צורות מורכבות: משולש במעגל ומרובע

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

משפט הסינוסים ושטח בעזרת סינוס עובדים בתוך משולש. בצורה מורכבת מחפשים את המשולשים שבתוכה, ואת הצלע שמשותפת לשניים מהם. באלכסון של מרובע מחשבים במשולש הראשון, ומשתמשים בו שוב במשולש השני.

ABCD
האלכסון BDBD חוצה את המרובע ABCDABCD לשני משולשים: ABDABD ו-CBDCBD. הוא צלע בשניהם.

בשרטוט נתונים ADAD, ∠A\angle A ו-∠ADB\angle ADB, ובמשולש השני ∠CBD\angle CBD ו-∠BDC\angle BDC. באיזה משולש מתחילים, ומה מוצאים בו?

להציג את התשובה והפתרון

מתחילים ב-△ABD\triangle ABD: שם יש שתי זוויות וצלע, כלומר משולש שאפשר לפתור. מוצאים את ∠ABD\angle ABD ואחר כך את BDBD במשפט הסינוסים. אחר כך BDBD היא הצלע הידועה של △CBD\triangle CBD.

שרשרת דרך האלכסון

במרובע ABCDABCD נתון AD=10AD = 10, ∠A=70∘\angle A = 70^\circ, ∠ADB=50∘\angle ADB = 50^\circ, ∠CBD=40∘\angle CBD = 40^\circ ו-∠BDC=35∘\angle BDC = 35^\circ. מצאו את BDBD, את CDCD ואת שטח המרובע.

∠ABD=180∘−70∘−50∘=60∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

ב-△ABD\triangle ABD

BD=10sin⁡70∘sin⁡60∘≈10.85BD = \frac{10 \sin 70^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 10.85

משפט הסינוסים: BDBD מול ∠A\angle A, ADAD מול ∠ABD\angle ABD

∠C=180∘−40∘−35∘=105∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 40^\circ - 35^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

ב-△CBD\triangle CBD

CD=BDsin⁡40∘sin⁡105∘≈7.22CD = \frac{BD \sin 40^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 7.22

CDCD מול ∠CBD\angle CBD

S=12⋅10⋅BD⋅sin⁡50∘+12⋅BD⋅CD⋅sin⁡35∘≈64.03S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot BD \cdot \sin 50^\circ + \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin 35^\circ \approx 64.03

שטח המרובע: סכום שטחי שני המשולשים

משולש חסום במעגל

משפט הסינוסים מדבר על המעגל החוסם. לכן במעגל נתון, כל מיתר קשור לכל זווית היקפית שנשענת עליו: מיתר = קוטר כפול הסינוס של הזווית ההיקפית. וכל המשולשים שחסומים באותו מעגל חולקים את אותו 2R2R.

α180°−αOABCD
מרובע חסום במעגל. האלכסון BDBD הוא מיתר, ושני המשולשים ABDABD ו-CBDCBD חסומים באותו מעגל. הזוויות α\alpha ו-180∘−α180^\circ - \alpha נשענות על BDBD משני צדיו.
AB=2Rsin⁡∠ACBAB = 2R\sin\angle ACB

לכל נקודה CC על המעגל, חוץ מ-AA ומ-BB.

במעגל שרדיוסו 55, הזווית ההיקפית שנשענת על המיתר ABAB היא 30∘30^\circ. מה אורך ABAB?

להציג את התשובה והפתרון

AB=2⋅5⋅sin⁡30∘=5AB = 2 \cdot 5 \cdot \sin 30^\circ = 5. המיתר שווה לרדיוס, ולכן המשולש AOBAOB שווה צלעות, והזווית המרכזית 60∘60^\circ: פעמיים הזווית ההיקפית.

במרובע חסום הזוויות הנגדיות משלימות ל-180∘180^\circ, ולכן sin⁡A=sin⁡C\sin A = \sin C. שני המשולשים שהאלכסון BDBD יוצר נותנים אותו BDsin⁡\frac{BD}{\sin}, כמו שצריך: אותו מעגל, אותו 2R2R.

שלוש טעויות בצורות מורכבות.

BDsin⁡∠ABC\frac{BD}{\sin\angle ABC}
BDsin⁡∠BAD\frac{BD}{\sin\angle BAD}

במשולש ABDABD הזווית שמול BDBD היא ב-AA. ∠ABC\angle ABC היא זווית של המרובע, ו-BDBD חוצה אותה.

SABCD=12⋅AB⋅CD⋅sin⁡AS_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \cdot \sin A
SABCD=SABD+SCBDS_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD}

אין נוסחת «שתי צלעות וזווית» למרובע כללי. מחלקים למשולשים.

RABD≠RCBDR_{ABD} \neq R_{CBD}
RABD=RCBDR_{ABD} = R_{CBD}

אם המרובע חסום במעגל, יש מעגל אחד. אם הוא לא חסום, אין סיבה שהרדיוסים יהיו שווים.

תרגילים

תרגיל 1

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 77. נתון ∠BAC=50∘\angle BAC = 50^\circ. מצאו את אורך המיתר BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.72

הפתרון:

BC=2Rsin⁡∠BACBC = 2R \sin\angle BAC

משפט הסינוסים: BCBC מול ∠A\angle A

BC=14sin⁡50∘≈10.72BC = 14 \sin 50^\circ \approx 10.72

BC≈10.72BC \approx 10.72. המלכודת: להשתמש בזווית המרכזית ∠BOC=100∘\angle BOC = 100^\circ במקום בזווית ההיקפית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

הנקודות AA, BB ו-CC נמצאות על מעגל. AB=10AB = 10 ו-∠ACB=30∘\angle ACB = 30^\circ. מצאו את רדיוס המעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

10sin⁡30∘=2R\frac{10}{\sin 30^\circ} = 2R

ABAB מול ∠C\angle C

2R=20 ⇒ R=10\begin{aligned}2R &= 20 \ \Rightarrow \ R \\ &= 10\end{aligned}

R=10R = 10. המלכודת: לענות 2020, הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD

במרובע ABCDABCD נתון AB=8AB = 8, AD=6AD = 6, ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, ו-BC=2BC = 2, CD=6CD = 6, ∠C=120∘\angle C = 120^\circ. מהו שטח המרובע?

  1. 12312\sqrt{3}
  2. 15315\sqrt{3}
  3. 939\sqrt{3}
  4. 18318\sqrt{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 15315\sqrt{3}

הפתרון:

SABD=12⋅8⋅6⋅sin⁡60∘=123\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 12\sqrt{3}\end{aligned}

∠A\angle A בין ABAB ל-ADAD

SCBD=12⋅2⋅6⋅sin⁡120∘=33\begin{aligned}S_{CBD} &= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}

∠C\angle C בין CBCB ל-CDCD

SABCD=123+33=153\begin{aligned}S_{ABCD} &= 12\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \\ &= 15\sqrt{3}\end{aligned}

האלכסון BDBD מחלק את המרובע

הנכונה: 15315\sqrt{3}. המלכודת: 12312\sqrt{3}, רק המשולש הראשון. ו-18318\sqrt{3} מתקבל כשכותבים sin⁡120∘=1\sin 120^\circ = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 55. נתון ∠B=40∘\angle B = 40^\circ ו-∠C=65∘\angle C = 65^\circ. מצאו את היקף המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.15

הפתרון:

∠A=180∘−40∘−65∘=75∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 40^\circ - 65^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}
a=10sin⁡75∘b=10sin⁡40∘c=10sin⁡65∘\begin{aligned}a &= 10\sin 75^\circ \\ \quad b &= 10\sin 40^\circ \\ \quad c &= 10\sin 65^\circ\end{aligned}

כל צלע היא 2R2R כפול הסינוס של הזווית שמולה

P=10(sin⁡75∘+sin⁡40∘+sin⁡65∘)≈25.15P = 10(\sin 75^\circ + \sin 40^\circ + \sin 65^\circ) \approx 25.15

ההיקף ≈25.15\approx 25.15. המלכודת: לחשב רק שתי צלעות, כי רק שתי זוויות נתונות. הזווית השלישית נותנת את הצלע השלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD
המעגל לא מצויר.

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. מחשבים BD2sin⁡A\frac{BD}{2\sin A} במשולש ABDABD ו-BD2sin⁡C\frac{BD}{2\sin C} במשולש CBDCBD. שתי התוצאות שוות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות

sin⁡C=sin⁡(180∘−A)=sin⁡A\begin{aligned}\sin C &= \sin(180^\circ - A) \\ &= \sin A\end{aligned}
BD2sin⁡A=BD2sin⁡C=R\begin{aligned}\frac{BD}{2\sin A} &= \frac{BD}{2\sin C} \\ &= R\end{aligned}

אותו מעגל חוסם

נכון: שני המשולשים חסומים באותו מעגל, ולכן נותנים אותו RR. המלכודת: לחשוב ש-∠A≠∠C\angle A \neq \angle C מחייב תוצאות שונות. הזוויות שונות, הסינוסים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCD

במרובע ABCDABCD נתון AD=9AD = 9, ∠A=75∘\angle A = 75^\circ ו-∠ADB=45∘\angle ADB = 45^\circ. באותו מרובע ∠CBD=50∘\angle CBD = 50^\circ ו-∠BDC=30∘\angle BDC = 30^\circ. מצאו את BCBC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.1

הפתרון:

∠ABD=180∘−75∘−45∘=60∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

ב-△ABD\triangle ABD

BD=9sin⁡75∘sin⁡60∘≈10.04BD = \frac{9 \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \approx 10.04

משפט הסינוסים ב-△ABD\triangle ABD

∠C=180∘−50∘−30∘=100∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 30^\circ \\ &= 100^\circ\end{aligned}

ב-△CBD\triangle CBD

BC=BDsin⁡30∘sin⁡100∘≈5.1BC = \frac{BD \sin 30^\circ}{\sin 100^\circ} \approx 5.1

BCBC מול ∠BDC\angle BDC

BC≈5.1BC \approx 5.1. המלכודת: לחבר את BCBC לזווית ∠CBD\angle CBD. היא יוצאת מ-BB, והצלע שמולה היא CDCD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCD

במקבילית ABCDABCD נתון AB=10AB = 10. האלכסון BDBD יוצר את הזוויות ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ ו-∠ADB=45∘\angle ADB = 45^\circ. מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 68.3

הפתרון:

ADsin⁡30∘=10sin⁡45∘ ⇒ AD=52\begin{aligned}\frac{AD}{\sin 30^\circ} &= \frac{10}{\sin 45^\circ} \ \Rightarrow \ AD \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

משפט הסינוסים ב-△ABD\triangle ABD

∠A=180∘−30∘−45∘=105∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}
S=10⋅52⋅sin⁡105∘≈68.3S = 10 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ \approx 68.3

שטח מקבילית

השטח ≈68.3\approx 68.3. המלכודת: לעצור בשטח △ABD\triangle ABD, שהוא רק חצי מהמקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו.

במעגל שמרכזו OO ורדיוסו 66, הזווית המרכזית ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ. הנקודה CC על הקשת הגדולה ABAB. מצאו את ABAB (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.19

הפתרון:

∠ACB=12⋅100∘=50∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 100^\circ \\ &= 50^\circ\end{aligned}

זווית היקפית היא חצי מהזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת

ABsin⁡50∘=2⋅6\frac{AB}{\sin 50^\circ} = 2 \cdot 6

משפט הסינוסים במשולש ABCABC

AB=12sin⁡50∘≈9.19AB = 12 \sin 50^\circ \approx 9.19

AB≈9.19AB \approx 9.19. המלכודת: 12sin⁡100∘≈11.8212 \sin 100^\circ \approx 11.82, עם הזווית המרכזית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCD

במשולש ABCABC הנקודה DD על BCBC. נתון AB=12AB = 12, ∠B=40∘\angle B = 40^\circ, ∠ADB=100∘\angle ADB = 100^\circ ו-∠C=35∘\angle C = 35^\circ. מצאו את DCDC (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.38

הפתרון:

ADsin⁡40∘=12sin⁡100∘ ⇒ AD≈7.83\frac{AD}{\sin 40^\circ} = \frac{12}{\sin 100^\circ} \ \Rightarrow \ AD \approx 7.83

משפט הסינוסים ב-△ABD\triangle ABD: ADAD מול ∠B\angle B

∠ADC=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות

∠DAC=180∘−80∘−35∘=65∘\begin{aligned}\angle DAC &= 180^\circ - 80^\circ - 35^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות ב-△ADC\triangle ADC

DCsin⁡65∘=ADsin⁡35∘ ⇒ DC≈12.38\frac{DC}{\sin 65^\circ} = \frac{AD}{\sin 35^\circ} \ \Rightarrow \ DC \approx 12.38

משפט הסינוסים ב-△ADC\triangle ADC: DCDC מול ∠DAC\angle DAC

DC≈12.38DC \approx 12.38. המלכודת: להשאיר 100∘100^\circ גם במשולש ADCADC. בנקודה DD יש שתי זוויות צמודות, ובמשולש ADCADC הזווית היא 80∘80^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCO
המעגל לא מצויר. OO מרכזו, אמצע BCBC.

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו 44. זוויותיו: ∠A=90∘\angle A = 90^\circ, ∠B=30∘\angle B = 30^\circ, ∠C=60∘\angle C = 60^\circ. מהו שטח המשולש?

  1. 434\sqrt{3}
  2. 16316\sqrt{3}
  3. 838\sqrt{3}
  4. 88
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 838\sqrt{3}

הפתרון:

BC=2R=8\begin{aligned}BC &= 2R \\ &= 8\end{aligned}

sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1: היתר הוא קוטר

AC=8sin⁡30∘=4AB=8sin⁡60∘=43\begin{aligned}AC &= 8\sin 30^\circ \\ &= 4 \\ \quad AB &= 8\sin 60^\circ \\ &= 4\sqrt{3}\end{aligned}

משפט הסינוסים

S=12⋅4⋅43⋅sin⁡90∘=83\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin 90^\circ \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

שני הניצבים והזווית הישרה

הנכונה: 838\sqrt{3}. המלכודת: 16316\sqrt{3}, בלי החצי, או 434\sqrt{3}, כשלוקחים RR במקום 2R2R.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת