ישר ומעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

ישר יכול לחתוך מעגל בשתי נקודות, להשיק לו בנקודה אחת, או לפספס אותו. מי מחליט? מערכת המשוואות. מציבים את הישר במעגל ומקבלים משוואה ריבועית — ומספר הפתרונות שלה הוא מספר נקודות המפגש.

חיתוך מלא, צעד אחר צעד

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1.

x2+(x+1)2=25x^2 + (x+1)^2 = 25

מציבים את הישר במעגל

2x2+2x−24=0 ⇒ x2+x−12=0\begin{aligned}2x^2 + 2x - 24 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
(x+4)(x−3)=0 ⇒ x=3 x=−4\begin{aligned}(x+4)(x-3) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -4\end{aligned}

שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך

(3,4),(−4,−3)(3, 4), \quad (-4, -3)

כל xx חוזר לישר לקבל את ה-yy שלו

איזה גודל במשוואה הריבועית מכריע בין שלושת המצבים?

להציג את התשובה והפתרון

הדיסקרימיננטה: Δ>0\Delta > 0 — שתי נקודות (חותך), Δ=0\Delta = 0 — נקודה אחת (משיק), Δ<0\Delta < 0 — אין מפגש.

הדרך הגיאומטרית — מרחק מול רדיוס

יש גם דרך בלי משוואה ריבועית: מודדים את מרחק המרכז מהישר ומשווים לרדיוס. קטן מהרדיוס — חותך; שווה — משיק; גדול — מפספס. לישר ax+by+c=0ax + by + c = 0:

d=∣ax0+by0+c∣a2+b2d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

מרחק הנקודה (x0,y0)(x_0, y_0) מהישר. הערך המוחלט — מרחק אינו שלילי.

המעגל x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 והישר y=5y = 5. מה מצבם ההדדי?

להציג את התשובה והפתרון

מרחק המרכז (0,0)(0,0) מהישר הוא 5, והרדיוס 3. 5>35 > 3 — הישר לא נוגע במעגל כלל.

המלכודת של הפרק.

x=3 היא נקודת החיתוךx = 3 \ \text{היא נקודת החיתוך}
(3,4) היא נקודת החיתוך(3, 4) \ \text{היא נקודת החיתוך}

פתרון המשוואה נותן רק את ה-xx. נקודה היא זוג — חוזרים לישר להשלים את ה-yy.

תרגילים

תרגיל 1

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=x+1y = x + 1. כמה נקודות חיתוך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2+(x+1)2=25⇒x2+x−12=0\begin{aligned}x^2 + (x+1)^2 &= 25 \Rightarrow x^2 + x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
Δ=1+48=49>0\begin{aligned}\Delta &= 1 + 48 \\ &= 49 > 0\end{aligned}

שני פתרונות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה מערכת: אחת מנקודות החיתוך היא (3,y)(3, y). מהו yy?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y=3+1=4\begin{aligned}y &= 3 + 1 \\ &= 4\end{aligned}

מציבים את ה-xx בישר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המעגל x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 והישר y=5y = 5. מהו מרחק המרכז מהישר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

d=∣5−0∣=5\begin{aligned}d &= |5 - 0| \\ &= 5\end{aligned}

ישר אופקי — המרחק הוא הפרש גבהים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותם נתונים (r=3r = 3, d=5d = 5): מה מצבם ההדדי?

  1. הישר אינו פוגש את המעגל
  2. חותך בשתי נקודות
  3. עובר במרכז
  4. משיק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הישר אינו פוגש את המעגל

הפתרון:

d=5>3=r\begin{aligned}d &= 5 > 3 \\ &= r\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המעגל x2+y2=16x^2 + y^2 = 16 והישר y=4y = 4. כמה נקודות משותפות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

d=4=r\begin{aligned}d &= 4 \\ &= r\end{aligned}

מרחק שווה רדיוס — משיק

x2+16=16⇒x=0\begin{aligned}x^2 + 16 &= 16 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (0,4)(0,4)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו מרחק הנקודה (0,0)(0, 0) מהישר 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

d=∣3⋅0+4⋅0−10∣9+16=105=2\begin{aligned}d &= \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} \\ &= \frac{10}{5} \\ &= 2\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המעגל x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 והישר 3x+4y−10=03x + 4y - 10 = 0 (מרחקו מהמרכז 2). מה מצבם ההדדי?

  1. משיק
  2. הישר בתוך המעגל
  3. חותך בשתי נקודות
  4. לא נפגשים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א משיק

הפתרון:

d=2=r\begin{aligned}d &= 2 \\ &= r\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

עבור איזה c>0c > 0 הישר y=x+cy = x + c משיק למעגל x2+y2=8x^2 + y^2 = 8?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x2+(x+c)2=8⇒2x2+2cx+c2−8=0\begin{aligned}x^2 + (x+c)^2 &= 8 \Rightarrow 2x^2 + 2cx + c^2 - 8 \\ &= 0\end{aligned}
Δ=4c2−8(c2−8)=0\begin{aligned}\Delta &= 4c^2 - 8(c^2 - 8) \\ &= 0\end{aligned}
c2=16⇒c=4\begin{aligned}c^2 &= 16 \Rightarrow c \\ &= 4\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המעגל (x−3)2+y2=25(x-3)^2 + y^2 = 25 והישר האנכי x=8x = 8. כמה נקודות משותפות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

d=∣8−3∣=5=r\begin{aligned}d &= |8 - 3| \\ &= 5 \\ &= r\end{aligned}

משיק בנקודה (8,0)(8, 0)

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המעגל x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 והישר y=7y = 7. כמה נקודות משותפות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

d=7>5=r\begin{aligned}d &= 7 > 5 \\ &= r\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת