קירוב שטח במלבנים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מכונית נוסעת במהירות משתנה. אם המהירות הייתה קבועה, המרחק היה «מהירות כפול זמן»: שטח של מלבן. כשהמהירות משתנה, מחלקים את הזמן לחלקים קטנים ומניחים שבכל חלק המהירות כמעט קבועה. כך השטח מתחת לגרף מתקרב בעזרת סכום של מלבנים. הסתכלו על הגרף לפני כל נוסחה.

y = x² + 1 בקטע [0, 3], שלושה חלקים
s = 8S = 1701231234567891011xy
הקו המלא: מלבנים מתחת לעקומה, בגובה הקצה השמאלי של כל חלק. הקו המקווקו: מלבנים מעל העקומה, בגובה הקצה הימני. השטח האמיתי נמצא ביניהם.

לפי הגרף: חשבו את שני הסכומים. בין אילו מספרים נמצא השטח המדויק מתחת ל-y=x2+1y=x^2+1 בקטע [0, 3][0,\,3]?

להציג את התשובה והפתרון

רוחב כל מלבן 11. תחתון: 1+2+5=81+2+5=8. עליון: 2+5+10=172+5+10=17. לכן 8<S<178 < S < 17. (השטח המדויק הוא 1212.)

סכום תחתון וסכום עליון

מחלקים את הקטע [a, b][a,\,b] ל-nn חלקים שווים ברוחב Δx=b−an\Delta x=\frac{b-a}{n}. בכל חלק בונים מלבן. בסכום התחתון הגובה הוא הערך הקטן ביותר של ff בחלק, ובסכום העליון הערך הגדול ביותר.

Δx=b−ansn=Δx⋅(min1+⋯+minn)Sn=Δx⋅(max1+⋯+maxn)\begin{aligned}\Delta x &= \frac{b-a}{n} \qquad s_n \\ &= \Delta x \cdot \big(\text{min}_1+\dots+\text{min}_n\big) \qquad S_n \\ &= \Delta x \cdot \big(\text{max}_1+\dots+\text{max}_n\big)\end{aligned}
f עולהf \ \text{עולה}

הקטן בקצה השמאלי של כל חלק, הגדול בקצה הימני: sns_n משמאל, SnS_n מימין

f יורדתf \ \text{יורדת}

הפוך: sns_n לוקח את הקצוות הימניים, SnS_n את השמאליים

sn≤∫abf(x) dx≤Sns_n \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq S_n

כשמגדילים את nn, שני הסכומים מתקרבים זה לזה ולאינטגרל

עבור f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 בקטע [0, 3][0,\,3] עם n=6n=6 חלקים, Δx=0.5\Delta x=0.5: s6=9.875s_6=9.875 ו-S6=14.375S_6=14.375. הפער ירד מ-99 ל-4.54.5. לפונקציה מונוטונית הפער הוא בדיוק Sn−sn=Δx⋅∣f(b)−f(a)∣S_n-s_n=\Delta x \cdot |f(b)-f(a)|: כל «מדרגה» נדחפת שמאלה לעמודה אחת.

Sn−sn=b−an⋅∣f(b)−f(a)∣S_n-s_n=\frac{b-a}{n}\cdot\big|f(b)-f(a)\big|

עבור f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 בקטע [0, 3][0,\,3]: כמה חלקים צריך לפחות כדי שהפער Sn−snS_n-s_n יהיה קטן מ-11?

להציג את התשובה והפתרון

3n⋅9=27n<1\frac{3}{n}\cdot 9=\frac{27}{n}<1, ולכן n>27n>27: לפחות 2828 חלקים.

פונקציה יורדת

נתונה f(x)=9−x2f(x)=9-x^2 בקטע [0, 3][0,\,3]. חלקו לשלושה חלקים שווים וחשבו את הסכום התחתון ואת הסכום העליון.

Δx=3−03=1\begin{aligned}\Delta x &= \frac{3-0}{3} \\ &= 1\end{aligned}

רוחב כל חלק

f(0)=9f(1)=8f(2)=5f(3)=0\begin{aligned}f(0) &= 9 \quad f(1) \\ &= 8 \quad f(2) \\ &= 5 \quad f(3) \\ &= 0\end{aligned}

בקטע [0, 3][0,\,3] הפונקציה יורדת

s3=1⋅(8+5+0)=13\begin{aligned}s_3 &= 1 \cdot (8+5+0) \\ &= 13\end{aligned}

תחתון: הקצוות הימניים

S3=1⋅(9+8+5)=22\begin{aligned}S_3 &= 1 \cdot (9+8+5) \\ &= 22\end{aligned}

עליון: הקצוות השמאליים

13≤∫03(9−x2) dx=18≤2213 \leq \int_0^3 (9-x^2)\,dx=18 \leq 22

האינטגרל אכן ביניהם

לפני כל חישוב שאלו: האם ff עולה או יורדת בקטע? התשובה קובעת איזה קצה נותן את הגובה הקטן. ואם ff לא מונוטונית, מחפשים בכל חלק את המינימום ואת המקסימום שלו.

שלוש טעויות בסכומים.

s3=f(0)+f(1)+f(2)s_3=f(0)+f(1)+f(2)
s3=f(1)+f(2)+f(3)s_3=f(1)+f(2)+f(3)

עבור 9−x29-x^2, שיורדת, הקצה השמאלי נותן את הגובה הגדול. זה הסכום העליון.

s4=f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)s_4=f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)
s4=0.5⋅(f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5))s_4=0.5 \cdot \big(f(0)+f(0.5)+f(1)+f(1.5)\big)

שכחו לכפול ברוחב Δx\Delta x. מסכמים שטחים, לא גבהים.

n=4 ⇒ 4 נקודותn=4 \ \Rightarrow \ 4 \ \text{נקודות}
n=4 ⇒ x0 x1 … x4\begin{aligned}n &= 4 \ \Rightarrow \ x_0 \\ \,x_1 \\ \,\dots \\ \,x_4\end{aligned}

ארבעה חלקים נקבעים על ידי חמש נקודות, מ-x0=ax_0=a עד x4=bx_4=b. כל סכום משתמש בארבע מהן.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [0, 4][0,\,4]. מחלקים את הקטע ל-44 חלקים שווים. חשבו את הסכום התחתון s4s_4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

Δx=1\Delta x=1

רוחב כל חלק

s4=1⋅(f(0)+f(1)+f(2)+f(3))=0+1+4+9=14\begin{aligned}s_4 &= 1 \cdot \big(f(0)+f(1)+f(2)+f(3)\big) \\ &= 0+1+4+9 \\ &= 14\end{aligned}

ff עולה בקטע: הקצוות השמאליים

ff עולה, ולכן הגובה הקטן בכל חלק הוא בקצה השמאלי. מי שכתב 3030 חישב את הסכום העליון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשך: עבור f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [0, 4][0,\,4] עם 44 חלקים, חשבו את הסכום העליון S4S_4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

S4=1⋅(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))=1+4+9+16=30\begin{aligned}S_4 &= 1 \cdot \big(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)\big) \\ &= 1+4+9+16 \\ &= 30\end{aligned}

הקצוות הימניים

14≤∫04x2 dx=643≈21.3≤3014 \leq \int_0^4 x^2\,dx=\tfrac{64}{3} \approx 21.3 \leq 30

בדיקה

העליון לוקח את הקצוות הימניים, כולל f(4)=16f(4)=16. בדיקה מהירה: S4−s4=1⋅(16−0)=16S_4-s_4=1 \cdot (16-0)=16 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפונקציה ff יורדת בקטע [a, b][a,\,b]. מחלקים את הקטע לחלקים שווים. באיזה גובה בונים כל עמודה של הסכום התחתון?

  1. בערך של ff בקצה השמאלי של החלק
  2. בערך של ff בקצה הימני של החלק
  3. בערך של ff באמצע החלק
  4. בממוצע של שני הקצוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בערך של ff בקצה הימני של החלק

הפתרון:

xk−1<xk ⇒ f(xk−1)>f(xk)x_{k-1}<x_k \ \Rightarrow \ f(x_{k-1})>f(x_k)

פונקציה יורדת

min=f(xk)\text{min}=f(x_k)

הערך הקטן בחלק: בקצה הימני

הנכונה: הקצה הימני. «שמאל = תחתון» נכון רק לפונקציה עולה. האמצע והממוצע נותנים קירוב, אבל לא סכום תחתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=2x+1f(x)=2x+1 בקטע [1, 3][1,\,3]. מחלקים את הקטע ל-44 חלקים שווים. השלימו.

Δx=\Delta x= ____ ; s4=s_4= ____ ; S4=S_4= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: Δx=\Delta x= 0.5 ; s4=s_4= 9 ; S4=S_4= 11

הפתרון:

Δx=3−14=0.5\begin{aligned}\Delta x &= \frac{3-1}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

רוחב

f(1)=3 f(1.5)=4 f(2)=5 f(2.5)=6 f(3)=7\begin{aligned}f(1) &= 3 \\ \ f(1.5) &= 4 \\ \ f(2) &= 5 \\ \ f(2.5) &= 6 \\ \ f(3) &= 7\end{aligned}

חמש נקודות

s4=0.5⋅(3+4+5+6)=9\begin{aligned}s_4 &= 0.5 \cdot (3+4+5+6) \\ &= 9\end{aligned}

תחתון: ff עולה

S4=0.5⋅(4+5+6+7)=11\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (4+5+6+7) \\ &= 11\end{aligned}

עליון

חמש נקודות חלוקה, ארבעה מלבנים בכל סכום. מי שקיבל 1818 ו-2222 שכח לכפול ב-Δx=0.5\Delta x=0.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: עבור f(x)=2x+1f(x)=2x+1 בקטע [1, 3][1,\,3], הממוצע של s4s_4 ושל S4S_4 שווה בדיוק ל-∫13(2x+1) dx\int_1^3 (2x+1)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

9+112=10\frac{9+11}{2}=10

ממוצע הסכומים מהשאלה הקודמת

∫13(2x+1) dx=[x2+x]13=12−2=10\begin{aligned}\int_1^3 (2x+1)\,dx &= \big[x^2+x\big]_1^3 \\ &= 12-2 \\ &= 10\end{aligned}

האינטגרל

הטענה נכונה. לגרף ישר, בכל חלק המלבן התחתון «חסר» משולש, והעליון «עודף» משולש זהה. לפרבולה זה לא נכון: ב-x2x^2 בקטע [0,4][0,4], 14+302=22≠643\frac{14+30}{2}=22 \neq \frac{64}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x3f(x)=x^3 בקטע [0, 2][0,\,2], ומחלקים את הקטע ל-88 חלקים שווים. חשבו את S8−s8S_8-s_8, בלי לחשב כל סכום בנפרד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

Δx=28=0.25\begin{aligned}\Delta x &= \frac{2}{8} \\ &= 0.25\end{aligned}

רוחב

S8−s8=Δx⋅(f(2)−f(0))=0.25⋅8=2\begin{aligned}S_8-s_8 &= \Delta x\cdot\big(f(2)-f(0)\big) \\ &= 0.25 \cdot 8 \\ &= 2\end{aligned}

פונקציה עולה: המדרגות מצטמצמות לעמודה אחת

כל ערך פנימי מופיע בשני הסכומים ומתקזז. נשארים רק f(2)f(2) ב-S8S_8 ו-f(0)f(0) ב-s8s_8, כפול הרוחב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

עבור f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [0, 3][0,\,3] מחלקים את הקטע ל-nn חלקים שווים. מהו nn הקטן ביותר שעבורו Sn−sn<0.1S_n-s_n<0.1?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 271

הפתרון:

Sn−sn=3n⋅(9−0)=27n\begin{aligned}S_n-s_n &= \frac{3}{n}\cdot(9-0) \\ &= \frac{27}{n}\end{aligned}

הפער לפונקציה עולה

27n<0.1 ⇒ n>270\frac{27}{n}<0.1 \ \Rightarrow \ n>270

אי-שוויון

n=271n=271

המספר השלם הקטן ביותר

אי-השוויון חזק: עבור n=270n=270 הפער שווה בדיוק ל-0.10.1, ולא קטן ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [0, 2][0,\,2]. סדרו מהקטן לגדול.

  • ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx
  • s2s_2
  • S2S_2
  • s4s_4
  • S4S_4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: s2s_2 · s4s_4 · ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx · S4S_4 · S2S_2

הפתרון:

s2=1⋅(0+1)=1s4=0.5⋅(0+0.25+1+2.25)=1.75\begin{aligned}s_2 &= 1 \cdot (0+1) \\ &= 1 \qquad s_4 \\ &= 0.5 \cdot (0+0.25+1+2.25) \\ &= 1.75\end{aligned}

התחתונים

∫02x2 dx=83≈2.67\int_0^2 x^2\,dx=\tfrac{8}{3} \approx 2.67

האינטגרל

S4=0.5⋅(0.25+1+2.25+4)=3.75S2=1⋅(1+4)=5\begin{aligned}S_4 &= 0.5 \cdot (0.25+1+2.25+4) \\ &= 3.75 \qquad S_2 \\ &= 1 \cdot (1+4) \\ &= 5\end{aligned}

העליונים

כשמגדילים את nn, הסכום התחתון עולה והעליון יורד. שניהם מתקרבים לאינטגרל מצדדים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=16−x2f(x)=16-x^2 בקטע [0, 4][0,\,4]. מחלקים את הקטע ל-44 חלקים שווים. השלימו.

s4=s_4= ____ ; S4=S_4= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: s4=s_4= 34 ; S4=S_4= 50

הפתרון:

f(0)=16 f(1)=15 f(2)=12 f(3)=7 f(4)=0\begin{aligned}f(0) &= 16 \\ \ f(1) &= 15 \\ \ f(2) &= 12 \\ \ f(3) &= 7 \\ \ f(4) &= 0\end{aligned}

בקטע [0,4][0,4] הפונקציה יורדת

s4=15+12+7+0=34\begin{aligned}s_4 &= 15+12+7+0 \\ &= 34\end{aligned}

תחתון: הקצוות הימניים

S4=16+15+12+7=50\begin{aligned}S_4 &= 16+15+12+7 \\ &= 50\end{aligned}

עליון: הקצוות השמאליים

34≤∫04(16−x2) dx=1283≈42.7≤5034 \leq \int_0^4 (16-x^2)\,dx=\tfrac{128}{3} \approx 42.7 \leq 50

בדיקה

פונקציה יורדת: הימני הוא התחתון. מי שהפך את התשובות בנה את הסכומים כאילו ff עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

תלמיד חישב את הסכום התחתון של f(x)=x2f(x)=x^2 בקטע [0, 2][0,\,2] עם 44 חלקים. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

Δx=2−04=0.5\begin{aligned}\Delta x &= \frac{2-0}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}
x0=0 x1=0.5 x2=1 x3=1.5\begin{aligned}x_0 &= 0 \\ \ x_1 &= 0.5 \\ \ x_2 &= 1 \\ \ x_3 &= 1.5\end{aligned}
f(x0)=0 f(x1)=0.25 f(x2)=1 f(x3)=2.25\begin{aligned}f(x_0) &= 0 \\ \ f(x_1) &= 0.25 \\ \ f(x_2) &= 1 \\ \ f(x_3) &= 2.25\end{aligned}
s4=0+0.25+1+2.25=3.5\begin{aligned}s_4 &= 0+0.25+1+2.25 \\ &= 3.5\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: s4=0+0.25+1+2.25=3.5s_4=0+0.25+1+2.25=3.5 → s4=0.5⋅(0+0.25+1+2.25)=1.75s_4=0.5 \cdot (0+0.25+1+2.25)=1.75

הפתרון:

s4=Δx⋅(f(x0)+f(x1)+f(x2)+f(x3))s_4=\Delta x \cdot \big(f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\big)

כל מלבן: רוחב כפול גובה

0.5⋅3.5=1.750.5 \cdot 3.5=1.75

התיקון

3.53.5 גדול אפילו מהאינטגרל 83\frac{8}{3}: סכום תחתון לא יכול להיות גדול ממנו. זה הסימן שהרוחב נשכח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת