁡C=10sin⁡40∘7≈0.9183\sin C = \frac{10 \sin 40^\circ}{7} \approx 0.9183, ולכן ∠C≈66.67∘\angle C \approx 66.67^\circ או ∠C≈113.33∘\angle C \approx 113.33^\circ. בדיקה: 40∘+113.33∘=153.33∘<180∘40^\circ + 113.33^\circ = 153.33^\circ < 180^\circ. שתיהן מתאימות.

בכלל: נתונים aa, bb והזווית α\alpha שמול aa. מחפשים את β\beta שמול bb.

a≥ba \geq b

הזווית הנתונה מול הצלע הגדולה: משולש אחד, ו-β\beta חדה.

a<ba < b

הזווית הנתונה מול הצלע הקטנה: בודקים גם את 180∘−β180^\circ - \beta. אם α\alpha ועוד הזווית הזאת פחות מ-180∘180^\circ, יש שני משולשים.

sin⁡β>1\sin\beta > 1

אין משולש כזה בכלל.

בבגרות כמעט תמיד כתוב בשאלה או רואים בשרטוט אם הזווית חדה או קהה, או ש«המשולש חד זווית». חפשו את המילה הזאת לפני שבוחרים. אם אין רמז ויש שתי אפשרויות, כותבים את שתיהן.

שלוש טעויות במציאת זווית.

sin⁡C=0.9183 ⇒ ∠C=66.67∘\begin{aligned}\sin C &= 0.9183 \ \Rightarrow \ \angle C \\ &= 66.67^\circ\end{aligned}
∠C≈66.67∘ או ∠C≈113.33∘\angle C \approx 66.67^\circ \ \text{או} \ \angle C \approx 113.33^\circ

המחשבון שותק על הזווית הקהה. בודקים אותה תמיד.

∠B=141.21∘ (עם ∠A=70∘)\angle B = 141.21^\circ \ \text{(עם } \angle A = 70^\circ)
∠B≈38.79∘\angle B \approx 38.79^\circ

לא כל זווית שנייה נכנסת: 70∘+141.21∘70^\circ + 141.21^\circ כבר עוברים את 180∘180^\circ.

sin⁡C=1.2 ⇒ ∠C= ?\begin{aligned}\sin C &= 1.2 \ \Rightarrow \ \angle C \\ &= \ ?\end{aligned}
sin⁡C≤1\sin C \leq 1

סינוס של זווית אף פעם לא גדול מ-11. הנתונים לא יכולים להתקיים יחד.

תרגילים

תרגיל 1

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=10BC = 10, AC=8AC = 8 ו-∠A=60∘\angle A = 60^\circ. מצאו את ∠B\angle B במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 43.85

הפתרון:

8sin⁡B=10sin⁡60∘\frac{8}{\sin B} = \frac{10}{\sin 60^\circ}

הזוג: BCBC מול ∠A\angle A

sin⁡B=8sin⁡60∘10≈0.6928\sin B = \frac{8 \sin 60^\circ}{10} \approx 0.6928
∠B≈43.85∘\angle B \approx 43.85^\circ

∠A\angle A מול הצלע הגדולה, ולכן ∠B\angle B חדה. בדיקה: 60∘+136.15∘>180∘60^\circ + 136.15^\circ > 180^\circ

∠B≈43.85∘\angle B \approx 43.85^\circ. המלכודת: לשכוח לחלק ב-1010, או לכתוב sin⁡B=10sin⁡60∘8>1\sin B = \frac{10 \sin 60^\circ}{8} > 1 כשהיחס הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABC

במשולש מצאו בעזרת משפט הסינוסים ש-sin⁡γ=0.5\sin\gamma = 0.5. אילו ערכים יכולים להיות ל-γ\gamma, לפני שבודקים את שאר הנתונים?

  1. רק 150∘150^\circ
  2. 30∘30^\circ או 150∘150^\circ
  3. 30∘30^\circ או 60∘60^\circ
  4. רק 30∘30^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 30∘30^\circ או 150∘150^\circ

הפתרון:

sin⁡−1(0.5)=30∘\sin^{-1}(0.5) = 30^\circ

המחשבון

180∘−30∘=150∘180^\circ - 30^\circ = 150^\circ

sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha

הנכונה: 30∘30^\circ או 150∘150^\circ. אחר כך בודקים איזו מתאימה לשאר המשולש. המלכודת: «רק 30∘30^\circ», התשובה של המחשבון. 60∘60^\circ היא הזווית שהקוסינוס שלה 0.50.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=6AB = 6, AC=9AC = 9 ו-∠B=70∘\angle B = 70^\circ. מצאו את ∠C\angle C במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38.79

הפתרון:

6sin⁡C=9sin⁡70∘\frac{6}{\sin C} = \frac{9}{\sin 70^\circ}

ABAB מול ∠C\angle C, ACAC מול ∠B\angle B

sin⁡C=6sin⁡70∘9≈0.6265\sin C = \frac{6 \sin 70^\circ}{9} \approx 0.6265
∠C≈38.79∘או141.21∘\angle C \approx 38.79^\circ \quad \text{או} \quad 141.21^\circ
70∘+141.21∘>180∘70^\circ + 141.21^\circ > 180^\circ

הקהה נפסלת

∠C≈38.79∘\angle C \approx 38.79^\circ. המלכודת: לחשוב שיש שתי תשובות. ∠B\angle B מול הצלע הגדולה ACAC, ולכן יש משולש אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=12AB = 12, AC=9AC = 9 ו-∠B=35∘\angle B = 35^\circ. הזווית ∠C\angle C קהה. מצאו את ∠C\angle C במעלות (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 130.11

הפתרון:

sin⁡C=12sin⁡35∘9\sin C = \frac{12 \sin 35^\circ}{9}

משפט הסינוסים: ABAB מול ∠C\angle C

sin⁡C≈0.7648 ⇒ 49.89∘ או 130.11∘\sin C \approx 0.7648 \ \Rightarrow \ 49.89^\circ \ \text{או} \ 130.11^\circ
35∘+130.11∘<180∘35^\circ + 130.11^\circ < 180^\circ

שתיהן אפשריות. הנתון «קהה» מכריע

∠C≈130.11∘\angle C \approx 130.11^\circ

∠C≈130.11∘\angle C \approx 130.11^\circ. המלכודת: לענות 49.89∘49.89^\circ מהמחשבון בלי לקרוא שהזווית קהה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

BAHE
הקרן יוצאת מ-BB. AHAH המרחק מ-AA אל הקרן.

במשולש ABCABC נתון AB=12AB = 12, AC=5AC = 5 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. קיים משולש כזה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

sin⁡C=12sin⁡30∘5=65=1.2\begin{aligned}\sin C &= \frac{12 \sin 30^\circ}{5} \\ &= \frac{6}{5} \\ &= 1.2\end{aligned}

משפט הסינוסים

1.2>11.2 > 1

אין זווית שהסינוס שלה גדול מ-11

AH=12sin⁡30∘=6>5\begin{aligned}AH &= 12 \sin 30^\circ \\ &= 6 > 5\end{aligned}

בשרטוט: המרחק מ-AA לקרן גדול מ-ACAC

לא נכון, אין משולש כזה. הצלע AC=5AC = 5 קצרה מדי כדי להגיע מ-AA אל הקרן. המלכודת: המחשבון מחזיר שגיאה, ויש מי שמוחק ומנסה «לתקן» את החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=15BC = 15, AC=12AC = 12 ו-∠A=50∘\angle A = 50^\circ. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19.57

הפתרון:

sin⁡B=12sin⁡50∘15 ⇒ ∠B≈37.79∘\sin B = \frac{12 \sin 50^\circ}{15} \ \Rightarrow \ \angle B \approx 37.79^\circ

∠A\angle A מול הצלע הגדולה: ∠B\angle B חדה

∠C=180∘−50∘−37.79∘≈92.21∘\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 37.79^\circ \approx 92.21^\circ

הזווית שמול ABAB

AB=15sin⁡92.21∘sin⁡50∘≈19.57AB = \frac{15 \sin 92.21^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 19.57

שוב משפט הסינוסים

AB≈19.57AB \approx 19.57. המלכודת: לנסות למצוא את ABAB ישר מ-∠A\angle A. ABAB מול ∠C\angle C, ולכן צריך קודם את ∠B\angle B ואחריה את ∠C\angle C.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABC

במשולש ABCABC נתון AB=10AB = 10, AC=12AC = 12 ו-∠B=30∘\angle B = 30^\circ. כמה משולשים שונים מקיימים את הנתונים?

  1. משולש אחד
  2. אינסוף משולשים
  3. שני משולשים
  4. אין משולש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א משולש אחד

הפתרון:

sin⁡C=10sin⁡30∘12≈0.4167\sin C = \frac{10 \sin 30^\circ}{12} \approx 0.4167
∠C≈24.62∘ או 155.38∘\angle C \approx 24.62^\circ \ \text{או} \ 155.38^\circ
30∘+155.38∘>180∘30^\circ + 155.38^\circ > 180^\circ

הזווית הקהה לא נכנסת

הנכונה: משולש אחד. ∠B\angle B מול הצלע הגדולה ACAC. המלכודת: «שני משולשים», כי הסינוס נתן שתי זוויות. תמיד בודקים את הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABC
המעגל החוסם לא מצויר.

במשולש ABCABC נתון BC=10BC = 10, ורדיוס המעגל החוסם הוא 1010. הזווית ∠A\angle A קהה. מצאו את ∠A\angle A במעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

10sin⁡A=2⋅10\frac{10}{\sin A} = 2 \cdot 10

משפט הסינוסים עם RR

sin⁡A=0.5\sin A = 0.5
∠A=180∘−30∘=150∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 30^\circ \\ &= 150^\circ\end{aligned}

הזווית קהה

∠A=150∘\angle A = 150^\circ. המלכודת: לכתוב 10sin⁡A=10\frac{10}{\sin A} = 10, בלי ה-22, ולקבל sin⁡A=1\sin A = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

BACC'

במשולש ABCABC נתון AB=8AB = 8, AC=6AC = 6 ו-∠B=45∘\angle B = 45^\circ. מצאו את שתי האפשרויות לזווית ∠C\angle C (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה). כתבו קודם את החדה.

∠C1=\angle C_1 = ____ , ∠C2=\angle C_2 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠C1=\angle C_1 = 70.53 , ∠C2=\angle C_2 = 109.47

הפתרון:

sin⁡C=8sin⁡45∘6=223≈0.9428\begin{aligned}\sin C &= \frac{8 \sin 45^\circ}{6} \\ &= \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.9428\end{aligned}

משפט הסינוסים

∠C1≈70.53∘,∠C2≈109.47∘\angle C_1 \approx 70.53^\circ ,\quad \angle C_2 \approx 109.47^\circ
45∘+109.47∘<180∘45^\circ + 109.47^\circ < 180^\circ

גם הקהה נכנסת

שני משולשים: ABCABC ו-ABC′ABC' בשרטוט. ∠B\angle B מול הצלע הקטנה ACAC, ולכן בודקים את שתי האפשרויות. המלכודת: לעצור אחרי התשובה של המחשבון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABC

במשולש ABCABC נתון BC=14BC = 14, AC=10AC = 10 ו-∠A=80∘\angle A = 80^\circ. מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 57.55

הפתרון:

sin⁡B=10sin⁡80∘14 ⇒ ∠B≈44.7∘\sin B = \frac{10 \sin 80^\circ}{14} \ \Rightarrow \ \angle B \approx 44.7^\circ

משפט הסינוסים. ∠A\angle A מול הצלע הגדולה, ולכן ∠B\angle B חדה

∠C≈180∘−80∘−44.7∘=55.3∘\angle C \approx 180^\circ - 80^\circ - 44.7^\circ = 55.3^\circ

הזווית שבין BCBC ל-ACAC

S=12⋅14⋅10⋅sin⁡55.3∘≈57.55S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 10 \cdot \sin 55.3^\circ \approx 57.55

שטח משולש

השטח ≈57.55\approx 57.55. המלכודת: 12⋅14⋅10⋅sin⁡80∘\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 10 \cdot \sin 80^\circ. הזווית 80∘80^\circ לא נמצאת בין BCBC ל-ACAC: היא מול BCBC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת