סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות: שלב ההוכחה המלא, הוכחה בטענה ונימוק, פרמטר, שגיאה בהוכחה, מכפלה, וצעד של 2. הסכומים, הסדרות וההוכחות השגויות מעורבבים.

כתבו את המטרה לפני החישוב: הטענה עבור n=k+1n=k+1. בכל פירוק ובכל צמצום, בדקו שאתם מתקרבים אליה.

תרגילים

תרגיל 1

הטענה: 1+4+7+⋯+(3n−2)=n(3n−1)21+4+7+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}. השלימו את שלב ההוכחה.

k(3k−1)2+(3k+1)=3k2+ak+22\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)=\frac{3k^2+ak+2}{2} עם a=a= ____ ; 3k2+ak+2=(k+1)(3k+b)3k^2+ak+2=(k+1)(3k+b) עם b=b= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k(3k−1)2+(3k+1)=3k2+ak+22\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)=\frac{3k^2+ak+2}{2} עם a=a= 5 ; 3k2+ak+2=(k+1)(3k+b)3k^2+ak+2=(k+1)(3k+b) עם b=b= 2

הפתרון:

k(3k−1)+2(3k+1)2=3k2+5k+22\frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}=\frac{3k^2+5k+2}{2}

מכנה משותף

3k2+5k+2=(k+1)(3k+2)3k^2+5k+2=(k+1)(3k+2)

המטרה עבור n=k+1n=k+1: 3n−1=3k+23n-1=3k+2

המטרה (k+1)(3k+2)2\frac{(k+1)(3k+2)}{2} אומרת מראש איך לפרק. המלכודת: לשכוח לכפול את 3k+13k+1 ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הוכיחו באינדוקציה: לכל nn טבעי, 1+4+7+⋯+(3n−2)=n(3n−1)21+4+7+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}.

  • nn מספר טבעי

1+4+⋯+(3n−2)=n(3n−1)21+4+\dots+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}

להציג את התשובה והפתרון
  1. 1=1⋅221=\frac{1 \cdot 2}{2} — בדיקה עבור n=1n=1
  2. 1+4+⋯+(3k−2)=k(3k−1)21+4+\dots+(3k-2)=\frac{k(3k-1)}{2} — הנחת האינדוקציה
  3. 1+4+⋯+(3k+1)=k(3k−1)2+(3k+1)1+4+\dots+(3k+1)=\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1) — מוסיפים את המחובר ה-(k+1)(k+1) ומציבים את ההנחה
  4. k(3k−1)2+(3k+1)=(k+1)(3k+2)2\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)=\frac{(k+1)(3k+2)}{2} — מכנה משותף ופירוק הטרינום 3k2+5k+23k^2+5k+2
  5. 1+4+⋯+(3k+1)=(k+1)(3k+2)21+4+\dots+(3k+1)=\frac{(k+1)(3k+2)}{2} — כלל המעבר: זו הטענה עבור n=k+1n=k+1

הפתרון:

1=11=1

בסיס

3k2+5k+22=(k+1)(3k+2)2\frac{3k^2+5k+2}{2}=\frac{(k+1)(3k+2)}{2}

צעד

המחובר ה-(k+1)(k+1) הוא 3(k+1)−2=3k+13(k+1)-2=3k+1. המלכודת: להוסיף 3k−13k-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון: a1=1a_1=1, an+1=3an+2a_{n+1}=3a_n+2. שלב ההוכחה ש-an=2⋅3n−1−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}-1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

ak+1=3ak+2a_{k+1}=3a_k+2
=3(2⋅3k−1−1)+2=3\left(2 \cdot 3^{k-1}-1\right)+2
=6⋅3k−3+2=6 \cdot 3^{k}-3+2
=2⋅3k−1=2 \cdot 3^{k}-1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: =6⋅3k−3+2=6 \cdot 3^{k}-3+2 → =2⋅3k−3+2=2 \cdot 3^{k}-3+2

הפתרון:

3⋅2⋅3k−1=2⋅3k3 \cdot 2 \cdot 3^{k-1}=2 \cdot 3^{k}

ה-33 מעלה את החזקה, לא כופל את ה-22

3⋅3k−1=3k3 \cdot 3^{k-1}=3^k, וה-22 נשאר. 6⋅3k6 \cdot 3^k גדול פי 33. השורה האחרונה נכונה, אבל לא נובעת מהשורה השגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ידוע ש-2+6+18+⋯+2⋅3n−1=3n+c2+6+18+\dots+2 \cdot 3^{n-1}=3^n+c לכל nn טבעי. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

n=1: 2=3+c ⇒ c=−1\begin{aligned}n &= 1: \ 2 \\ &= 3+c \ \Rightarrow \ c \\ &= -1\end{aligned}

מציבים

n=2: 8=9−1\begin{aligned}n &= 2: \ 8 \\ &= 9-1\end{aligned}

בדיקה

מציבים n=1n=1 ומוצאים את הפרמטר. בדיקה עם n=2n=2 מראה שלא טעיתם. המלכודת: להציב 3n−13^{n-1} במקום 3n3^n באגף ימין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון: a1=4a_1=4, an+1=an+2n+2a_{n+1}=a_n+2n+2. סדרו את ההוכחה ש-an=n2+n+2a_n=n^2+n+2.

  • בודקים: (k+1)2+(k+1)+2=k2+3k+4(k+1)^2+(k+1)+2=k^2+3k+4
  • בודקים: a1=4=1+1+2a_1=4=1+1+2
  • כלל הנסיגה עבור n=kn=k: ak+1=ak+2k+2a_{k+1}=a_k+2k+2
  • מניחים: ak=k2+k+2a_k=k^2+k+2
  • מציבים: ak+1=k2+3k+4a_{k+1}=k^2+3k+4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בודקים: a1=4=1+1+2a_1=4=1+1+2 · מניחים: ak=k2+k+2a_k=k^2+k+2 · כלל הנסיגה עבור n=kn=k: ak+1=ak+2k+2a_{k+1}=a_k+2k+2 · מציבים: ak+1=k2+3k+4a_{k+1}=k^2+3k+4 · בודקים: (k+1)2+(k+1)+2=k2+3k+4(k+1)^2+(k+1)+2=k^2+3k+4

הפתרון:

k2+k+2+2k+2=k2+3k+4k^2+k+2+2k+2=k^2+3k+4

הצבה

(k+1)2+(k+1)+2=k2+3k+4(k+1)^2+(k+1)+2=k^2+3k+4

המטרה

בסוף משווים את מה שקיבלנו לנוסחה עבור n=k+1n=k+1. המלכודת: להציב 2(k+1)+22(k+1)+2 בכלל במקום 2k+22k+2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הטענה: לכל nn זוגי, 1−3+5−7+⋯−(2n−1)=−n1-3+5-7+\dots-(2n-1)=-n. מה נכון לגבי ההוכחה?

  1. בסיס n=1n=1; במעבר מ-kk ל-k+1k+1 מוסיפים −(2k+1)-(2k+1)
  2. בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+2k+2 מוסיפים (2k+1)−(2k+3)=−2(2k+1)-(2k+3)=-2
  3. בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+2k+2 מוסיפים −(2k+3)-(2k+3)
  4. בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+1k+1 מוסיפים 2k+12k+1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בסיס n=2n=2; במעבר מ-kk ל-k+2k+2 מוסיפים (2k+1)−(2k+3)=−2(2k+1)-(2k+3)=-2

הפתרון:

n=2: 1−3=−2\begin{aligned}n &= 2: \ 1-3 \\ &= -2\end{aligned}

בסיס

−k+(2k+1)−(2k+3)=−k−2=−(k+2)\begin{aligned}-k+(2k+1)-(2k+3) &= -k-2 \\ &= -(k+2)\end{aligned}

צעד של 2

הנכונה: בסיס 22 וצעד של 22, עם שני מחוברים. מי שמוסיף רק −(2k+3)-(2k+3) שכח את המחובר החיובי 2k+12k+1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לפי 11⋅4+14⋅7+⋯+1(3n−2)(3n+1)=n3n+1\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\dots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{n}{3n+1}, חשבו את 11⋅4+14⋅7+⋯+128⋅31\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\dots+\frac{1}{28 \cdot 31}. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.32

הפתרון:

3n+1=31 ⇒ n=10\begin{aligned}3n+1 &= 31 \ \Rightarrow \ n \\ &= 10\end{aligned}

המחובר האחרון

1031≈0.32\frac{10}{31} \approx 0.32

הנוסחה

מוצאים את nn מהמכנה של המחובר האחרון. המלכודת: n=28n=28.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: הסדרה a1=1a_1=1, an+1=an+2na_{n+1}=a_n+2^n מקיימת an=2n−1a_n=2^n-1 לכל nn טבעי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a1=1=21−1\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ &= 2^1-1\end{aligned}

בסיס

ak+1=2k−1+2k=2k+1−1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2^k-1+2^k \\ &= 2^{k+1}-1\end{aligned}

צעד

הטענה נכונה. בכלל עבור n=kn=k מוסיפים 2k2^k, לא 2k+12^{k+1}. זו אותה סדרה של הסכום 1+2+⋯+2n−11+2+\dots+2^{n-1}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הטענה: לכל n≥2n \geq 2, (1−122)(1−132)⋯(1−1n2)=n+12n\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}. השלימו. את המכפלה כתבו כמספר עשרוני.

הבסיס: n=n= ____ ; (1−14)(1−19)⋯(1−1100)=\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{100}\right)= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הבסיס: n=n= 2 ; (1−14)(1−19)⋯(1−1100)=\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{100}\right)= 0.55

הפתרון:

n=2: 1−14=34=32⋅2\begin{aligned}n &= 2: \ 1-\frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= \frac{3}{2 \cdot 2}\end{aligned}

הבסיס הוא n=2n=2

n=10: 1120=0.55\begin{aligned}n &= 10: \ \frac{11}{20} \\ &= 0.55\end{aligned}

1100=1102\frac{1}{100}=\frac{1}{10^2}

המכפלה מתחילה ב-22, ולכן הבסיס n=2n=2. ו-1100\frac{1}{100} הוא 1102\frac{1}{10^2}, כלומר n=10n=10 ולא n=100n=100.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

Sn=3n−1S_n=3^n-1 הוא סכום nn האיברים הראשונים של סדרה. מהו ana_n?

  1. an=2⋅3na_n=2 \cdot 3^n
  2. an=3n−1a_n=3^n-1
  3. an=3n−1a_n=3^{n-1}
  4. an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1}

הפתרון:

a1=S1=2\begin{aligned}a_1 &= S_1 \\ &= 2\end{aligned}

האיבר הראשון

an=(3n−1)−(3n−1−1)=3n−1(3−1)\begin{aligned}a_n &= \left(3^n-1\right)-\left(3^{n-1}-1\right) \\ &= 3^{n-1}(3-1)\end{aligned}

עבור n≥2n \geq 2

הנכונה: 2⋅3n−12 \cdot 3^{n-1}, והיא מתאימה גם ל-a1=2a_1=2. 3n−13^n-1 הוא הסכום, לא האיבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת