משיק למעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

משיק נוגע במעגל בנקודה אחת בדיוק — ובנקודת ההשקה הוא מאונך לרדיוס. המשפט הקטן הזה עושה את כל העבודה: מהמרכז ומנקודת ההשקה מחשבים את שיפוע הרדיוס, הופכים ומנגידים — וזה שיפוע המשיק.

mrayon⋅mtangente=−1m_{\text{rayon}} \cdot m_{\text{tangente}} = -1

שיפועים של ישרים מאונכים — מכפלתם מינוס אחת.

משיק בנקודה על המעגל

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והנקודה (3,4)(3, 4) שעליו.

mr=4−03−0=43\begin{aligned}m_r &= \frac{4 - 0}{3 - 0} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס מהמרכז לנקודה

mt=−34m_t = -\frac{3}{4}

הופכי ונגדי

y−4=−34(x−3)y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)

משוואת ישר בנקודה ובשיפוע — סיימנו

מהו אורך המשיק מנקודה חיצונית PP שמרחקה מהמרכז dd?

להציג את התשובה והפתרון

המשולש מרכז–השקה–PP ישר-זווית בנקודת ההשקה, ולכן פיתגורס: ℓ=d2−r2\ell = \sqrt{d^2 - r^2}.

אורך משיק במספרים

מהנקודה (9,0)(9, 0) אל המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25.

d=9r=5\begin{aligned}d &= 9 \\ \quad r &= 5\end{aligned}
ℓ=81−25=56≈7.48\begin{aligned}\ell &= \sqrt{81 - 25} \\ &= \sqrt{56} \approx 7.48\end{aligned}

הרדיוס אל נקודת ההשקה מאונך למשיק — פיתגורס עושה את השאר

מנקודה חיצונית יוצאים שני משיקים למעגל. מה אפשר לומר על אורכיהם?

להציג את התשובה והפתרון

שווים — שני המשולשים ישרי-הזווית חופפים (רדיוס משותף ויתר משותף). זה המשפט ששימושי בכל שאלות הדלתון.

ההיפוך שכולם שוכחים.

mt=−43m_t = -\frac{4}{3}
mt=−34m_t = -\frac{3}{4}

נגדי בלבד אינו מאונך — צריך גם הופכי וגם נגדי: הופכים את השבר ומחליפים סימן.

תרגילים

תרגיל 1

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והנקודה (3,4)(3, 4) שעליו. מהו שיפוע הרדיוס אל הנקודה? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.33

הפתרון:

mr=43≈1.33m_r = \frac{4}{3} \approx 1.33
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותם נתונים: מהו שיפוע המשיק בנקודה? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.75

הפתרון:

mt=−34=−0.75\begin{aligned}m_t &= -\frac{3}{4} \\ &= -0.75\end{aligned}

הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם נתונים: המשיק y=−0.75x+ny = -0.75x + n. מהו nn? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.25

הפתרון:

4=−0.75⋅3+n4 = -0.75 \cdot 3 + n

מציבים את נקודת ההשקה

n=4+2.25=6.25\begin{aligned}n &= 4 + 2.25 \\ &= 6.25\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהנקודה (9,0)(9, 0) מעבירים משיק למעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. מהו אורכו? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.48

הפתרון:

ℓ=d2−r2=81−25=56≈7.48\begin{aligned}\ell &= \sqrt{d^2 - r^2} \\ &= \sqrt{81 - 25} \\ &= \sqrt{56} \approx 7.48\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מנקודה במרחק 13 ממרכז מעגל שרדיוסו 5 — מהו אורך המשיק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

ℓ=169−25=144=12\begin{aligned}\ell &= \sqrt{169 - 25} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

השלשה 5-12-13

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המעגל x2+y2=100x^2 + y^2 = 100 והנקודה (6,8)(6, 8) שעליו. מהו שיפוע המשיק בנקודה? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.75

הפתרון:

mr=86=43\begin{aligned}m_r &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}
mt=−34m_t = -\frac{3}{4}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המעגל (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 והנקודה (4,6)(4, 6) שעליו. מהו שיפוע הרדיוס אל הנקודה? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.33

הפתרון:

mr=6−24−1=43\begin{aligned}m_r &= \frac{6-2}{4-1} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

מהמרכז (1,2)(1,2) — לא מהראשית

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מדוע המשיק בנקודת ההשקה מאונך לרדיוס?

  1. כי המעגל סימטרי
  2. כי כך הוגדר
  3. כל נקודה אחרת על המשיק רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס
  4. זה נכון רק במעגל היחידה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כל נקודה אחרת על המשיק רחוקה מהמרכז יותר מהרדיוס

הפתרון:

d(מרכז,ישר)=rd(\text{מרכז}, \text{ישר}) = r

המרחק הקצר ביותר — האנך

נקודת ההשקה היא הנקודה הקרובה ביותר למרכז על הישר, והמרחק הקצר ביותר תמיד נמדד לאורך האנך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

משיק אופקי למעגל x2+y2=49x^2 + y^2 = 49 — באיזו נקודה עליונה הוא נוגע? כתבו את ה-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

(0,7)(0, 7)

המשיק y=7y = 7 נוגע בקודקוד העליון

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מנקודה חיצונית שני משיקים באורך 8 כל אחד, והרדיוס 6. מהו מרחק הנקודה מהמרכז?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

d=ℓ2+r2=64+36=10\begin{aligned}d &= \sqrt{\ell^2 + r^2} \\ &= \sqrt{64 + 36} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס הפוך

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת