סדרה 3 — לקראת הבגרות

תרגיל 1

נתונה הטענה: $1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ לכל $n$ טבעי. א. חשבו את אגף שמאל עבור $n=3$, ובדקו שהוא שווה לאגף ימין.

תרגיל 2

נתונה הטענה: $1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ לכל $n$ טבעי. ב. השלימו את שלב ההוכחה.

$(k-1) \cdot 2^{k+1}+2+(k+1) \cdot 2^{k+1}=$ ____ $k \cdot 2^{k+1}+2=k \cdot 2^{k+}$ ____ $+2$

תרגיל 3

נתונה הטענה: $1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+3 \cdot 2^3+\dots+n \cdot 2^n=(n-1) \cdot 2^{n+1}+2$ לכל $n$ טבעי. ג. עבור איזה $n$ הסכום $1 \cdot 2+2 \cdot 2^2+\dots+n \cdot 2^n$ שווה ל-$1538$?

תרגיל 4

נתון: $3+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2}$ לכל $n$ טבעי. א. מצאו את $a$.

תרגיל 5

נתון: $3+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2}$ לכל $n$ טבעי. ב. בשלב ההוכחה מתקבל $\frac{3^{k+1}-3}{2}+3^{k+1}$. למה הוא שווה?

1. א$\frac{3^{k+2}-3}{2}$
2. ב$\frac{3^{2k+2}-3}{2}$
3. ג$\frac{3^{k+2}-3}{4}$
4. ד$\frac{2 \cdot 3^{k+1}-3}{2}$

תרגיל 6

נתון: $3+3^2+3^3+\dots+3^n=\frac{3^{n+1}+a}{2}$ לכל $n$ טבעי. ג. חשבו את $3+3^2+\dots+3^6$.

תרגיל 7

סדרה מוגדרת על ידי $a_1=1$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$. א. חשבו את $a_2$ ואת $a_3$, ורשמו את המכנים.

$a_2=\frac{1}{b}$ עם $b=$ ____ ; $a_3=\frac{1}{c}$ עם $c=$ ____

תרגיל 8

סדרה מוגדרת על ידי $a_1=1$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}$. ב. הוכיחו באינדוקציה ש-$a_n=\frac{1}{2n-1}$, ומצאו איזה איבר שווה ל-$\frac{1}{99}$.

$a_{k+1}=\frac{1/(2k-1)}{2/(2k-1)+1}=\frac{1}{2k+}$ ____ ; $a_n=\frac{1}{99}$ עבור $n=$ ____

תרגיל 9

תלמיד טוען: $1+2+4+\dots+2^{n-1}=n^2-n+1$ לכל $n$ טבעי. א. בדקו את הטענה עבור $n=1$, $n=2$ ו-$n=3$. הוכיחו או הפריכו: הטענה נכונה בשלושת המקרים האלה.

תרגיל 10

תלמיד טוען: $1+2+4+\dots+2^{n-1}=n^2-n+1$ לכל $n$ טבעי. ב. מהו ה-$n$ הקטן ביותר שעבורו הטענה נכשלת?