תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: סכומים, מכפלות, נוסחה מפורשת לכלל נסיגה, פרמטר, ושגיאה בהוכחה. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

לפי 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}, חשבו את 1+2+3+⋯+1001+2+3+\dots+100.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5050

הפתרון:

100⋅1012=5050\frac{100 \cdot 101}{2}=5050

n=100n=100

מאה מחוברים, ולכן n=100n=100. המלכודת: לשכוח לחלק ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הטענה: 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\dots+(2n-1)=n^2. מה צריך להוכיח עבור n=k+1n=k+1?

  1. 1+3+⋯+(2k−1)=(k+1)21+3+\dots+(2k-1)=(k+1)^2
  2. 1+3+⋯+2k=(k+1)21+3+\dots+2k=(k+1)^2
  3. 1+3+⋯+(2k+1)=k2+11+3+\dots+(2k+1)=k^2+1
  4. 1+3+⋯+(2k+1)=(k+1)21+3+\dots+(2k+1)=(k+1)^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 1+3+⋯+(2k+1)=(k+1)21+3+\dots+(2k+1)=(k+1)^2

הפתרון:

2(k+1)−1=2k+12(k+1)-1=2k+1

המחובר האחרון

(k+1)2(k+1)^2

אגף ימין

הנכונה: 1+⋯+(2k+1)=(k+1)21+\dots+(2k+1)=(k+1)^2. מציבים k+1k+1 בשני האגפים. k2+1k^2+1 מוסיף 11 במקום להציב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an+2n+1a_{n+1}=a_n+2n+1. מצאו את a7a_7.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 49

הפתרון:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 491,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49

מוסיפים 3,5,7,…3, 5, 7, \dots

an=n2 ⇒ a7=49\begin{aligned}a_n &= n^2 \ \Rightarrow \ a_7 \\ &= 49\end{aligned}

הנוסחה שהוכחנו

בצעד מ-ana_n ל-an+1a_{n+1} מוסיפים 2n+12n+1: מ-a1a_1 מוסיפים 33, לא 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

הטענה: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31 \cdot 2+2 \cdot 3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}. בשלב ההוכחה מוציאים גורם משותף. השלימו.

k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+c)3\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+c)}{3} עם c=c= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k(k+1)(k+2)3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+c)3\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+c)}{3} עם c=c= 3

הפתרון:

(k+1)(k+2)[k3+1]=(k+1)(k+2)(k+3)3(k+1)(k+2)\left[\frac{k}{3}+1\right]=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}

גורם משותף

n=k+1: (k+1)(k+2)(k+3)3n=k+1: \ \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}

המטרה

שני גורמים משותפים יחד, (k+1)(k+2)(k+1)(k+2). מי שפותח את כל הסוגריים מקבל פולינום ממעלה שלישית שקשה לפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שלב ההוכחה של (1+11)(1+12)⋯(1+1n)=n+1\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=n+1. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

(1+11)⋯(1+1k)=k+1\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k}\right)=k+1
(1+11)⋯(1+1k+1)=(k+1)+(1+1k+1)\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)+\left(1+\frac{1}{k+1}\right)
=(k+1)⋅k+2k+1=(k+1) \cdot \frac{k+2}{k+1}
=k+2=k+2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (1+11)⋯(1+1k+1)=(k+1)+(1+1k+1)\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)+\left(1+\frac{1}{k+1}\right) → (1+11)⋯(1+1k+1)=(k+1)(1+1k+1)\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{k+1}\right)=(k+1)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)

הפתרון:

Pk+1=Pk⋅(1+1k+1)P_{k+1}=P_k \cdot \left(1+\frac{1}{k+1}\right)

במכפלה כופלים בגורם החדש

בסכום מוסיפים את האיבר החדש; במכפלה כופלים בו. השורה הבאה כבר כתובה ככפל, ולכן היא לא נובעת מהשורה השגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ידוע ש-1+5+9+⋯+(4n−3)=n(2n+c)1+5+9+\dots+(4n-3)=n(2n+c) לכל nn טבעי. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

n=1: 1=2+c ⇒ c=−1\begin{aligned}n &= 1: \ 1 \\ &= 2+c \ \Rightarrow \ c \\ &= -1\end{aligned}

מציבים

n=2: 1+5=6=2⋅3\begin{aligned}n &= 2: \ 1+5 \\ &= 6 \\ &= 2 \cdot 3\end{aligned}

בדיקה

מציבים n=1n=1 ובודקים ב-n=2n=2. המלכודת: c=1c=1, מסימן שגוי בהעברת אגף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: הסדרה a1=2a_1=2, an+1=2an−1a_{n+1}=2a_n-1 מקיימת an=2n−1+1a_n=2^{n-1}+1 לכל nn טבעי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a1=20+1=2\begin{aligned}a_1 &= 2^0+1 \\ &= 2\end{aligned}

בסיס

ak+1=2(2k−1+1)−1=2k+1\begin{aligned}a_{k+1} &= 2\left(2^{k-1}+1\right)-1 \\ &= 2^k+1\end{aligned}

צעד

הטענה נכונה. 2⋅2k−1=2k2 \cdot 2^{k-1}=2^k, וזו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1. המלכודת: 20=02^0=0 במקום 11, ואז הבסיס «נכשל».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

הוכיחו באינדוקציה: לכל n≥2n \geq 2, (1−122)(1−132)⋯(1−1n2)=n+12n\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}.

  • nn מספר טבעי, n≥2n \geq 2

(1−122)⋯(1−1n2)=n+12n\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{n+1}{2n}

להציג את התשובה והפתרון
  1. 1−14=34=2+12⋅21-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2 \cdot 2} — בדיקה עבור n=2n=2
  2. (1−122)⋯(1−1k2)=k+12k\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{k+1}{2k} — הנחת האינדוקציה
  3. (1−122)⋯(1−1(k+1)2)=k+12k⋅k(k+2)(k+1)2\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{(k+1)^2}\right)=\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} — כופלים בגורם החדש: 1−1(k+1)2=k(k+2)(k+1)21-\frac{1}{(k+1)^2}=\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}
  4. (1−122)⋯(1−1(k+1)2)=k+22(k+1)\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{(k+1)^2}\right)=\frac{k+2}{2(k+1)} — צמצום: זו הטענה עבור n=k+1n=k+1

הפתרון:

(k+1)2−1=k(k+2)(k+1)^2-1=k(k+2)

הפרש ריבועים

k+12k⋅k(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}=\frac{k+2}{2(k+1)}

צמצום

הבסיס הוא n=2n=2, כי המכפלה מתחילה ב-122\frac{1}{2^2}. המלכודת: לבדוק n=1n=1, שבו הטענה לא מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הטענה 1⋅3+2⋅4+⋯+n(n+2)=n(n+1)(2n+7)61 \cdot 3+2 \cdot 4+\dots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6} הוכחה בפרק. חשבו בעזרתה את 1⋅3+2⋅4+⋯+20⋅221 \cdot 3+2 \cdot 4+\dots+20 \cdot 22.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3290

הפתרון:

n(n+2)=20⋅22 ⇒ n=20\begin{aligned}n(n+2) &= 20 \cdot 22 \ \Rightarrow \ n \\ &= 20\end{aligned}

המחובר האחרון

20⋅21⋅476=3290\frac{20 \cdot 21 \cdot 47}{6}=3290

הנוסחה

2n+7=472n+7=47 עבור n=20n=20. המלכודת: להציב n=22n=22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרה מוגדרת על ידי a1=1a_1=1, an+1=an+3na_{n+1}=a_n+3n. הוכיחו באינדוקציה ש-an=3n2−3n+22a_n=\frac{3n^2-3n+2}{2}, ומצאו את a20a_{20}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 571

הפתרון:

a1=3−3+22=1\begin{aligned}a_1 &= \frac{3-3+2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

בסיס

3k2−3k+22+3k=3k2+3k+22\frac{3k^2-3k+2}{2}+3k=\frac{3k^2+3k+2}{2}

צעד: כלל הנסיגה עבור n=kn=k

3(k+1)2−3(k+1)+2=3k2+3k+23(k+1)^2-3(k+1)+2=3k^2+3k+2

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1

a20=1200−60+22=571\begin{aligned}a_{20} &= \frac{1200-60+2}{2} \\ &= 571\end{aligned}

הצבה

בצעד מוסיפים 3k3k, לא 3(k+1)3(k+1). ובסוף: הנוסחה חוסכת תשעה-עשר צעדים של כלל הנסיגה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת