סדרה 3 — לקראת הבגרות · האינטגרל כפונקציית צבירה · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מפורקות לסעיפים: פונקציה צוברת טריגונומטרית ושטח, תנועה במהירות מחזורית, ופונקציה צוברת עם פרמטר. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: המשפט היסודי לנגזרת, קדומה עם $G(0)=0$ לערך, וערך מוחלט לשטח. סעיף מוקדם כמעט תמיד חוסך חישוב בסעיף מאוחר.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x-1$ בקטע $[0,\,\pi]$ , ונגדיר $G(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . א. לאיזה $x$ בקטע $(0,\,\pi)$ יש ל- $G$ נקודת מקסימום?

$x=\frac{\pi}{6}$
$x=\frac{\pi}{3}$
$x=\frac{2\pi}{3}$
$x=\frac{\pi}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=\frac{\pi}{3}$

הפתרון:

\begin{aligned}G\,'(x) &= f(x) \\ &= 2\cos x-1\end{aligned}

המשפט היסודי

\begin{aligned}2\cos x-1 &= 0 \ \Rightarrow \ \cos x \\ &= \tfrac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{3}\end{aligned}

היחיד בקטע

\begin{aligned}G\,'(0) &= 1>0 \qquad G\,'(\pi) \\ &= -3<0\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

הנכונה: $x=\frac{\pi}{3}$ . $\frac{\pi}{6}$ מתקבל מ- $\sin x=\frac{1}{2}$ , והוא בלבול בין $\sin$ ל- $\cos$ . $\frac{\pi}{2}$ הוא האפס של $\cos x$ , לא של $2\cos x-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x-1$ בקטע $[0,\,\pi]$ , ונגדיר $G(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . ב. מצאו את הערך המקסימלי של $G$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.68

הפתרון:

\begin{aligned}G(x) &= \big[2\sin t-t\big]_0^x \\ &= 2\sin x-x\end{aligned}

$G(0)=0$

\begin{aligned}G\Big(\tfrac{\pi}{3}\Big) &= 2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{\pi}{3} \\ &= \sqrt{3}-\tfrac{\pi}{3} \approx 0.68\end{aligned}

מציבים

$\sqrt{3}-\frac{\pi}{3} \approx 1.732-1.047$ . מי שקיבל ערך שלילי כתב $2\cos x$ כקדומה במקום $2\sin x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x)=2\cos x-1$ בקטע $[0,\,\pi]$ , ונגדיר $G(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=\pi$ , בקטע $\frac{\pi}{3} \leq x \leq \pi$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.83

הפתרון:

\tfrac{\pi}{3}<x \leq \pi: \ f(x)<0

הגרף מתחת לציר

\begin{aligned}\int_{\pi/3}^{\pi} f\,dx &= G(\pi)-G\Big(\tfrac{\pi}{3}\Big) \\ &= -\pi-\Big(\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{3}\Big) \\ &= -\tfrac{2\pi}{3}-\sqrt{3}\end{aligned}

שימוש ב- $G$ מסעיף ב

S=\tfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3} \approx 3.83

ערך מוחלט

$G$ היא קדומה של $f$ , ולכן $\int_a^b f=G(b)-G(a)$ . האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך הנגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נקודה נעה על ישר במהירות $v(t)=\pi\cos\frac{\pi t}{6}$ (מ׳/ש׳), כאשר $0 \leq t \leq 6$ . א. באיזה רגע הנקודה עוצרת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\tfrac{\pi t}{6} &= 0 \ \Rightarrow \ \tfrac{\pi t}{6} \\ &= \tfrac{\pi}{2} \ \Rightarrow \ t \\ &= 3\end{aligned}

בקטע $[0,6]$

אחרי $t=3$ המהירות שלילית: הנקודה חוזרת לאחור. זה יקבע את סעיף ב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נקודה נעה על ישר במהירות $v(t)=\pi\cos\frac{\pi t}{6}$ (מ׳/ש׳), כאשר $0 \leq t \leq 6$ . ב. איזו דרך עוברת הנקודה בין $t=0$ ל- $t=6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}s(t) &= \int \pi\cos\tfrac{\pi t}{6}\,dt \\ &= 6\sin\tfrac{\pi t}{6}\end{aligned}

ארגומנט ליניארי: $\pi \cdot \frac{6}{\pi}=6$

\begin{aligned}s(3)-s(0) &= 6 \qquad s(6)-s(3) \\ &= 0-6 \\ &= -6\end{aligned}

קדימה ואחורה

6+6=12

הדרך

ההעתק בין $0$ ל- $6$ הוא $0$ : הנקודה חוזרת למקום שממנו יצאה. הדרך היא $12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נקודה נעה על ישר במהירות $v(t)=\pi\cos\frac{\pi t}{6}$ (מ׳/ש׳), כאשר $0 \leq t \leq 6$ . ג. מהו הערך הממוצע של $v$ בקטע $[0,\,3]$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^3 v\,dt &= s(3)-s(0) \\ &= 6\end{aligned}

מסעיף ב

\begin{aligned}\bar{v} &= \tfrac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

המהירות המקסימלית היא $\pi \approx 3.14$ , והמינימלית בקטע $0$ . הממוצע $2$ אינו $\frac{\pi+0}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $F(x)=\int_0^x (3t^2-2kt)\,dt$ , כאשר $k>0$ פרמטר. א. לפונקציה $F$ יש נקודת קיצון ב- $x=4$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

F\,'(x)=3x^2-2kx

המשפט היסודי, בלי לחשב אינטגרל

\begin{aligned}F\,'(4) &= 48-8k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 6\end{aligned}

תנאי לקיצון

מי שחישב קודם את $F$ , גזר, והגיע לאותו ביטוי, עבד פעמיים: $F\,'$ היא הביטוי שבתוך האינטגרל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $F(x)=\int_0^x (3t^2-2kt)\,dt$ , כאשר $k>0$ פרמטר. ב. עבור $k$ שמצאתם, מצאו את ערך הפונקציה $F$ בנקודת הקיצון $x=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -32

הפתרון:

F(x)=x^3-6x^2

$F(0)=0$

\begin{aligned}F(4) &= 64-96 \\ &= -32\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}F\,'(3) &= -9<0 \qquad F\,'(5) \\ &= 15>0\end{aligned}

מינימום

זו נקודת מינימום, $(4,\,-32)$ . הערך שלילי: השטח שמתחת לציר «נצבר» בסימן מינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $F(x)=\int_0^x (3t^2-2kt)\,dt$ , כאשר $k>0$ פרמטר. ג. עבור $k$ שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=3x^2-2kx$ וציר ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

\begin{aligned}3x^2-12x &= 3x(x-4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

חיתוכים עם הציר

\begin{aligned}\int_0^4 (3x^2-12x)\,dx &= F(4)-F(0) \\ &= -32\end{aligned}

הגרף מתחת לציר

S=32

ערך מוחלט

אין צורך באינטגרל חדש: $F$ היא קדומה של $f$ . השטח הוא $|F(4)|$ , כי $F(0)=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $F(x)=\int_0^x (3t^2-2kt)\,dt$ , כאשר $k>0$ פרמטר. ד. עבור $k$ שמצאתם, מצאו $x \neq 0$ שעבורו $F(x)=0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}x^3-6x^2 &= x^2(x-6) \\ &= 0\end{aligned}

מפרקים

x=6

הפתרון השונה מ- $0$

$F(6)=0$ אומר ש- $\int_0^6 f=0$ : השטח שמתחת לציר בין $0$ ל- $4$ שווה לשטח שמעליו בין $4$ ל- $6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev