סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: סכומי מלבנים, המשפט היסודי, קדומות של טריגו ושל 1xn\frac{1}{x^n}, ערך ממוצע ודרך. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים נגזרת של פונקציה צוברת (אין מה לחשב), ערך (צריך קדומה), או שטח (צריך גם סימן)? ובכל קדומה: בדקתם בגזירה?

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x+1f(x)=x+1 בקטע [0, 2][0,\,2]. מחלקים את הקטע ל-22 חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון s2s_2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

Δx=1\Delta x=1

רוחב

s2=1⋅(f(0)+f(1))=1+2=3\begin{aligned}s_2 &= 1 \cdot \big(f(0)+f(1)\big) \\ &= 1+2 \\ &= 3\end{aligned}

ff עולה: הקצוות השמאליים

ff עולה, ולכן התחתון לוקח את השמאליים. S2=2+3=5S_2=2+3=5, והאינטגרל 44 ביניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה F(x)=∫1x(t2+t) dtF(x)=\int_1^x (t^2+t)\,dt. חשבו את F ′(2)F\,'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

F ′(x)=x2+xF\,'(x)=x^2+x

המשפט היסודי

F ′(2)=4+2=6\begin{aligned}F\,'(2) &= 4+2 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים

הגבול התחתון 11 לא משפיע על הנגזרת. הוא משפיע רק על הערכים של FF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי ∫sin⁡2x dx\int \sin 2x\,dx?

  1. −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C
  2. 2cos⁡2x+C2\cos 2x+C
  3. −2cos⁡2x+C-2\cos 2x+C
  4. 12cos⁡2x+C\frac{1}{2}\cos 2x+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C

הפתרון:

∫sin⁡(mx) dx=−1mcos⁡(mx)+C\int\sin(mx)\,dx=-\tfrac{1}{m}\cos(mx)+C

ארגומנט ליניארי

(−12cos⁡2x)′=12sin⁡2x⋅2=sin⁡2x\begin{aligned}\Big(-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Big)' &= \tfrac{1}{2}\sin 2x \cdot 2 \\ &= \sin 2x\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −12cos⁡2x+C-\frac{1}{2}\cos 2x+C. שתי טעויות אפשריות: הסימן (הקדומה של sin⁡\sin מתחילה במינוס), והמקדם (מחלקים ב-22, לא כופלים).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את ∫1412x dx\int_1^4 \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

[x]14=2−1=1\begin{aligned}\big[\sqrt{x}\big]_1^4 &= 2-1 \\ &= 1\end{aligned}

מדף הנוסחאות

12x\frac{1}{2\sqrt{x}} היא הנגזרת של x\sqrt{x}. מי שקיבל 22 שכח להחסיר את הערך בגבול התחתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את ∫0πcos⁡x2 dx\int_0^{\pi} \cos\frac{x}{2}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∫cos⁡x2 dx=2sin⁡x2\int\cos\tfrac{x}{2}\,dx=2\sin\tfrac{x}{2}

m=12m=\frac{1}{2}: מחלקים ב-12\frac{1}{2}, כלומר כופלים ב-22

2sin⁡π2−2sin⁡0=22\sin\tfrac{\pi}{2}-2\sin 0=2

מציבים

כש-mm שבר, החלוקה בו מגדילה. מי שקיבל 12\frac{1}{2} כפל ב-mm.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה רציפה ff, אם F(x)=∫3xf(t) dtF(x)=\int_3^x f(t)\,dt אז F(3)=0F(3)=0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

F(3)=∫33f(t) dt=0\begin{aligned}F(3) &= \int_3^3 f(t)\,dt \\ &= 0\end{aligned}

אינטגרל על קטע ברוחב אפס

הטענה נכונה, לכל ff. זו הנקודה היחידה שבה ערך FF ידוע בלי לדעת כלום על ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו הערך הממוצע של f(x)=2x+1f(x)=2x+1 בקטע [0, 4][0,\,4]?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∫04(2x+1) dx=16+4=20\begin{aligned}\int_0^4 (2x+1)\,dx &= 16+4 \\ &= 20\end{aligned}

האינטגרל

fˉ=204=5\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{20}{4} \\ &= 5\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

לפונקציה ליניארית הממוצע הוא גם f(0)+f(4)2=1+92=5\frac{f(0)+f(4)}{2}=\frac{1+9}{2}=5. לפונקציה שאינה ליניארית זה לא עובד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גוף נע במהירות v(t)=2tv(t)=2t (מ׳/ש׳). כמה מטרים הוא עובר בחמש השניות הראשונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

∫052t dt=[t2]05=25\begin{aligned}\int_0^5 2t\,dt &= \big[t^2\big]_0^5 \\ &= 25\end{aligned}

השטח מתחת לגרף המהירות

גם בלי קדומה: משולש עם בסיס 55 וגובה v(5)=10v(5)=10, 5⋅102=25\frac{5 \cdot 10}{2}=25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה פונקציה קדומה שלה.

  • cos⁡x\cos x
  • sin⁡x\sin x
  • 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x}
  • 1x2\frac{1}{x^2}
  • −cos⁡x-\cos x
  • −1x-\frac{1}{x}
  • sin⁡x\sin x
  • tan⁡x\tan x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: cos⁡x\cos x — sin⁡x\sin x · sin⁡x\sin x — −cos⁡x-\cos x · 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} — tan⁡x\tan x · 1x2\frac{1}{x^2} — −1x-\frac{1}{x}

הפתרון:

(−cos⁡x)′=sin⁡x(−1x)′=1x2\begin{aligned}(-\cos x)' &= \sin x \qquad \Big(-\tfrac{1}{x}\Big)' \\ &= \tfrac{1}{x^2}\end{aligned}

בודקים בגזירה

שני המינוסים הם המלכודת: ∫sin⁡x=−cos⁡x\int\sin x=-\cos x, ו-∫x−2=x−1−1\int x^{-2}=\frac{x^{-1}}{-1}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את ∫136x2 dx\int_1^3 \frac{6}{x^2}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

∫6x−2 dx=−6x\int 6x^{-2}\,dx=-\frac{6}{x}

כלל החזקה

−2−(−6)=4-2-(-6)=4

מציבים

−63−(−61)=−2+6-\frac{6}{3}-\left(-\frac{6}{1}\right)=-2+6. שני מינוסים, והתוצאה חיובית, כמו שצריך: 6x2>0\frac{6}{x^2}>0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת