תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: סכומי מלבנים, הפונקציה הצוברת והמשפט היסודי, קדומות טריגונומטריות ורמז של כלל השרשרת, ערך ממוצע, דרך ושטחים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

חשבו את ∫0π2sin⁡x dx\int_0^{\pi} 2\sin x\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

[−2cos⁡x]0π=2+2=4\begin{aligned}\big[-2\cos x\big]_0^{\pi} &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

קדומה ומציבים

−2cos⁡π=2-2\cos\pi=2 ו-−(−2cos⁡0)=2-(-2\cos 0)=2. מי שקיבל 00 איבד מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה F(x)=∫0xcos⁡(t2) dtF(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,dt. מהי F ′(x)F\,'(x)?

  1. sin⁡(x2)\sin(x^2)
  2. 2xcos⁡(x2)2x\cos(x^2)
  3. −2xsin⁡(x2)-2x\sin(x^2)
  4. cos⁡(x2)\cos(x^2)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד cos⁡(x2)\cos(x^2)

הפתרון:

F ′(x)=f(x)=cos⁡(x2)\begin{aligned}F\,'(x) &= f(x) \\ &= \cos(x^2)\end{aligned}

המשפט היסודי

הנכונה: cos⁡(x2)\cos(x^2). ל-cos⁡(t2)\cos(t^2) אין קדומה שאפשר לכתוב, ובכל זאת הנגזרת של FF ידועה מיד. −2xsin⁡(x2)-2x\sin(x^2) היא הנגזרת של ff, לא של FF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [1, 3][1,\,3]. מחלקים את הקטע ל-22 חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון s2s_2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

Δx=1;s2=f(1)+f(2)=1+4=5\begin{aligned}\Delta x &= 1 ;\quad s_2 \\ &= f(1)+f(2) \\ &= 1+4 \\ &= 5\end{aligned}

ff עולה בקטע

S2=4+9=13S_2=4+9=13, והאינטגרל 263≈8.67\frac{26}{3} \approx 8.67 ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

חשבו את ∫0π/4(sin⁡x+cos⁡x) dx\int_0^{\pi/4} (\sin x+\cos x)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

[−cos⁡x+sin⁡x]0π/4\big[-\cos x+\sin x\big]_0^{\pi/4}

קדומה

(−22+22)−(−1+0)=1\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)-(-1+0)=1

מציבים

בגבול π4\frac{\pi}{4} שני האיברים מתקזזים; ב-00 נשאר −cos⁡0=−1-\cos 0=-1, ומחסירים אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך הממוצע של f(x)=6x−x2f(x)=6x-x^2 בקטע [0, 6][0,\,6]?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

∫06(6x−x2) dx=108−72=36\begin{aligned}\int_0^6 (6x-x^2)\,dx &= 108-72 \\ &= 36\end{aligned}

האינטגרל

fˉ=366=6\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{36}{6} \\ &= 6\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

ממוצע הקצוות כאן הוא 00, כי f(0)=f(6)=0f(0)=f(6)=0. זה מראה כמה ממוצע קצוות רחוק מערך ממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גזרו את (x2+1)4(x^2+1)^4, והיעזרו בתוצאה כדי לחשב את ∫01x (x2+1)3 dx\int_0^1 x\,(x^2+1)^3\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.875

הפתרון:

((x2+1)4)′=8x(x2+1)3\big((x^2+1)^4\big)'=8x(x^2+1)^3

הרמז

∫x(x2+1)3 dx=(x2+1)48\int x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{8}

מחלקים ב-88

168−18=158=1.875\begin{aligned}\frac{16}{8}-\frac{1}{8} &= \frac{15}{8} \\ &= 1.875\end{aligned}

מציבים

בגבול התחתון (0+1)4=1(0+1)^4=1, לא 00. מי שקיבל 22 שכח אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גוף נע על ישר במהירות v(t)=12−4tv(t)=12-4t (מ׳/ש׳). איזו דרך הוא עובר בין t=0t=0 ל-t=5t=5?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

v(t)=0 ⇒ t=3\begin{aligned}v(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

הגוף מסתובב

∫03(12−4t) dt=36−18=18\begin{aligned}\int_0^3 (12-4t)\,dt &= 36-18 \\ &= 18\end{aligned}

קדימה

∫35(12−4t) dt=(60−50)−(36−18)=−8\begin{aligned}\int_3^5 (12-4t)\,dt &= (60-50)-(36-18) \\ &= -8\end{aligned}

אחורה

18+8=2618+8=26

הדרך

ההעתק הוא 18−8=1018-8=10. מי שענה 1010 לא חילק את הקטע ב-t=3t=3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה F(x)=∫1x(2t−a) dtF(x)=\int_1^x (2t-a)\,dt, כאשר aa פרמטר. ל-FF יש נקודת מינימום ב-x=3x=3. מצאו את ערך המינימום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

F ′(3)=6−a=0 ⇒ a=6\begin{aligned}F\,'(3) &= 6-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

המשפט היסודי

F(3)=[t2−6t]13=(9−18)−(1−6)=−4\begin{aligned}F(3) &= \big[t^2-6t\big]_1^3 \\ &= (9-18)-(1-6) \\ &= -4\end{aligned}

קדומה ושני גבולות

מי שקיבל −9-9 שכח את הגבול התחתון 11: F(1)F(1) חייב להיות 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון 0<k<π0<k<\pi. השטח המוגבל על ידי הגרף של y=sin⁡xy=\sin x, ציר ה-xx והישר x=kx=k (בקטע 0≤x≤k0 \leq x \leq k) הוא 1.51.5. מצאו את kk. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.09

הפתרון:

∫0ksin⁡x dx=1−cos⁡k\int_0^k \sin x\,dx=1-\cos k

sin⁡x≥0\sin x \geq 0 בקטע

1−cos⁡k=1.5 ⇒ cos⁡k=−12\begin{aligned}1-\cos k &= 1.5 \ \Rightarrow \ \cos k \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

משוואה

k=2π3≈2.09k=\tfrac{2\pi}{3} \approx 2.09

הפתרון היחיד ב-(0,π)(0,\pi)

השטח המקסימלי האפשרי הוא 22 (ב-k=πk=\pi), ולכן 1.51.5 אפשרי. k=π3k=\frac{\pi}{3} נותן cos⁡k=+12\cos k=+\frac{1}{2}: טעות סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של y=sin⁡2xy=\sin 2x ו-y=sin⁡xy=\sin x בקטע [0, π3]\left[0,\,\frac{\pi}{3}\right].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

sin⁡2x=sin⁡x ⇒ sin⁡x(2cos⁡x−1)=0 ⇒ x=0 π3\begin{aligned}\sin 2x &= \sin x \ \Rightarrow \ \sin x(2\cos x-1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{3}\end{aligned}

חיתוכים

x=π6: sin⁡2x=32>sin⁡x=12\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{6}: \ \sin 2x \\ &= \tfrac{\sqrt{3}}{2}>\sin x \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

העליון: sin⁡2x\sin 2x

[−12cos⁡2x+cos⁡x]0π/3=(14+12)−(−12+1)=14\begin{aligned}\Big[-\tfrac{1}{2}\cos 2x+\cos x\Big]_0^{\pi/3} &= \Big(\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}\Big)-\Big(-\tfrac{1}{2}+1\Big) \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

עליון פחות תחתון

cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}, ולכן −12cos⁡2π3=+14-\frac{1}{2}\cos\frac{2\pi}{3}=+\frac{1}{4}. זה המקום שבו הסימן הולך לאיבוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת