תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: משוואת המעגל, המצב ההדדי של ישר ומעגל, מרחק נקודה מישר, ומשיק למעגל. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

למעגל (x+3)2+(y−4)2=36(x+3)^2 + (y-4)^2 = 36 — מהו שיעור ה-xx של המרכז?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

(x+3)2=(x−(−3))2(x+3)^2 = (x-(-3))^2

הצורה (x−a)2(x-a)^2

a=−3  b=4  r=6\begin{aligned}a &= -3 \ \\ \ b &= 4 \ \\ \ r &= 6\end{aligned}

הסימן בתוך הסוגריים הפוך לסימן השיעור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

היכן נמצאת הנקודה (1,2)(1, 2) ביחס למעגל (x+3)2+(y−4)2=36(x+3)^2 + (y-4)^2 = 36?

  1. בתוך המעגל
  2. על המעגל
  3. מחוץ למעגל
  4. במרכז המעגל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א בתוך המעגל

הפתרון:

(1+3)2+(2−4)2=16+4=20\begin{aligned}(1+3)^2 + (2-4)^2 &= 16 + 4 \\ &= 20\end{aligned}

מציבים

20<3620 < 36

קטן מ-r2r^2

הנקודה קרובה למרכז יותר מהרדיוס — היא בפנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו מרחק הנקודה (0,0)(0, 0) מהישר 5x+12y−26=05x + 12y - 26 = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

d=∣5⋅0+12⋅0−26∣52+122d = \frac{|5 \cdot 0 + 12 \cdot 0 - 26|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}
=2613=2= \frac{26}{13} = 2

הערך המוחלט — מרחק אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

הנקודות (−2,1)(-2, 1) ו-(4,9)(4, 9) הן קצות קוטר של מעגל. מהו רדיוס המעגל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

(−2+42,1+92)=(1,5)\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+9}{2}\right) = (1, 5)

המרכז — אמצע הקטע

62+82=10\sqrt{6^2 + 8^2} = 10

אורך הקוטר

r=5r = 5

חצי קוטר

משוואת המעגל: (x−1)2+(y−5)2=25(x-1)^2 + (y-5)^2 = 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המעגל x2+y2=20x^2 + y^2 = 20 והישר y=2x+10y = 2x + 10. כמה נקודות משותפות יש להם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x2+(2x+10)2=20x^2 + (2x+10)^2 = 20

מציבים את הישר במעגל

5x2+40x+80=0⇒x2+8x+16=0\begin{aligned}5x^2 + 40x + 80 &= 0 \Rightarrow x^2 + 8x + 16 \\ &= 0\end{aligned}
Δ=64−64=0\begin{aligned}\Delta &= 64 - 64 \\ &= 0\end{aligned}

פתרון אחד

הישר משיק למעגל בנקודה (−4,2)(-4, 2).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המעגל x2+y2=100x^2 + y^2 = 100 והנקודה (−6,8)(-6, 8) שעליו. מהו שיפוע המשיק למעגל בנקודה זו? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

mr=8−0−6−0=−43\begin{aligned}m_r &= \frac{8 - 0}{-6 - 0} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס

mt=34=0.75\begin{aligned}m_t &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הופכים ומנגידים

בדיקה: −43⋅34=−1-\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהנקודה (10,0)(10, 0) מעבירים משיק למעגל x2+y2=36x^2 + y^2 = 36. אורך המשיק הוא 88.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

d=10  r=6\begin{aligned}d &= 10 \ \\ \ r &= 6\end{aligned}

מרחק הנקודה מהמרכז

ℓ=100−36=8\begin{aligned}\ell &= \sqrt{100 - 36} \\ &= 8\end{aligned}

פיתגורס — הזווית הישרה בנקודת ההשקה

היתר הוא dd, לא ℓ\ell.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מעגל שמרכזו (2,3)(2, 3) משיק לישר 3x−4y+14=03x - 4y + 14 = 0. מהו רדיוס המעגל? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.6

הפתרון:

d=∣3⋅2−4⋅3+14∣9+16d = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot 3 + 14|}{\sqrt{9 + 16}}

מרחק המרכז מהישר

=85=1.6= \frac{8}{5} = 1.6
r=d=1.6\begin{aligned}r &= d \\ &= 1.6\end{aligned}

משיק — המרחק שווה לרדיוס

משוואת המעגל: (x−2)2+(y−3)2=2.56(x-2)^2 + (y-3)^2 = 2.56.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הנקודה (5,1)(5, 1) נמצאת על המעגל (x−1)2+(y+2)2=25(x-1)^2 + (y+2)^2 = 25. המשיק למעגל בנקודה זו הוא y=mx+ny = mx + n. מהו nn? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.67

הפתרון:

mr=1−(−2)5−1=34\begin{aligned}m_r &= \frac{1 - (-2)}{5 - 1} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז (1,−2)(1, -2)

m=−43m = -\frac{4}{3}

המשיק מאונך לרדיוס

y−1=−43(x−5)y - 1 = -\frac{4}{3}(x - 5)
n=203+1=233≈7.67\begin{aligned}n &= \frac{20}{3} + 1 \\ &= \frac{23}{3} \approx 7.67\end{aligned}

המרכז אינו בראשית — שיפוע הרדיוס נמדד מהמרכז האמיתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

משדר סלולרי נמצא בנקודה (0,0)(0, 0) ומכסה עד מרחק 10 ק״מ ממנו. כביש ישר עובר לאורך הישר y=−x+14y = -x + 14 (היחידות בק״מ). מה אורך קטע הכביש שנמצא בטווח הכיסוי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.83

הפתרון:

x2+(14−x)2=100x^2 + (14 - x)^2 = 100

גבול הכיסוי הוא המעגל x2+y2=100x^2 + y^2 = 100

x2−14x+48=0⇒x=6  x=8\begin{aligned}x^2 - 14x + 48 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6 \ \\ \ x &= 8\end{aligned}
(6,8) , (8,6)(6, 8) \ , \ (8, 6)

נקודות החיתוך

22+22=8≈2.83\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \approx 2.83

המרחק ביניהן

כ-2.83 ק״מ מהכביש בטווח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת