סדרה 1 — קל · אינדוקציה מתמטית · כיתה י״א

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: המחובר ה- $(k+1)$ , חישוב סכום לפי נוסחה, איברים של סדרה לפי כלל נסיגה, ודוגמה נגדית. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

בכל סכום שאלו קודם: כמה מחוברים יש? $n$ הוא מספר המחוברים, והוא לא תמיד המספר האחרון שכתוב.

תרגילים

תרגיל 1

לפי $2+4+6+\dots+2n=n(n+1)$ , חשבו את $2+4+6+\dots+40$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 420

הפתרון:

\begin{aligned}2n &= 40 \ \Rightarrow \ n \\ &= 20\end{aligned}

מספר המחוברים

20 \cdot 21=420

הנוסחה

$n$ הוא מספר המחוברים, לא המחובר האחרון. הצבה של $n=40$ נותנת $1640$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסכום $1+4+7+\dots+(3n-2)$ , מהו המחובר ה- $(k+1)$ ?

$3k-1$
$3k+1$
$3k+3$
$3k-2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $3k+1$

הפתרון:

3(k+1)-2=3k+1

מציבים $n=k+1$ באיבר הכללי

הנכונה: $3k+1$ . $3k-2$ הוא המחובר ה- $k$ . $3k-1$ הוא תוצאה של « $3k-2$ ועוד $1$ », במקום להציב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לפי $1+4+7+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}$ , חשבו את $1+4+7+\dots+28$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 145

הפתרון:

\begin{aligned}3n-2 &= 28 \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

מספר המחוברים

\frac{10 \cdot 29}{2}=145

הנוסחה

קודם מוצאים את $n$ מהמחובר האחרון. המלכודת: להציב $n=28$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: בשלב ההנחה של הוכחה באינדוקציה מניחים שהטענה נכונה עבור $n=k+1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(k)

ההנחה

P(k+1)

מה שמוכיחים

הטענה לא נכונה. מניחים עבור $n=k$ ומוכיחים עבור $n=k+1$ . מי שמניח את $P(k+1)$ מניח את מה שצריך להוכיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

סדרה מוגדרת על ידי $a_1=2$ , $a_{n+1}=a_n+5$ . מצאו את $a_6$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

2,\ 7,\ 12,\ 17,\ 22,\ 27

מוסיפים $5$ בכל צעד

מ- $a_1$ ל- $a_6$ יש חמישה צעדים, לא שישה. המלכודת: $2+6 \cdot 5=32$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזו נוסחה מפורשת מתאימה לסדרה $a_1=2$ , $a_{n+1}=a_n+5$ ?

$a_n=2n+5$
$a_n=5n$
$a_n=5n-3$
$a_n=5n+2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $a_n=5n-3$

הפתרון:

5 \cdot 1-3=2

בסיס

5k-3+5=5(k+1)-3

צעד

הנכונה: $5n-3$ . גם $5n+2$ וגם $5n$ עוברות את הצעד, אבל נכשלות בבסיס ( $7$ ו- $5$ במקום $2$ ). $2n+5$ מחליפה בין ההפרש לאיבר הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לפי $1+2+4+\dots+2^{n-1}=2^n-1$ , חשבו את $1+2+4+\dots+2^9$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1023

הפתרון:

\begin{aligned}2^{n-1} &= 2^9 \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

מספר המחוברים

2^{10}-1=1023

הנוסחה

המחובר האחרון הוא $2^9$ , ולכן $n=10$ . המלכודת: להציב $n=9$ ולקבל $511$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: $1+2+\dots+n=n^2$ לכל $n$ טבעי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \\ &= 1\end{aligned}

מתקיים

n=2: \ 3 \neq 4

נכשלת

הטענה לא נכונה. דוגמה נגדית אחת, $n=2$ , מספיקה. הבסיס לבדו לא מוכיח דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל סכום את המחובר ה- $(k+1)$ שלו.

$1+2+\dots+n$
$1+3+\dots+(2n-1)$
$1^2+2^2+\dots+n^2$
$1+2+\dots+2^{n-1}$

$(k+1)^2$
$2^k$
$2k+1$
$k+1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1+2+\dots+n$ — $k+1$ · $1+3+\dots+(2n-1)$ — $2k+1$ · $1^2+2^2+\dots+n^2$ — $(k+1)^2$ · $1+2+\dots+2^{n-1}$ — $2^k$

הפתרון:

2(k+1)-1=2k+1

אי-זוגיים

2^{(k+1)-1}=2^k

חזקות

בכל שורה מציבים $n=k+1$ באיבר הכללי. בחזקות, $2^{n-1}$ עבור $n=k+1$ הוא $2^k$ ולא $2^{k+1}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$S_n$ הוא סכום $n$ האיברים הראשונים של סדרה, ו- $S_n=2n^2$ לכל $n$ . מצאו את $a_3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}S_3 &= 18 \\ \ S_2 &= 8\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}a_3 &= S_3-S_2 \\ &= 10\end{aligned}

האיבר השלישי

$a_3=S_3-S_2$ , לא $S_3$ . המלכודת: לענות $18$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev