פותרים יחד · משפט הסינוסים · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: משולש חסום במעגל, מרובע שאלכסון חוצה, מקבילית, וזווית שיש לה שתי אפשרויות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. אחריהן חמש שאלות תאומות לפתור לבד.

לפני כל שלב, אמרו לעצמכם: באיזה משולש אני עובד, ומה הזוג שלו (צלע והזווית שמולה)? רוב הטעויות בפרק הזה הן זוג לא נכון.

1 — משולש חסום במעגל

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו, והרדיוס

7

פעילות אינטראקטיבית

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $7$ . נתון $\angle BAC = 50^\circ$ ו- $\angle ABC = 70^\circ$ . א. מצאו את $BC$ . ב. מצאו את $AC$ . ג. מצאו את שטח המשולש. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

\begin{aligned}R &= 7 \\ \quad \angle A &= 50^\circ \\ \quad \angle B &= 70^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרדיוס נתון, ולכן כל זווית נותנת את הצלע שמולה.

א.

\begin{aligned}BC &= 2R\sin A \\ &= 14 \sin 50^\circ \approx 10.72\end{aligned}

משפט הסינוסים: $BC$ מול $\angle A$ .

ב.

AC = 14 \sin 70^\circ \approx 13.16

$AC$ מול $\angle B$ .

הזווית השלישית

\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית בין $BC$ ל- $AC$ .

ג.

S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 60^\circ \approx 61.09

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.

השטח מחושב עם $\angle C$ , לא עם $\angle A$ או $\angle B$ : רק $\angle C$ כלואה בין שתי הצלעות שמצאנו.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה לא היינו צריכים את $AB$ כדי למצוא את השטח?

להציג את התשובה והפתרון

לשטח צריך שתי צלעות והזווית שביניהן. $BC$ ו- $AC$ נפגשות ב- $C$ , ו- $\angle C$ ידועה. את $AB = 14\sin 60^\circ$ אפשר לחשב, אבל אין בה צורך.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מרובע שהאלכסון חוצה

פעילות אינטראקטיבית

מהמשולש הראשון אל השני

במרובע $ABCD$ האלכסון $AC$ חוצה את המרובע לשני משולשים. נתון $BC = 8$ , $\angle B = 110^\circ$ , $\angle BAC = 30^\circ$ , $AD = 12$ ו- $\angle CAD = 45^\circ$ . מצאו את שטח המשולש $ACD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

$63.79$

$18.06$

$90.21$

$127.58$

במשולש $ACD$ חסרה צלע. באיזה משולש מוצאים אותה?

ב- $\triangle ABC$ : יש בו צלע ושתי זוויות

להציג את התשובה והפתרון

כן. $AC$ משותפת לשני המשולשים.

ב- $\triangle ACD$ : יש בו צלע וזווית

להציג את התשובה והפתרון

צלע וזווית לא מספיקות לפתור משולש.

AC \ \text{משותפת}

מתחילים במשולש שאפשר לפתור.

איך כותבים את משפט הסינוסים ב- $\triangle ABC$ ?

$\frac{AC}{\sin 110^\circ} = \frac{8}{\sin 30^\circ}$

להציג את התשובה והפתרון

$AC$ מול $\angle B$ , $BC$ מול $\angle BAC$ .

$\frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin 110^\circ}$

להציג את התשובה והפתרון

הפכתם את הזוגות. $\angle BAC$ יוצאת מ- $A$ , והיא מול $BC$ .

AC = \frac{8 \sin 110^\circ}{\sin 30^\circ} \approx 15.04

בדיקה: $110^\circ$ היא הזווית הגדולה במשולש, ולכן $AC$ הצלע הגדולה.

ומה השטח של $\triangle ACD$ ?

$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin 45^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle CAD$ כלואה בין $AC$ ל- $AD$ .

$AC \cdot AD \cdot \sin 45^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

זה שטח של מקבילית. במשולש יש חצי.

S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 15.04 \cdot 12 \cdot \sin 45^\circ \approx 63.79

להציג את התשובה והפתרון

השטח $\approx 63.79$ . $18.06$ מתקבל כשהופכים את הזוגות בשלב השני. $90.21$ שוכח את הסינוס, ו- $127.58$ שוכח את החצי.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה שטח המשולש $ABC$ באותה שאלה?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BCA = 180^\circ - 110^\circ - 30^\circ = 40^\circ$ , הזווית בין $BC$ ל- $AC$ . $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15.04 \cdot \sin 40^\circ \approx 38.66$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — מקבילית ואלכסון

פעילות אינטראקטיבית

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 9$ . האלכסון $BD$ יוצר את הזוויות $\angle ABD = 40^\circ$ ו- $\angle ADB = 75^\circ$ . א. מצאו את $AD$ . ב. מצאו את שטח המקבילית. ג. מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABD$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

\begin{aligned}AB &= 9 \\ \quad \angle ABD &= 40^\circ \\ \quad \angle ADB &= 75^\circ\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל הנתונים נמצאים במשולש $ABD$ .

א.

\frac{AD}{\sin 40^\circ} = \frac{9}{\sin 75^\circ} \ \Rightarrow \ AD \approx 5.99

משפט הסינוסים: $AD$ מול $\angle ABD$ , $AB$ מול $\angle ADB$ .

זווית המקבילית

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית שבין $AB$ ל- $AD$ .

ב.

S = 9 \cdot AD \cdot \sin 65^\circ \approx 48.85

שטח מקבילית, בלי חצי.

ג.

2R = \frac{9}{\sin 75^\circ} \ \Rightarrow \ R \approx 4.66

הזוג הנתון מההתחלה מספיק.

בדיקה לסעיף ב: שטח $\triangle ABD$ הוא חצי מהמקבילית, $\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot AD \cdot \sin 65^\circ$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מה רדיוס המעגל החוסם את המשולש $CDB$ באותה מקבילית?

להציג את התשובה והפתרון

אותו רדיוס, $\approx 4.66$ . האלכסון חוצה את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולמשולשים חופפים מעגלים חוסמים שווים.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — זווית עם שתי אפשרויות

\angle C

קהה.

פעילות אינטראקטיבית

הזווית הקהה

במשולש $ABC$ נתון $AB = 10$ , $AC = 7$ ו- $\angle B = 35^\circ$ . הזווית $\angle C$ קהה. מצאו את $\angle C$ ואת $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

$\angle C \approx 124.98^\circ ,\ BC \approx 4.18$

$\angle C \approx 55.02^\circ ,\ BC \approx 12.2$

$\angle C \approx 124.98^\circ ,\ BC \approx 12.2$

אין משולש כזה

מה נותן משפט הסינוסים?

$\sin C = \frac{10 \sin 35^\circ}{7}$

להציג את התשובה והפתרון

$AB$ מול $\angle C$ , $AC$ מול $\angle B$ .

$\sin C = \frac{7 \sin 35^\circ}{10}$

להציג את התשובה והפתרון

היחס הפוך. כל צלע עם הזווית שמולה.

\sin C \approx 0.8194

הערך קטן מ- $1$ : יש משולש.

המחשבון נותן זווית אחת. מה עושים?

גם $180^\circ - 55.02^\circ$ אפשרית, ולפי הנתון בוחרים את הקהה

להציג את התשובה והפתרון

$AC < AB$ : הזווית הנתונה מול הצלע הקטנה, ויש שתי אפשרויות.

עונים $55.02^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

זו הזווית החדה. בשאלה כתוב שהזווית קהה.

\angle C \approx 124.98^\circ

בדיקה: $35^\circ + 124.98^\circ < 180^\circ$ .

איך מוצאים את $BC$ ?

קודם $\angle A$ , ואז משפט הסינוסים

להציג את התשובה והפתרון

$BC$ מול $\angle A$ .

$BC = \frac{7 \sin C}{\sin 35^\circ}$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle C$ מול $AB$ , לא מול $BC$ .

\begin{aligned}\angle A \approx 20.02^\circ \\ \quad BC &= \frac{7 \sin 20.02^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 4.18\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

$\angle C \approx 124.98^\circ$ ו- $BC \approx 4.18$ . התשובה עם $55.02^\circ$ היא המשולש השני, שבו $\angle C$ חדה.

לעשות את הפעילות ב-elev

ואם בשאלה היה כתוב ש- $\angle C$ חדה, מה היה $BC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle C \approx 55.02^\circ$ , ולכן $\angle A \approx 89.98^\circ$ ו- $BC \approx 12.2$ . שני משולשים, שתי תשובות שונות לגמרי. לכן המילה «קהה» או «חדה» בשאלה חשובה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 מחברת את שאלות 1 ו-3.

תרגילים

תרגיל 1

המעגל לא מצויר.

O

מרכזו.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $6$ . נתון $\angle A = 40^\circ$ ו- $\angle B = 80^\circ$ . מצאו את שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39.47

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= 12 \sin 40^\circ \approx 7.71 \\ \quad AC &= 12 \sin 80^\circ \approx 11.82\end{aligned}

כל צלע היא $2R$ כפול הסינוס של הזווית שמולה

\angle C = 60^\circ

הזווית שבין $BC$ ל- $AC$

S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin 60^\circ \approx 39.47

השטח $\approx 39.47$ . המלכודת: לחשב את השטח עם $\sin 40^\circ$ או $\sin 80^\circ$ , זוויות שאינן כלואות בין שתי הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במרובע $ABCD$ האלכסון $AC$ חוצה את המרובע. נתון $BC = 6$ , $\angle B = 100^\circ$ , $\angle BAC = 35^\circ$ , $AD = 10$ ו- $\angle CAD = 50^\circ$ . מצאו את שטח המשולש $ACD$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39.46

הפתרון:

AC = \frac{6 \sin 100^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 10.3

משפט הסינוסים ב- $\triangle ABC$

S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 10 \cdot \sin 50^\circ \approx 39.46

$\angle CAD$ בין $AC$ ל- $AD$

השטח $\approx 39.46$ . המלכודת: $\frac{AC}{\sin 35^\circ} = \frac{6}{\sin 100^\circ}$ , הזוגות הפוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במקבילית $ABCD$ נתון $AB = 12$ , $\angle ABD = 35^\circ$ ו- $\angle ADB = 80^\circ$ . מצאו את שטח המקבילית (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 76.01

הפתרון:

AD = \frac{12 \sin 35^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 6.99

משפט הסינוסים ב- $\triangle ABD$

\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 35^\circ - 80^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

S = 12 \cdot AD \cdot \sin 65^\circ \approx 76.01

שטח מקבילית

השטח $\approx 76.01$ . המלכודת: לחשב $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot AD \cdot \sin 65^\circ$ , שזה רק המשולש $ABD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 9$ , $AC = 6$ ו- $\angle B = 40^\circ$ . הזווית $\angle C$ קהה. מצאו את $BC$ (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.3

הפתרון:

\sin C = \frac{9 \sin 40^\circ}{6} \approx 0.9642

משפט הסינוסים

\angle C \approx 180^\circ - 74.62^\circ = 105.38^\circ

הזווית קהה

\begin{aligned}\angle A \approx 34.62^\circ \\ \quad BC &= \frac{6 \sin 34.62^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 5.3\end{aligned}

$BC$ מול $\angle A$

$BC \approx 5.3$ . המלכודת: להמשיך עם $74.62^\circ$ מהמחשבון, ולקבל את המשולש השני, $BC \approx 8.49$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש $ABC$ נתון $BC = 10$ , $\angle A = 50^\circ$ ו- $\angle B = 60^\circ$ . מצאו את רדיוס המעגל החוסם ואת שטח המשולש (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

$R =$ ____ , $S =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $R =$ 6.53 , $S =$ 53.12

הפתרון:

2R = \frac{10}{\sin 50^\circ} \ \Rightarrow \ R \approx 6.53

הזוג $BC ,\ \angle A$

AC = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 50^\circ} \approx 11.31

$AC$ מול $\angle B$

\begin{aligned}\angle C &= 70^\circ \\ \quad S &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AC \cdot \sin 70^\circ \approx 53.12\end{aligned}

$\angle C$ בין $BC$ ל- $AC$

$R \approx 6.53$ , $S \approx 53.12$ . המלכודת: לכתוב $R = \frac{10}{\sin 50^\circ}$ , שזה הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — משולש חסום במעגל

2 — מרובע שהאלכסון חוצה

3 — מקבילית ואלכסון

4 — זווית עם שתי אפשרויות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev