ממהירות למרחק: צבירה וערך ממוצע

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מד המהירות של מכונית רושם את המהירות בכל רגע. איך יודעים כמה מטרים היא עברה? בכל רגע קצר המרחק הוא «מהירות כפול זמן». מחברים את כל הרגעים, ומקבלים את השטח מתחת לגרף המהירות. הסתכלו על הגרף.

מהירות המכונית v(t)
150123456785101520זמן (שניות)מהירות (מ׳/ש׳)
המכונית מאיצה 22 שניות, נוסעת 44 שניות במהירות קבועה ובולמת 22 שניות. הקו המקווקו בגובה 1515 הוא המהירות הממוצעת.

לפי הגרף: כמה מטרים עברה המכונית ב-88 השניות? ומה המהירות הממוצעת שלה?

להציג את התשובה והפתרון

השטח הוא טרפז: (8+4)⋅202=120\frac{(8+4) \cdot 20}{2}=120 מטר. המהירות הממוצעת: 1208=15\frac{120}{8}=15 מ׳/ש׳. מלבן בגובה 1515 וברוחב 88 מכיל אותו שטח כמו הטרפז.

השינוי המצטבר

Q(b)−Q(a)=∫abQ′(t) dtQ(b)-Q(a)=\int_a^b Q'(t)\,dt

אם יודעים את קצב השינוי Q′Q' של גודל כלשהו, האינטגרל נותן את השינוי של הגודל. זה המשפט היסודי, בשפה של בעיות מילוליות.

v(t) → ∫abv(t) dtv(t) \ \to \ \int_a^b v(t)\,dt

מהירות: ההעתק (השינוי במקום)

r(t) → ∫abr(t) dtr(t) \ \to \ \int_a^b r(t)\,dt

ספיקה (ליטר לדקה): כמות הנוזל שזרמה

c(t) → ∫abc(t) dtc(t) \ \to \ \int_a^b c(t)\,dt

תזרים מזומנים (₪ לחודש): היתרה שהצטברה. חיובי = הכנסה, שלילי = הוצאה

כשהמהירות מחליפה סימן, הגוף חוזר לאחור. האינטגרל של vv נותן את ההעתק, ושם תנועה אחורה מקזזת תנועה קדימה. הדרך שעבר הגוף היא האינטגרל של ∣v∣|v|: מחלקים את הקטע בנקודות שבהן v=0v=0.

העתק מול דרך

גוף נע על ישר במהירות v(t)=6t−3t2v(t)=6t-3t^2 (מ׳/ש׳). חשבו את ההעתק ואת הדרך בשלוש השניות הראשונות.

v(t)=3t(2−t)=0 ⇒ t=0 t=2\begin{aligned}v(t) &= 3t(2-t) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 0 \\ \ t &= 2\end{aligned}

ב-t=2t=2 הגוף עוצר ומסתובב

∫03(6t−3t2) dt=[3t2−t3]03=27−27=0\begin{aligned}\int_0^3 (6t-3t^2)\,dt &= \big[3t^2-t^3\big]_0^3 \\ &= 27-27 \\ &= 0\end{aligned}

ההעתק: הגוף חזר לנקודת המוצא

∫02v dt=12−8=4∫23v dt=0−4=−4\begin{aligned}\int_0^2 v\,dt &= 12-8 \\ &= 4 \qquad \int_2^3 v\,dt \\ &= 0-4 \\ &= -4\end{aligned}

קדימה 44 מטר, אחורה 44 מטר

4+4=84+4=8

הדרך: 88 מטר

הערך הממוצע של פונקציה

fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

הערך הממוצע הוא הגובה של מלבן שבסיסו הקטע [a, b][a,\,b] ושטחו שווה לאינטגרל. המהירות הממוצעת של המכונית, 1515, היא הערך הממוצע של vv.

מהו הערך הממוצע של f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x בקטע [0, π][0,\,\pi]?

להציג את התשובה והפתרון

1π∫0πsin⁡x dx=2π≈0.64\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\frac{2}{\pi} \approx 0.64. קצת יותר מחצי מהערך המקסימלי 11.

בכל בעיה מילולית כתבו קודם יחידות: מ׳/ש׳ כפול שניות נותן מטרים; ליטר לדקה כפול דקות נותן ליטרים. אם היחידות של התשובה לא מתאימות לשאלה, חסר אינטגרל, או שיש אחד מיותר.

שלוש טעויות בצבירה.

דרך=∫03v dt=0\begin{aligned}\text{דרך} &= \int_0^3 v\,dt \\ &= 0\end{aligned}
∫02v dt+∣∫23v dt∣=8\int_0^2 v\,dt+\Big|\int_2^3 v\,dt\Big|=8

כשהמהירות מחליפה סימן, האינטגרל נותן העתק, לא דרך.

fˉ=f(a)+f(b)2\bar{f}=\frac{f(a)+f(b)}{2}
fˉ=1b−a∫abf\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f

ממוצע של שני קצוות נכון רק לפונקציה ליניארית. ל-x2x^2 בקטע [0,3][0,3]: 4.54.5 לעומת 33.

fˉ=∫abf(x) dx\bar{f}=\int_a^b f(x)\,dx
fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

שכחו לחלק באורך הקטע. זה השטח, לא הגובה.

תרגילים

תרגיל 1

גוף נע במהירות v(t)=3t2+2v(t)=3t^2+2 (מ׳/ש׳). כמה מטרים הוא עובר בשתי השניות הראשונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

∫02(3t2+2) dt=[t3+2t]02=8+4=12\begin{aligned}\int_0^2 (3t^2+2)\,dt &= \big[t^3+2t\big]_0^2 \\ &= 8+4 \\ &= 12\end{aligned}

v>0v>0 תמיד: הדרך שווה להעתק

המהירות חיובית בכל הקטע, ולכן אין צורך לחלק אותו. מי שענה 1414 הציב במהירות, v(2)=14v(2)=14, במקום לחשב שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הערך הממוצע של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [0, 3][0,\,3]?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

∫03x2 dx=9\int_0^3 x^2\,dx=9

האינטגרל

fˉ=93−0=3\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{9}{3-0} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

לא f(0)+f(3)2=4.5\frac{f(0)+f(3)}{2}=4.5: הפרבולה «שוהה» יותר זמן בערכים נמוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

למיכל שבו 5050 ליטר זורמים מים בקצב r(t)=40−4tr(t)=40-4t ליטר לדקה, כאשר 0≤t≤100 \leq t \leq 10 (דקות). כמה ליטר יהיו במיכל אחרי 1010 דקות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 250

הפתרון:

∫010(40−4t) dt=[40t−2t2]010=400−200=200\begin{aligned}\int_0^{10} (40-4t)\,dt &= \big[40t-2t^2\big]_0^{10} \\ &= 400-200 \\ &= 200\end{aligned}

המים שנכנסו

50+200=25050+200=250

מוסיפים לכמות ההתחלתית

האינטגרל נותן את השינוי, 200200. את הכמות שהייתה בהתחלה מוסיפים בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

גוף נע על ישר במהירות v(t)=4−2tv(t)=4-2t (מ׳/ש׳). איזו דרך עבר הגוף בין t=0t=0 ל-t=4t=4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

v(t)=0 ⇒ t=2\begin{aligned}v(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

הגוף מסתובב

∫02(4−2t) dt=4∫24(4−2t) dt=−4\begin{aligned}\int_0^2 (4-2t)\,dt &= 4 \qquad \int_2^4 (4-2t)\,dt \\ &= -4\end{aligned}

קדימה ואחורה

4+4=84+4=8

הדרך

∫04v dt=0\int_0^4 v\,dt=0: זה ההעתק. הגוף חזר למקום שממנו יצא, אבל עבר 88 מטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך הממוצע של f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x בקטע [0, π2]\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]?

  1. 11
  2. 2π\frac{2}{\pi}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. π2\frac{\pi}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2π\frac{2}{\pi}

הפתרון:

∫0π/2cos⁡x dx=sin⁡π2−sin⁡0=1\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx &= \sin\tfrac{\pi}{2}-\sin 0 \\ &= 1\end{aligned}

האינטגרל

fˉ=1π/2⋅1=2π≈0.64\begin{aligned}\bar{f} &= \frac{1}{\pi/2} \cdot 1 \\ &= \frac{2}{\pi} \approx 0.64\end{aligned}

מחלקים באורך הקטע

הנכונה: 2π\frac{2}{\pi}. 12\frac{1}{2} הוא ממוצע הקצוות 1+02\frac{1+0}{2}. 11 הוא השטח, לפני החלוקה באורך הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לכל פונקציה ff ולכל קטע [a, b][a,\,b], הערך הממוצע של ff בקטע שווה ל-f(a)+f(b)2\frac{f(a)+f(b)}{2}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x2 [0,3]: fˉ=3\begin{aligned}f(x) &= x^2 \\ \ [0,3]: \ \bar{f} &= 3\end{aligned}

דוגמה נגדית

f(0)+f(3)2=4.5≠3\frac{f(0)+f(3)}{2}=4.5 \neq 3

ממוצע הקצוות

הטענה לא נכונה. השוויון מתקיים לפונקציה ליניארית, שבה הגרף «סימטרי» סביב האמצע. דוגמה נגדית אחת מספיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

קצב התזרים של עסק קטן הוא c(t)=12−3tc(t)=12-3t אלפי ₪ לחודש, כאשר tt הוא הזמן בחודשים, 0≤t≤60 \leq t \leq 6. ברגע t=0t=0 היתרה היא 00. השלימו.

היתרה הגדולה ביותר מתקבלת ב-t=t= ____ , והיא ____ אלפי ₪ ; היתרה אחרי 66 חודשים: ____ אלפי ₪

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: היתרה הגדולה ביותר מתקבלת ב-t=t= 4 , והיא 24 אלפי ₪ ; היתרה אחרי 66 חודשים: 18 אלפי ₪

הפתרון:

c(t)=0 ⇒ t=4\begin{aligned}c(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 4\end{aligned}

עד t=4t=4 הכנסות, אחר כך הוצאות

∫04(12−3t) dt=[12t−1.5t2]04=48−24=24\begin{aligned}\int_0^4 (12-3t)\,dt &= \big[12t-1.5t^2\big]_0^4 \\ &= 48-24 \\ &= 24\end{aligned}

היתרה המקסימלית

∫06(12−3t) dt=72−54=18\begin{aligned}\int_0^6 (12-3t)\,dt &= 72-54 \\ &= 18\end{aligned}

אחרי שישה חודשים

זו הפונקציה הצוברת B(x)=∫0xc(t) dtB(x)=\int_0^x c(t)\,dt: המקסימום שלה כש-cc עוברת מחיובי לשלילי, לא כש-cc הכי גדולה (t=0t=0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=kx2f(x)=kx^2, כאשר kk פרמטר. הערך הממוצע של ff בקטע [0, 2][0,\,2] הוא 88. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

∫02kx2 dx=8k3\int_0^2 kx^2\,dx=\tfrac{8k}{3}

האינטגרל

12⋅8k3=4k3=8 ⇒ k=6\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot \frac{8k}{3} &= \frac{4k}{3} \\ &= 8 \ \Rightarrow \ k \\ &= 6\end{aligned}

הממוצע

מי שקיבל k=3k=3 שכח לחלק באורך הקטע 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נקודה נעה על ישר במהירות v(t)=πsin⁡πt4v(t)=\pi\sin\frac{\pi t}{4} (מ׳/ש׳). כמה מטרים היא עוברת בין t=0t=0 ל-t=4t=4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

∫πsin⁡πt4 dt=π⋅(−4π)cos⁡πt4=−4cos⁡πt4\begin{aligned}\int \pi\sin\tfrac{\pi t}{4}\,dt &= \pi \cdot \Big(-\tfrac{4}{\pi}\Big)\cos\tfrac{\pi t}{4} \\ &= -4\cos\tfrac{\pi t}{4}\end{aligned}

ארגומנט ליניארי, m=π4m=\frac{\pi}{4}

−4cos⁡π−(−4cos⁡0)=4+4=8\begin{aligned}-4\cos\pi-(-4\cos 0) &= 4+4 \\ &= 8\end{aligned}

v≥0v \geq 0 בכל הקטע

החלוקה ב-m=π4m=\frac{\pi}{4} היא כפל ב-4π\frac{4}{\pi}, וה-π\pi מתקזז. מי שקיבל 2π22\pi^2 כפל ב-π4\frac{\pi}{4} במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הערך הממוצע של f(x)=3x2f(x)=3x^2 בקטע [0, 2][0,\,2] הוא 44. באיזה xx בקטע מתקיים f(x)=4f(x)=4? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.15

הפתרון:

fˉ=12∫023x2 dx=82=4\begin{aligned}\bar{f} &= \tfrac{1}{2}\int_0^2 3x^2\,dx \\ &= \tfrac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה של הנתון

3x2=4 ⇒ x=23≈1.15\begin{aligned}3x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15\end{aligned}

רק הפתרון החיובי נמצא בקטע

הנקודה שבה הפונקציה מגיעה לערך הממוצע איננה אמצע הקטע x=1x=1. הפתרון x=−1.15x=-1.15 נפסל: הוא מחוץ לקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת