פותרים יחד · האינטגרל כפונקציית צבירה · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: פונקציה צוברת לפי גרף, קדומה טריגונומטרית ושטח, שטח מתחת ל- $f \cdot f'$ , ובעיית תנועה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פונקציה צוברת לפי גרף

הגרף של f בקטע [0, 6]

הגרף של

f

מורכב מקטעים ישרים. הוא חותך את ציר ה-

x

ב-

x=1

וב-

x=5

פעילות אינטראקטיבית

בשרטוט הגרף של $f$ בקטע $[0,\,6]$ . נגדיר $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . א. חשבו את $g(2)$ ואת $g(5)$ . ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $g$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון של $g$ בקטע, כולל הקצוות. ד. לאיזה $x$ בקטע $0<x \leq 6$ מתקיים $g(x)=0$ ?

\begin{aligned}g(x) &= \int_0^x f(t)\,dt \\ \quad 0 \leq x \leq 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל ערך של $g$ הוא שטח עם סימן: משולשים ומלבנים בלבד, בלי נוסחה.

א. g(2)

\begin{aligned}g(2) &= -\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= -1+1 \\ &= 0\end{aligned}

משולש מתחת לציר ומשולש מעליו מתקזזים.

א. g(5)

\begin{aligned}g(5) &= 0+2 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

מלבן $2 \times 2$ ועוד משולש.

ב.

g\,'=f: \quad g \searrow \ (0,1) \cup (5,6) \qquad g \nearrow \ (1,5)

הסימן של $f$ הוא הכיוון של $g$ .

ג. פנימיות

\min (1,\,-1) \qquad \max (5,\,5)

$g(1)=-1$ : משולש אחד מתחת לציר. ב- $x=5$ , $f$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ .

ג. קצוות

(0,\,0) \ \max \qquad (6,\,4) \ \min

$g(6)=5-1=4$ . $g$ יורדת מ- $0$ , ולכן $(0,0)$ מקסימום מקומי בקצה.

ד.

\begin{aligned}g(2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

אחרי $x=2$ , $g$ עולה עד $5$ ויורדת רק עד $4$ : היא לא חוזרת ל- $0$ .

שני דברים שהשאלה בודקת: $g(2)=0$ אף ש- $f(2) \neq 0$ , והמקסימום של $g$ ב- $x=5$ , דווקא בנקודה שבה $f=0$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

לאיזה $x$ בקטע קצב העלייה של $g$ הוא הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

קצב העלייה של $g$ הוא $g'=f$ . הוא הגדול ביותר כש- $f$ הגדולה ביותר: בכל הקטע $2 \leq x \leq 4$ , שם $f=2$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — קדומה טריגונומטרית ושטח

פעילות אינטראקטיבית

קדומה של $\cos 2x$

נתונה $f(x)=\cos 2x$ . א. מצאו את הפונקציה הקדומה $F$ של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{4},\,1\right)$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ .

מהי הקדומה הכללית של $\cos 2x$ ?

$\frac{1}{2}\sin 2x+C$

להציג את התשובה והפתרון

ארגומנט ליניארי: מחלקים ב- $m=2$ .

$2\sin 2x+C$

להציג את התשובה והפתרון

בגזירה יוצא $4\cos 2x$ .

$-\frac{1}{2}\sin 2x+C$

להציג את התשובה והפתרון

המינוס שייך לקדומה של $\sin$ .

F(x)=\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

בדיקה: $F'=\cos 2x$ ✓

איך מוצאים את $C$ ?

מציבים $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

להציג את התשובה והפתרון

הנקודה על הגרף של $F$ .

מציבים $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$

להציג את התשובה והפתרון

הנקודה נתונה על הקדומה, לא על $f$ . וגם $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$ .

\begin{aligned}\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{2}+C &= 1 \ \Rightarrow \ C \\ &= \tfrac{1}{2}\end{aligned}

$F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ .

האם אפשר לחשב את השטח כ- $\int_0^{\pi/2}\cos 2x\,dx$ ?

לא: $f$ מחליפה סימן ב- $x=\frac{\pi}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

$\cos 2x=0$ כש- $2x=\frac{\pi}{2}$ .

כן, האינטגרל הוא השטח

להציג את התשובה והפתרון

האינטגרל יוצא $0$ : החלקים מתקזזים.

\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\cos 2x\,dx &= \tfrac{1}{2}\sin\pi-0 \\ &= 0\end{aligned}

אפס, אבל השטח אינו אפס.

אז מה השטח?

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

להציג את התשובה והפתרון

כל חלק נספר בערך מוחלט.

$\frac{1}{2}$

להציג את התשובה והפתרון

זה רק החלק שמעל הציר.

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}\cos 2x\,dx &= \tfrac{1}{2} \qquad \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx \\ &= -\tfrac{1}{2}\end{aligned}

השטח: $1$ .

להציג את התשובה והפתרון

$F(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}$ , והשטח $1$ . שימו לב: בסעיף ב אפשר להשתמש ב- $F$ מסעיף א, כי הקבוע $C$ מתקזז בהפרש.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה הערך של $F(0)$ , ומה זה אומר על הגרף של $F$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$F(0)=\frac{1}{2}$ . וגם $F(x) \geq 0$ לכל $x$ , כי $\sin 2x \geq -1$ : הגרף של $F$ נוגע בציר ה- $x$ ולא חוצה אותו.

השאלות התאומות: שאלה 2 ושאלה 5 ברשימה למטה.

3 — שטח מתחת ל- $f \cdot f'$

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=1+\sin x$ , ונגדיר $g(x)=f(x) \cdot f\,'(x)$ . א. מצאו את נקודות האפס של $g$ בקטע $[0,\,2\pi]$ . ב. הראו ש- $\frac{f^2(x)}{2}$ היא פונקציה קדומה של $g$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ .

g(x)=(1+\sin x)\cos x

לחצו «להתחיל». סעיף ב הוא הרמז לסעיף ג.

א. g

g(x)=(1+\sin x)\cos x

$f\,'(x)=\cos x$ .

א. אפסים

\begin{aligned}\cos x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{2} \\ \ \tfrac{3\pi}{2} \qquad 1+\sin x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{3\pi}{2}\end{aligned}

שני אפסים: $\frac{\pi}{2}$ ו- $\frac{3\pi}{2}$ .

ב.

\begin{aligned}\Big(\tfrac{f^2}{2}\Big)' &= \tfrac{2f \cdot f\,'}{2} \\ &= f \cdot f\,' \\ &= g\end{aligned}

כלל השרשרת.

ג. סימן

0<x<\tfrac{\pi}{2}: \ 1+\sin x>0 ,\ \cos x>0

$g>0$ : הגרף מעל הציר, אין צורך לחלק.

ג.

\begin{aligned}\Big[\tfrac{(1+\sin x)^2}{2}\Big]_0^{\pi/2} &= \tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

הקדומה מסעיף ב.

בלי סעיף ב היה צריך לפתוח סוגריים: $\cos x+\sin x\cos x$ . הרמז חוסך את זה.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה הסימן של $g$ בקטע $\left(\frac{\pi}{2},\,\frac{3\pi}{2}\right)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$1+\sin x>0$ ו- $\cos x<0$ , ולכן $g<0$ . שטח בקטע הזה מחושב בערך מוחלט.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — בעיית תנועה

פעילות אינטראקטיבית

מהירות, מקום ודרך

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=3t^2-18t+24$ (מ׳/ש׳). ברגע $t=0$ הוא נמצא בנקודה $s=0$ . א. מתי הגוף עוצר? ב. מצאו את המקום $s(t)$ ואת $s(5)$ . ג. חשבו את הדרך שעבר הגוף בחמש השניות הראשונות. ד. מהי המהירות הממוצעת (ההעתק חלקי הזמן) בחמש השניות האלה?

מתי הגוף עוצר?

כש- $v(t)=0$ : $t=2$ ו- $t=4$

להציג את התשובה והפתרון

$3(t-2)(t-4)=0$ .

כש- $v\,'(t)=0$ : $t=3$

להציג את התשובה והפתרון

שם המהירות מינימלית, $v(3)=-3$ , לא אפס.

\begin{aligned}v(t) &= 3(t-2)(t-4) \\ &= 0\end{aligned}

עוצר ב- $t=2$ וב- $t=4$ .

מהו $s(t)$ ?

$s(t)=t^3-9t^2+24t$

להציג את התשובה והפתרון

קדומה של $v$ , ו- $s(0)=0$ נותן $C=0$ .

$s(t)=6t-18$

להציג את התשובה והפתרון

זו הנגזרת של $v$ : התאוצה.

\begin{aligned}s(5) &= 125-225+120 \\ &= 20\end{aligned}

$s(2)=20$ , $s(4)=16$ .

מהי הדרך?

$20+4+4=28$

להציג את התשובה והפתרון

קדימה $20$ , אחורה $4$ , שוב קדימה $4$ .

$s(5)-s(0)=20$

להציג את התשובה והפתרון

זה ההעתק. בין $t=2$ ל- $t=4$ הגוף חזר לאחור.

|s(2)-s(0)|+|s(4)-s(2)|+|s(5)-s(4)|=20+4+4

הדרך: $28$ מטר.

מהי המהירות הממוצעת?

$\frac{20}{5}=4$

להציג את התשובה והפתרון

ההעתק חלקי הזמן: הערך הממוצע של $v$ .

$\frac{v(0)+v(5)}{2}=16.5$

להציג את התשובה והפתרון

ממוצע של שני קצוות אינו ערך ממוצע.

\begin{aligned}\bar{v} &= \tfrac{1}{5}\int_0^5 v\,dt \\ &= \tfrac{20}{5} \\ &= 4\end{aligned}

מ׳/ש׳.

להציג את התשובה והפתרון

עוצר ב- $t=2$ וב- $t=4$ ; $s(5)=20$ ; דרך $28$ מטר; מהירות ממוצעת $4$ מ׳/ש׳. ההבדל בין $20$ ל- $28$ הוא כל ההבדל בין העתק לדרך.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם יש רגע שבו הגוף חוזר לנקודת המוצא $s=0$ בקטע $0<t \leq 5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. המקום הקטן ביותר אחרי $t=0$ הוא $s(4)=16>0$ . הגוף אף פעם לא חוזר לנקודת המוצא בחמש השניות האלה.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

הגרף של f בקטע [0, 6]

בשרטוט הגרף של $f$ בקטע $[0,\,6]$ , המורכב מקטעים ישרים. נגדיר $g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ . השלימו.

מקסימום של $g$ ב- $x=$ ____ , והערך ____ ; $g(6)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום של $g$ ב- $x=$ 3 , והערך 5 ; $g(6)=$ 0

הפתרון:

0<x<3: \ f>0 \qquad 3<x<6: \ f<0

$f$ עוברת מ- $+$ ל- $-$ ב- $x=3$

\begin{aligned}g(3) &= 2 \cdot 2+\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2 \\ &= 5\end{aligned}

מלבן ומשולש

\begin{aligned}g(6) &= 5-\tfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot 2-2 \cdot 2 \\ &= 0\end{aligned}

משולש ומלבן מתחת לציר

$g(6)=0$ אף ש- $f(6)=-2$ : השטח שמעל הציר והשטח שמתחתיו שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=3\sin 3x$ . $F$ היא הפונקציה הקדומה של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{3},\,4\right)$ . השלימו.

$F(x)=-\cos 3x+$ ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{2\pi}{3}\right]$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $F(x)=-\cos 3x+$ 3 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{2\pi}{3}\right]$ : 4

הפתרון:

\begin{aligned}F(x) &= 3 \cdot \Big(-\tfrac{1}{3}\Big)\cos 3x+C \\ &= -\cos 3x+C\end{aligned}

ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}-\cos\pi+C &= 1+C \\ &= 4 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}\int_0^{\pi/3} 3\sin 3x\,dx &= 2 \qquad \int_{\pi/3}^{2\pi/3} 3\sin 3x\,dx \\ &= -2\end{aligned}

$f$ מחליפה סימן ב- $x=\frac{\pi}{3}$

\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

ערכים מוחלטים

$\cos\pi=-1$ , ולכן $-\cos\pi=+1$ . מי שקיבל $C=5$ איבד את המינוס. ובשטח: $\int_0^{2\pi/3} f=0$ , אבל השטח $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=2+\cos x$ , ונגדיר $g(x)=f(x) \cdot f\,'(x)$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ וציר ה- $x$ בקטע $[0,\,\pi]$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= -(2+\cos x)\sin x \leq 0 \\ \quad 0 \leq x \leq \pi\end{aligned}

$2+\cos x>0$ ו- $\sin x \geq 0$ : הגרף מתחת לציר

\begin{aligned}\int_0^{\pi} g\,dx &= \Big[\tfrac{(2+\cos x)^2}{2}\Big]_0^{\pi} \\ &= \tfrac{1}{2}-\tfrac{9}{2} \\ &= -4\end{aligned}

הקדומה של $f \cdot f'$ היא $\frac{f^2}{2}$

S=4

ערך מוחלט

האינטגרל שלילי כי $f$ יורדת בקטע. מי שענה $-4$ שכח ששטח חיובי תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גוף נע על ישר במהירות $v(t)=3t^2-12t+9$ (מ׳/ש׳). השלימו.

הדרך בארבע השניות הראשונות: ____ מטר ; המהירות הממוצעת (העתק חלקי זמן) באותן שניות: ____ מ׳/ש׳

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הדרך בארבע השניות הראשונות: 12 מטר ; המהירות הממוצעת (העתק חלקי זמן) באותן שניות: 1 מ׳/ש׳

הפתרון:

v(t)=3(t-1)(t-3)

עוצר ב- $t=1$ וב- $t=3$

\begin{aligned}s(t) &= t^3-6t^2+9t: \ s(1) \\ &= 4 \\ \ s(3) &= 0 \\ \ s(4) &= 4\end{aligned}

$s(0)=0$

4+4+4=12

הדרך

\begin{aligned}\bar{v} &= \tfrac{s(4)-s(0)}{4} \\ &= \tfrac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}

העתק חלקי זמן

ההעתק הוא $4$ מטר, אבל הדרך $12$ . הגוף הלך קדימה, חזר לנקודת המוצא, ושוב התקדם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=4\cos 2x$ . $F$ היא הפונקציה הקדומה של $f$ שהגרף שלה עובר בנקודה $\left(\frac{\pi}{4},\,3\right)$ . השלימו.

$F(x)=2\sin 2x+$ ____ ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $F(x)=2\sin 2x+$ 1 ; השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $x$ בקטע $\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$ : 4

הפתרון:

\begin{aligned}F(x) &= 4 \cdot \tfrac{1}{2}\sin 2x+C \\ &= 2\sin 2x+C\end{aligned}

ארגומנט ליניארי

\begin{aligned}2\sin\tfrac{\pi}{2}+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}\int_0^{\pi/4}4\cos 2x\,dx &= 2 \qquad \int_{\pi/4}^{\pi/2}4\cos 2x\,dx \\ &= -2\end{aligned}

חיתוך עם הציר ב- $\frac{\pi}{4}$

השטח $4$ , והאינטגרל על כל הקטע $0$ . מי שענה $C=3$ הציב $x=0$ במקום $x=\frac{\pi}{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — פונקציה צוברת לפי גרף

2 — קדומה טריגונומטרית ושטח

3 — שטח מתחת ל-f⋅f′f \cdot f'f⋅f′

4 — בעיית תנועה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

3 — שטח מתחת ל- $f \cdot f'$