סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים: סכומים, קיצון של פונקציה צוברת, זהויות טריגונומטריות בתוך אינטגרל, שטח בין שני גרפים, רמז של כלל השרשרת, ספיקה ודרך.

בכל שטח ובכל דרך: איפה הפונקציה מחליפה סימן? זו הנקודה שבה מחלקים את הקטע. ובכל פונקציה צוברת: F ′=fF\,'=f, בלי לחשב אינטגרל.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x3f(x)=x^3 בקטע [0, 2][0,\,2]. מחלקים את הקטע ל-44 חלקים שווים. השלימו.

s4=s_4= ____ ; S4=S_4= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: s4=s_4= 2.25 ; S4=S_4= 6.25

הפתרון:

Δx=0.5;f: 0 0.125 1 3.375 8\begin{aligned}\Delta x &= 0.5 ;\quad f: \ 0 \\ \ 0.125 \\ \ 1 \\ \ 3.375 \\ \ 8\end{aligned}

חמש נקודות

s4=0.5⋅(0+0.125+1+3.375)=2.25\begin{aligned}s_4 &= 0.5 \cdot (0+0.125+1+3.375) \\ &= 2.25\end{aligned}

תחתון

S4=0.5⋅(0.125+1+3.375+8)=6.25\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (0.125+1+3.375+8) \\ &= 6.25\end{aligned}

עליון

S4−s4=0.5⋅8=4\begin{aligned}S_4-s_4 &= 0.5 \cdot 8 \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה מהירה

האינטגרל ∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4 נמצא בין 2.252.25 ל-6.256.25 ✓. הפער הגדול מראה ש-44 חלקים עדיין מעט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה F(x)=∫0x(t2−4t) dtF(x)=\int_0^x (t^2-4t)\,dt. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה. השלימו.

מינימום ב-x=x= ____ ; ערך המינימום: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום ב-x=x= 4 ; ערך המינימום: -10.67

הפתרון:

F ′(x)=x2−4x=x(x−4)\begin{aligned}F\,'(x) &= x^2-4x \\ &= x(x-4)\end{aligned}

המשפט היסודי

F ′(1)=−3<0F ′(5)=5>0\begin{aligned}F\,'(1) &= -3<0 \qquad F\,'(5) \\ &= 5>0\end{aligned}

ב-x=4x=4: מ-−- ל-++

F(4)=643−32=−323≈−10.67\begin{aligned}F(4) &= \tfrac{64}{3}-32 \\ &= -\tfrac{32}{3} \approx -10.67\end{aligned}

F(x)=x33−2x2F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2

ב-x=0x=0 יש מקסימום (F ′F\,' עוברת מ-++ ל-−-). מי שבחר x=2x=2 בחר את המינימום של ff, לא של FF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

היעזרו בזהות sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x וחשבו את ∫0π/2sin⁡xcos⁡x dx\int_0^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

∫12sin⁡2x dx=−14cos⁡2x\int \tfrac{1}{2}\sin 2x\,dx=-\tfrac{1}{4}\cos 2x

ארגומנט ליניארי

−14cos⁡π+14cos⁡0=14+14=0.5\begin{aligned}-\tfrac{1}{4}\cos\pi+\tfrac{1}{4}\cos 0 &= \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

מציבים

דרך שנייה: sin⁡x\sin x הוא gg ו-cos⁡x\cos x הוא g′g', ולכן הקדומה sin⁡2x2\frac{\sin^2 x}{2}, ו-12−0=0.5\frac{1}{2}-0=0.5. שתי הדרכים חייבות להסכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

היעזרו בזהות sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2} וחשבו את ∫0πsin⁡2x dx\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.57

הפתרון:

∫1−cos⁡2x2 dx=x2−sin⁡2x4\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}

קדומה

π2−0−(0−0)=π2≈1.57\frac{\pi}{2}-0-(0-0)=\frac{\pi}{2} \approx 1.57

sin⁡2π=sin⁡0=0\sin 2\pi=\sin 0=0

אין כלל ישיר ל-sin⁡2x\sin^2 x: sin⁡3x3\frac{\sin^3 x}{3} לא קדומה שלו (בגזירה יוצא sin⁡2xcos⁡x\sin^2 x \cos x). הזהות היא הדרך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של y=sin⁡xy=\sin x ו-y=cos⁡xy=\cos x בקטע [π4, 5π4]\left[\frac{\pi}{4},\,\frac{5\pi}{4}\right]. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.83

הפתרון:

sin⁡x=cos⁡x ⇒ x=π4 5π4\begin{aligned}\sin x &= \cos x \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4} \\ \ \tfrac{5\pi}{4}\end{aligned}

שתי נקודות חיתוך סמוכות

x=π2: sin⁡x=1>cos⁡x=0\begin{aligned}x &= \tfrac{\pi}{2}: \ \sin x \\ &= 1>\cos x \\ &= 0\end{aligned}

העליון: sin⁡x\sin x

∫π/45π/4(sin⁡x−cos⁡x) dx=[−cos⁡x−sin⁡x]π/45π/4=2+2\begin{aligned}\int_{\pi/4}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx &= \big[-\cos x-\sin x\big]_{\pi/4}^{5\pi/4} \\ &= \sqrt{2}+\sqrt{2}\end{aligned}

עליון פחות תחתון

22≈2.832\sqrt{2} \approx 2.83

השטח

cos⁡5π4=sin⁡5π4=−22\cos\frac{5\pi}{4}=\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}. טעות בסימן אחד כאן נותנת 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גזרו את 1x2+1\frac{1}{x^2+1}, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את ∫x(x2+1)2 dx\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx.

  1. 12(x2+1)+C\frac{1}{2(x^2+1)}+C
  2. x22(x2+1)2+C\frac{x^2}{2(x^2+1)^2}+C
  3. −2x2+1+C-\frac{2}{x^2+1}+C
  4. −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C

הפתרון:

(1x2+1)′=−2x(x2+1)2\Big(\frac{1}{x^2+1}\Big)'=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}

הרמז

x(x2+1)2=−12⋅(1x2+1)′\frac{x}{(x^2+1)^2}=-\frac{1}{2}\cdot\Big(\frac{1}{x^2+1}\Big)'

חסר גורם −2-2

∫x(x2+1)2 dx=−12(x2+1)+C\int \frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C

הקדומה

הנכונה: −12(x2+1)+C-\frac{1}{2(x^2+1)}+C. הרמז נותן −2x-2x, ובתוך האינטגרל יש רק xx: מחלקים ב-−2-2, גם בסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מבריכה שבה 400400 ליטר, זורמים מים בקצב r(t)=30−6tr(t)=30-6t ליטר לדקה, כאשר 0≤t≤100 \leq t \leq 10 (חיובי: נכנסים, שלילי: יוצאים). השלימו.

כמות המים הגדולה ביותר ב-t=t= ____ , והיא ____ ליטר ; ב-t=10t=10 יש בבריכה ____ ליטר

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כמות המים הגדולה ביותר ב-t=t= 5 , והיא 475 ליטר ; ב-t=10t=10 יש בבריכה 400 ליטר

הפתרון:

r(t)=0 ⇒ t=5\begin{aligned}r(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5\end{aligned}

עד t=5t=5 נכנסים מים, אחר כך יוצאים

∫05(30−6t) dt=150−75=75\begin{aligned}\int_0^5 (30-6t)\,dt &= 150-75 \\ &= 75\end{aligned}

נוספו 7575 ליטר

∫010(30−6t) dt=300−300=0\begin{aligned}\int_0^{10}(30-6t)\,dt &= 300-300 \\ &= 0\end{aligned}

אחרי 1010 דקות: אותה כמות כמו בהתחלה

האינטגרל נותן שינוי. את 400400 ההתחלתיים מוסיפים בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו הערך הממוצע של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x בקטע [0, π2]\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.64

הפתרון:

∫0π/2sin⁡2x dx=1\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx=1

האינטגרל

fˉ=1π/2=2π≈0.64\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{1}{\pi/2} \\ &= \frac{2}{\pi} \approx 0.64\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

מי שענה 11 לא חילק באורך הקטע π2\frac{\pi}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: אם ff עולה בכל תחום ההגדרה שלה, אז הגרף של F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt קעור כלפי מעלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

F ′=f ⇒ F ′′=f ′\begin{aligned}F\,' &= f \ \Rightarrow \ F\,'' \\ &= f\,'\end{aligned}

המשפט היסודי, פעמיים

f ↗ ⇒ F ′′>0f \ \nearrow \ \Rightarrow \ F\,''>0

קעירות כלפי מעלה

הטענה נכונה. הכיוון של ff קובע את הקעירות של FF, והסימן של ff קובע את הכיוון של FF. שני דברים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נקודה נעה על ישר במהירות v(t)=6cos⁡2tv(t)=6\cos 2t (מ׳/ש׳). איזו דרך עברה בין t=0t=0 ל-t=π2t=\frac{\pi}{2}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

cos⁡2t=0 ⇒ t=π4\begin{aligned}\cos 2t &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \tfrac{\pi}{4}\end{aligned}

הנקודה מסתובבת

∫0π/46cos⁡2t dt=[3sin⁡2t]0π/4=3\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}6\cos 2t\,dt &= \big[3\sin 2t\big]_0^{\pi/4} \\ &= 3\end{aligned}

קדימה

∫π/4π/26cos⁡2t dt=0−3=−3\begin{aligned}\int_{\pi/4}^{\pi/2}6\cos 2t\,dt &= 0-3 \\ &= -3\end{aligned}

אחורה

3+3=63+3=6

הדרך

ההעתק 00, הדרך 66. בלי לחלק ב-t=π4t=\frac{\pi}{4} התשובה יוצאת אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת