הפונקציה הצוברת

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

למאגר מים נכנסים ויוצאים מים. f(t)f(t) הוא הקצב (מ״ק לשעה): חיובי כשנכנסים מים, שלילי כשיוצאים. כמה מים הצטברו מרגע 00 ועד רגע xx? התשובה היא השטח עם סימן מתחת לגרף של הקצב, מ-00 עד xx. הסתכלו על הגרף.

הגרף של הקצב f(t)
4+6+1−1−6012345678-3-2-1123ty
המספרים על הגרף הם השטחים של החלקים, עם סימן: מעל הציר ++, מתחת לציר −-. הקצב מחליף סימן ב-t=4t=4.

נסמן ב-F(x)F(x) את כמות המים שהצטברה מ-00 עד xx. מהם F(3)F(3), F(4)F(4) ו-F(8)F(8)? ומתי במאגר הכי הרבה מים?

להציג את התשובה והפתרון

F(3)=6F(3)=6, F(4)=6+1=7F(4)=6+1=7, F(8)=7−1−6=0F(8)=7-1-6=0. הכי הרבה מים ב-t=4t=4: עד אז הקצב חיובי והמאגר מתמלא, ואחר כך הוא מתרוקן. המקסימום של FF הוא איפה ש-ff מחליפה סימן, לא איפה ש-ff גדולה.

הפונקציה הצוברת והמשפט היסודי

F(x)=∫axf(t) dt⟹F ′(x)=f(x)F(a)=0\begin{aligned}F(x) &= \int_a^x f(t)\,dt \qquad \Longrightarrow \qquad F\,'(x) \\ &= f(x) \\ \qquad F(a) &= 0\end{aligned}

למה F ′=fF\,'=f? מגדילים את xx בקצת, hh. לשטח נוסף פס צר ברוחב hh ובגובה בערך f(x)f(x), ולכן F(x+h)−F(x)≈f(x)⋅hF(x+h)-F(x) \approx f(x) \cdot h. מחלקים ב-hh ומקבלים את קצב השינוי של FF: הוא f(x)f(x). כלומר FF היא פונקציה קדומה של ff, זו שמתאפסת ב-aa. מכאן גם הדרך לחשב כל אינטגרל מסוים: ∫abf(x) dx=G(b)−G(a)\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a), לכל קדומה GG.

האות tt בתוך האינטגרל היא רק «משתנה פנימי». המשתנה של FF הוא הגבול העליון xx.

f>0f>0

FF עולה

f<0f<0

FF יורדת

+ → −+ \ \to \ -

ff מחליפה סימן מחיובי לשלילי: מקסימום של FF

− → +- \ \to \ +

ff מחליפה סימן משלילי לחיובי: מינימום של FF

f קיצוןf \ \text{קיצון}

ל-ff קיצון: F ′′=f ′F\,''=f\,' מחליפה סימן, ול-FF נקודת פיתול

נתונה F(x)=∫2xf(t) dtF(x)=\int_2^x f(t)\,dt עבור פונקציה ff כלשהי. מהו F(2)F(2)?

להציג את התשובה והפתרון

00, תמיד. האינטגרל מ-22 עד 22 הוא שטח ברוחב אפס. זו הנקודה שבה הגרף של FF חותך את ציר ה-xx בוודאות.

הפונקציה הצוברת בנוסחה

נתונה F(x)=∫1x(2t−4) dtF(x)=\int_1^x (2t-4)\,dt. מצאו ביטוי ל-F(x)F(x), ואת נקודת המינימום של FF.

F(x)=[t2−4t]1x=(x2−4x)−(1−4)=x2−4x+3\begin{aligned}F(x) &= \big[t^2-4t\big]_1^x \\ &= (x^2-4x)-(1-4) \\ &= x^2-4x+3\end{aligned}

קדומה, ומציבים את שני הגבולות

F(1)=1−4+3=0\begin{aligned}F(1) &= 1-4+3 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה: FF מתאפסת בגבול התחתון ✓

F ′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2\begin{aligned}F\,'(x) &= 2x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

המשפט היסודי

F(2)=4−8+3=−1\begin{aligned}F(2) &= 4-8+3 \\ &= -1\end{aligned}

ff עוברת משלילי לחיובי: מינימום (2, −1)(2,\,-1)

FF עולה זה לא FF חיובית. בגרף של הקצב למעלה FF יורדת מ-t=4t=4 ועד t=8t=8, ובכל זאת חיובית עד t=8t=8: המאגר מתרוקן, אבל עדיין יש בו מים.

שלוש טעויות בפונקציה הצוברת.

F ′(x)=f ′(x)F\,'(x)=f\,'(x)
F ′(x)=f(x)F\,'(x)=f(x)

הנגזרת של FF היא ff עצמה, לא הנגזרת של ff.

xmax⁡F=xmax⁡fx_{\max F}=x_{\max f}
xmax⁡F: f  +→−x_{\max F}: \ f \ \ + \to -

המקסימום של ff הוא הרגע שבו FF עולה הכי מהר. FF ממשיכה לעלות כל עוד f>0f>0.

F(x)=x2−4xF(x)=x^2-4x
F(x)=x2−4x+3F(x)=x^2-4x+3

ב-∫1x\int_1^x חייבים להחסיר את הערך בגבול התחתון. בדיקה: F(1)F(1) חייב להיות 00.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה F(x)=∫0x(t3+1) dtF(x)=\int_0^x (t^3+1)\,dt. חשבו את F ′(2)F\,'(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

F ′(x)=x3+1F\,'(x)=x^3+1

המשפט היסודי

F ′(2)=8+1=9\begin{aligned}F\,'(2) &= 8+1 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים

אין צורך לחשב את האינטגרל. מי שחישב F(2)=164+2=6F(2)=\frac{16}{4}+2=6 ענה על שאלה אחרת: ערך, לא נגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה F(x)=∫2x(3t2−2) dtF(x)=\int_2^x (3t^2-2)\,dt. חשבו את F(3)F(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

F(x)=[t3−2t]2x=x3−2x−4\begin{aligned}F(x) &= \big[t^3-2t\big]_2^x \\ &= x^3-2x-4\end{aligned}

23−2⋅2=42^3-2 \cdot 2=4

F(3)=27−6−4=17\begin{aligned}F(3) &= 27-6-4 \\ &= 17\end{aligned}

מציבים

מי שקיבל 2121 שכח להחסיר את הערך בגבול התחתון, 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הגרף של f
0123456-5-4-3-2-112345xy

הגרף של ff מורכב מקטעים ישרים, כמו בשרטוט. נגדיר F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt עבור 0≤x≤60 \leq x \leq 6. חשבו את F(2)F(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

F(2)=12⋅2⋅4=4\begin{aligned}F(2) &= \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \\ &= 4\end{aligned}

משולש מעל הציר, בסיס 22 וגובה 44

השטח מעל הציר נספר בחיוב. עוד לא הגענו לחלק שמתחת לציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f
0123456-5-4-3-2-112345xy

לפי אותו שרטוט, עם F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt: חשבו את F(6)F(6).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

∫02f=4\int_0^2 f=4

משולש מעל הציר

∫26f=−12⋅4⋅4=−8\begin{aligned}\int_2^6 f &= -\tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \\ &= -8\end{aligned}

משולש מתחת לציר, בסיס 44 וגובה 44

F(6)=4−8=−4\begin{aligned}F(6) &= 4-8 \\ &= -4\end{aligned}

סכום עם סימנים

FF היא שטח עם סימן, ולכן יכולה להיות שלילית. מי שענה 1212 חיבר שטחים בלי סימן: זה השטח הכולל, לא F(6)F(6).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגרף של f
0123456-5-4-3-2-112345xy

לפי אותו שרטוט, עם F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt: באיזה xx מקבלת FF את הערך הגדול ביותר בקטע [0, 6][0,\,6]?

  1. x=4x=4
  2. x=6x=6
  3. x=2x=2
  4. x=0x=0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=2x=2

הפתרון:

0<x<2: f>0 ⇒ F ↗0<x<2: \ f>0 \ \Rightarrow \ F \ \nearrow

עולה

2<x<6: f<0 ⇒ F ↘2<x<6: \ f<0 \ \Rightarrow \ F \ \searrow

יורדת

F(2)=4F(2)=4

ff מחליפה סימן מ-++ ל-−-: מקסימום

הנכונה: x=2x=2. ב-x=0x=0 הערך של ff הכי גדול, אבל F(0)=0F(0)=0. ב-x=4x=4 הערך של ff הכי קטן: שם FF יורדת הכי מהר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: אם f(t)>0f(t)>0 לכל tt, אז F(x)=∫0xf(t) dtF(x)=\int_0^x f(t)\,dt חיובית לכל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

F(0)=0F(0)=0

בגבול התחתון

f(t)=1: F(x)=x ⇒ F(−1)=−1<0\begin{aligned}f(t) &= 1: \ F(x) \\ &= x \ \Rightarrow \ F(-1) \\ &= -1<0\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה לא נכונה. f>0f>0 אומר ש-FF עולה, לא ש-FF חיובית. FF עולה ומתאפסת ב-00, ולכן משמאל ל-00 היא שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה F(x)=∫1x(2t−6) dtF(x)=\int_1^x (2t-6)\,dt. השלימו.

F(x)=x2−6x+F(x)=x^2-6x+ ____ ; מינימום ב-x=x= ____ , ערך המינימום ____ ; F(x)=0F(x)=0 גם ב-x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(x)=x2−6x+F(x)=x^2-6x+ 5 ; מינימום ב-x=x= 3 , ערך המינימום -4 ; F(x)=0F(x)=0 גם ב-x=x= 5

הפתרון:

F(x)=[t2−6t]1x=x2−6x−(1−6)=x2−6x+5\begin{aligned}F(x) &= \big[t^2-6t\big]_1^x \\ &= x^2-6x-(1-6) \\ &= x^2-6x+5\end{aligned}

קדומה ושני גבולות

F ′(x)=2x−6=0 ⇒ x=3F(3)=−4\begin{aligned}F\,'(x) &= 2x-6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \quad F(3) &= -4\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

x2−6x+5=(x−1)(x−5)=0\begin{aligned}x^2-6x+5 &= (x-1)(x-5) \\ &= 0\end{aligned}

x=1x=1 ידוע מראש; השני x=5x=5

אחד השורשים של FF ידוע בלי חישוב: הגבול התחתון x=1x=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה F(x)=∫axf(t) dtF(x)=\int_a^x f(t)\,dt. התאימו לכל תכונה של ff את מה שהיא אומרת על FF.

  • f>0f>0 בקטע
  • f<0f<0 בקטע
  • ff מחליפה סימן מ-++ ל-−-
  • ל-ff יש מקסימום
  • FF יורדת בקטע
  • FF עולה בקטע
  • ל-FF מקסימום
  • ל-FF נקודת פיתול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f>0f>0 בקטע — FF עולה בקטע · f<0f<0 בקטע — FF יורדת בקטע · ff מחליפה סימן מ-++ ל-−- — ל-FF מקסימום · ל-ff יש מקסימום — ל-FF נקודת פיתול

הפתרון:

F ′=fF\,'=f

הסימן של ff הוא כיוון FF

F ′′=f ′F\,''=f\,'

הכיוון של ff הוא הקעירות של FF

שתי שכבות: הסימן של ff קובע עלייה וירידה של FF, והעלייה והירידה של ff קובעות את הקעירות של FF.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה F(x)=∫0x(t2−9) dtF(x)=\int_0^x (t^2-9)\,dt. באיזה xx יש ל-FF נקודת מינימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

F ′(x)=x2−9=0 ⇒ x=±3\begin{aligned}F\,'(x) &= x^2-9 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 3\end{aligned}

נקודות חשודות

F ′(2)=−5<0F ′(4)=7>0\begin{aligned}F\,'(2) &= -5<0 \qquad F\,'(4) \\ &= 7>0\end{aligned}

סביב x=3x=3: מ-−- ל-++

F ′(−4)=7>0F ′(−2)=−5<0\begin{aligned}F\,'(-4) &= 7>0 \qquad F\,'(-2) \\ &= -5<0\end{aligned}

סביב x=−3x=-3: מקסימום

המינימום ב-x=3x=3. x=−3x=-3 הוא מקסימום. מי שבחר לפי «איפה x2−9x^2-9 הכי קטנה» ענה x=0x=0: שם FF יורדת הכי מהר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה F(x)=∫0x(at+2) dtF(x)=\int_0^x (at+2)\,dt, כאשר aa פרמטר, וידוע ש-F(2)=10F(2)=10. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

F(x)=a2x2+2xF(x)=\tfrac{a}{2}x^2+2x

קדומה, ו-F(0)=0F(0)=0

F(2)=2a+4=10 ⇒ a=3\begin{aligned}F(2) &= 2a+4 \\ &= 10 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

בתוך האינטגרל aa הוא קבוע, והמשתנה הוא tt. בדיקה: ∫02(3t+2) dt=6+4=10\int_0^2 (3t+2)\,dt=6+4=10 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת