קדומות: טריגו, חזקות והרכבה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בכל נגזרת שלמדתם מסתתרת פונקציה קדומה: מה שגוזרים לכיוון אחד, «מקדימים» לכיוון השני. הנגזרת של sin⁡x\sin x היא cos⁡x\cos x, ולכן השטח מתחת ל-cos⁡x\cos x נמדד בעזרת sin⁡x\sin x. הסתכלו על הגרף.

y = cos x בקטע [0, 2π]
1x = π/20123456-1-0.50.51xy
השטח בין y=cos⁡xy=\cos x לציר ה-xx, מ-00 עד π2\frac{\pi}{2}, שווה בדיוק 11. וזה בדיוק sin⁡π2−sin⁡0\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0: הפונקציה הקדומה של cos⁡x\cos x היא sin⁡x\sin x.

לפי הגרף: מהו ∫0πcos⁡x dx\int_0^{\pi}\cos x\,dx? ומה השטח בין הגרף לציר בקטע [0, π][0,\,\pi]?

להציג את התשובה והפתרון

sin⁡π−sin⁡0=0\sin\pi-\sin 0=0: החלק שמעל הציר והחלק שמתחתיו מתקזזים. השטח הוא 1+1=21+1=2: כל חלק נספר בחיוב.

טבלת הקדומות (מדף הנוסחאות)

∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

לכל n≠−1n \neq -1, גם שלילי: ∫1x3 dx=x−2−2=−12x2\int \frac{1}{x^3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^2}

∫12x dx=x+C\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\sqrt{x}+C

כי (x)′=12x(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx=\sin x+C

כי (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x

∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x\,dx=-\cos x+C

שימו לב למינוס: (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x

∫1cos⁡2x dx=tan⁡x+C\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C

כי (tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}

ארגומנט ליניארי: f(mx+b)f(mx+b)

∫f(mx+b) dx=1m F(mx+b)+C\int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}\,F(mx+b)+C

כשגוזרים F(mx+b)F(mx+b), כלל השרשרת מוסיף גורם mm. לכן בכיוון ההפוך מחלקים ב-mm.

∫cos⁡2x dx=12sin⁡2x+C\int \cos 2x\,dx=\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

m=2m=2

∫(3x−1)4 dx=(3x−1)515+C\int (3x-1)^4\,dx=\frac{(3x-1)^5}{15}+C

מחלקים ב-55 וגם ב-33

∫1(2x+1)3 dx=−14(2x+1)2+C\int \frac{1}{(2x+1)^3}\,dx=-\frac{1}{4(2x+1)^2}+C

(2x+1)−2−2⋅2\frac{(2x+1)^{-2}}{-2 \cdot 2}

מהי ∫sin⁡3x dx\int \sin 3x\,dx? בדקו בגזירה.

להציג את התשובה והפתרון

−13cos⁡3x+C-\frac{1}{3}\cos 3x+C. בדיקה: (−13cos⁡3x)′=−13⋅(−sin⁡3x)⋅3=sin⁡3x\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right)'=-\frac{1}{3} \cdot (-\sin 3x) \cdot 3=\sin 3x ✓

f(g(x))⋅g′(x)f(g(x)) \cdot g'(x) — כשיש רמז

∫F ′(g(x))⋅g ′(x) dx=F(g(x))+C\int F\,'\big(g(x)\big) \cdot g\,'(x)\,dx=F\big(g(x)\big)+C

זה כלל השרשרת הפוך. בבגרות השאלה נותנת בדרך כלל רמז: «גזרו את (x2+1)4(x^2+1)^4» או «הראו ש-g=f⋅f ′g=f \cdot f\,'». מזהים את הפונקציה הפנימית gg, ובודקים שהנגזרת שלה כבר כתובה ליד.

∫2x (x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C

g=x2+1g=x^2+1, והגורם 2x2x הוא g ′g\,'

∫sin⁡2xcos⁡x dx=sin⁡3x3+C\int \sin^2 x \cos x\,dx=\frac{\sin^3 x}{3}+C

g=sin⁡xg=\sin x, ו-cos⁡x\cos x הוא g ′g\,'

∫f(x) f ′(x) dx=f2(x)2+C\int f(x)\,f\,'(x)\,dx=\frac{f^2(x)}{2}+C

המקרה שחוזר הכי הרבה בבגרות

ולפעמים זהות טריגונומטרית הופכת מכפלה לביטוי שיש לו קדומה ישירה: sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x, ולכן ∫sin⁡xcos⁡x dx=−14cos⁡2x+C\int \sin x\cos x\,dx=-\frac{1}{4}\cos 2x+C. ו-sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, ולכן ∫sin⁡2x dx=x2−sin⁡2x4+C\int \sin^2 x\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C.

שטח עם סימן

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=sin⁡2xy=\sin 2x לבין ציר ה-xx בקטע [0, π][0,\,\pi].

sin⁡2x=0 ⇒ x=0 π2 π\begin{aligned}\sin 2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ \tfrac{\pi}{2} \\ \ \pi\end{aligned}

החיתוכים עם הציר בקטע

∫0π/2sin⁡2x dx=[−12cos⁡2x]0π/2=12+12=1\begin{aligned}\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx &= \Big[-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Big]_0^{\pi/2} \\ &= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

החלק שמעל הציר

∫π/2πsin⁡2x dx=−12−12=−1\begin{aligned}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin 2x\,dx &= -\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2} \\ &= -1\end{aligned}

החלק שמתחת לציר

S=1+∣−1∣=2\begin{aligned}S &= 1+|-1| \\ &= 2\end{aligned}

מחברים ערכים מוחלטים

שטח בין שני גרפים

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של y=cos⁡xy=\cos x ו-y=sin⁡xy=\sin x ועל ידי ציר ה-yy, ברביע הראשון.

cos⁡x=sin⁡x ⇒ tan⁡x=1 ⇒ x=π4\begin{aligned}\cos x &= \sin x \ \Rightarrow \ \tan x \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \tfrac{\pi}{4}\end{aligned}

נקודת החיתוך הראשונה של הגרפים

0<x<π4: cos⁡x>sin⁡x0<x<\tfrac{\pi}{4}: \ \cos x>\sin x

בדיקה ב-x=0x=0: 1>01>0. העליון הוא cos⁡x\cos x

∫0π/4(cos⁡x−sin⁡x) dx=[sin⁡x+cos⁡x]0π/4\int_0^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx=\big[\sin x+\cos x\big]_0^{\pi/4}

עליון פחות תחתון; הקדומה של −sin⁡x-\sin x היא +cos⁡x+\cos x

=(22+22)−(0+1)=2−1≈0.41=\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)-(0+1)=\sqrt{2}-1 \approx 0.41

מציבים

בודקים בגזירה, תמיד. קדומה נכונה חוזרת בדיוק לפונקציה שבתוך האינטגרל, כולל המקדם. בדיקה של שורה אחת תופסת את רוב הטעויות של 1m\frac{1}{m} ושל הסימן.

ארבע טעויות בקדומות.

∫cos⁡2x dx=sin⁡2x+C\int \cos 2x\,dx=\sin 2x+C
12sin⁡2x+C\tfrac{1}{2}\sin 2x+C

בגזירה של sin⁡2x\sin 2x יוצא 2cos⁡2x2\cos 2x. שכחו לחלק ב-m=2m=2.

∫sin⁡x dx=cos⁡x+C\int \sin x\,dx=\cos x+C
−cos⁡x+C-\cos x+C

הסימן: הנגזרת של cos⁡x\cos x היא −sin⁡x-\sin x.

∫(x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int (x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C
∫2x(x2+1)3 dx=(x2+1)44+C\int 2x(x^2+1)^3\,dx=\frac{(x^2+1)^4}{4}+C

הכלל עובד רק כש-g ′=2xg\,'=2x כתוב ליד. בלעדיו פותחים סוגריים.

∫1x2 dx=1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx=\frac{1}{x}+C
−1x+C-\frac{1}{x}+C

x−2x^{-2}: מעלים את החזקה ל-−1-1 ומחלקים ב-−1-1.

תרגילים

תרגיל 1

מהי ∫cos⁡3x dx\int \cos 3x\,dx?

  1. −13sin⁡3x+C-\frac{1}{3}\sin 3x+C
  2. 3sin⁡3x+C3\sin 3x+C
  3. 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C
  4. sin⁡3x+C\sin 3x+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C

הפתרון:

∫cos⁡(mx) dx=1msin⁡(mx)+C\int \cos(mx)\,dx=\tfrac{1}{m}\sin(mx)+C

ארגומנט ליניארי

(13sin⁡3x)′=13⋅3cos⁡3x=cos⁡3x\begin{aligned}\Big(\tfrac{1}{3}\sin 3x\Big)' &= \tfrac{1}{3}\cdot 3\cos 3x \\ &= \cos 3x\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: 13sin⁡3x+C\frac{1}{3}\sin 3x+C. 3sin⁡3x3\sin 3x כופל במקום לחלק. המינוס שייך לקדומה של sin⁡\sin, לא של cos⁡\cos.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫0π/2sin⁡2x dx\int_0^{\pi/2} \sin 2x\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

∫sin⁡2x dx=−12cos⁡2x\int \sin 2x\,dx=-\tfrac{1}{2}\cos 2x

קדומה

−12cos⁡π−(−12cos⁡0)=12+12=1\begin{aligned}-\tfrac{1}{2}\cos\pi-\Big(-\tfrac{1}{2}\cos 0\Big) &= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2} \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

שני מינוסים: של ∫sin⁡\int\sin ושל cos⁡π=−1\cos\pi=-1. מי שקיבל 00 איבד אחד מהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את ∫124x3 dx\int_1^2 \frac{4}{x^3}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

∫4x−3 dx=4x−2−2=−2x2\begin{aligned}\int 4x^{-3}\,dx &= \frac{4x^{-2}}{-2} \\ &= -\frac{2}{x^2}\end{aligned}

כלל החזקה עם מעריך שלילי

−24−(−2)=1.5-\tfrac{2}{4}-(-2)=1.5

מציבים

החזקה עולה מ-−3-3 ל-−2-2, לא ל-−4-4. מי שכתב 4x−4−4\frac{4x^{-4}}{-4} גזר במקום למצוא קדומה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את ∫1912x dx\int_1^9 \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∫12x dx=x\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\sqrt{x}

מדף הנוסחאות

9−1=2\sqrt{9}-\sqrt{1}=2

מציבים

זו הקדומה היחידה עם שורש שנדרשת השנה, והיא בדף הנוסחאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את ∫0π/42cos⁡2x dx\int_0^{\pi/4} \frac{2}{\cos^2 x}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∫2cos⁡2x dx=2tan⁡x\int \frac{2}{\cos^2 x}\,dx=2\tan x

מדף הנוסחאות

2tan⁡π4−2tan⁡0=22\tan\tfrac{\pi}{4}-2\tan 0=2

tan⁡π4=1\tan\frac{\pi}{4}=1

מי שחיפש קדומה בעזרת «חזקה של cos⁡\cos» נתקע: 1cos⁡2x\frac{1}{\cos^2 x} היא נגזרת של tan⁡x\tan x, ישר מהטבלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

גזרו את (x2−1)3(x^2-1)^3, והיעזרו בתוצאה כדי למצוא את ∫6x (x2−1)2 dx\int 6x\,(x^2-1)^2\,dx.

  1. (x2−1)33+C\frac{(x^2-1)^3}{3}+C
  2. 2(x2−1)3+C2(x^2-1)^3+C
  3. (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C
  4. 3x2(x2−1)3+C3x^2(x^2-1)^3+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C

הפתרון:

((x2−1)3)′=3(x2−1)2⋅2x=6x(x2−1)2\begin{aligned}\big((x^2-1)^3\big)' &= 3(x^2-1)^2 \cdot 2x \\ &= 6x(x^2-1)^2\end{aligned}

כלל השרשרת

∫6x(x2−1)2 dx=(x2−1)3+C\int 6x(x^2-1)^2\,dx=(x^2-1)^3+C

הנגזרת היא בדיוק מה שבתוך האינטגרל

הנכונה: (x2−1)3+C(x^2-1)^3+C. הרמז נתן נגזרת שהיא בדיוק הביטוי, ולכן אין מה לחלק. (x2−1)33\frac{(x^2-1)^3}{3} מחלק ב-33 פעם אחת מיותרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: F(x)=sin⁡2xF(x)=\sin^2 x היא פונקציה קדומה של f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

F ′(x)=2sin⁡x⋅cos⁡xF\,'(x)=2\sin x \cdot \cos x

כלל השרשרת

2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin 2x

זהות הזווית הכפולה

הטענה נכונה. גם −12cos⁡2x-\frac{1}{2}\cos 2x היא קדומה של sin⁡2x\sin 2x. שתיהן נכונות: sin⁡2x=12−12cos⁡2x\sin^2 x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x, כלומר הן נבדלות בקבוע 12\frac{1}{2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חשבו את ∫01(2x+1)3 dx\int_0^1 (2x+1)^3\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

∫(2x+1)3 dx=(2x+1)44⋅2=(2x+1)48\begin{aligned}\int (2x+1)^3\,dx &= \frac{(2x+1)^4}{4 \cdot 2} \\ &= \frac{(2x+1)^4}{8}\end{aligned}

ארגומנט ליניארי, m=2m=2

818−18=10\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10

מציבים

מי שקיבל 2020 שכח לחלק ב-m=2m=2. בגבול התחתון x=0x=0 הערך הוא 18\frac{1}{8}, לא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמידה חישבה את ∫0π/6cos⁡3x dx\int_0^{\pi/6} \cos 3x\,dx. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∫cos⁡3x dx=3sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=3\sin 3x+C
∫0π/6cos⁡3x dx=[13sin⁡3x]0π/6\int_0^{\pi/6}\cos 3x\,dx=\Big[\tfrac{1}{3}\sin 3x\Big]_0^{\pi/6}
=13sin⁡π2−13sin⁡0=13=\tfrac{1}{3}\sin\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{1}{3}\sin 0=\tfrac{1}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∫cos⁡3x dx=3sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=3\sin 3x+C → ∫cos⁡3x dx=13sin⁡3x+C\int \cos 3x\,dx=\tfrac{1}{3}\sin 3x+C

הפתרון:

(3sin⁡3x)′=9cos⁡3x≠cos⁡3x\big(3\sin 3x\big)'=9\cos 3x \neq \cos 3x

בדיקה בגזירה פוסלת את השורה

השורה הראשונה כופלת ב-33. השורות הבאות כבר משתמשות בקדומה הנכונה, והתשובה 13\frac{1}{3} נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=sin⁡xy=\sin x לבין ציר ה-xx בקטע [0, 2π][0,\,2\pi].

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=1+1=2\begin{aligned}\int_0^{\pi}\sin x\,dx &= \big[-\cos x\big]_0^{\pi} \\ &= 1+1 \\ &= 2\end{aligned}

הקשת שמעל הציר

∫π2πsin⁡x dx=−1−1=−2\begin{aligned}\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

הקשת שמתחת לציר

S=2+2=4\begin{aligned}S &= 2+2 \\ &= 4\end{aligned}

ערכים מוחלטים

∫02πsin⁡x dx=0\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0, אבל השטח הוא 44. מחלקים את הקטע בחיתוך עם הציר x=πx=\pi.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת