הפונקציה הקדומה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו קיבלתם פונקציה וחיפשתם את הנגזרת שלה. עכשיו הכיוון מתהפך: נתונה הנגזרת, ומחפשים את הפונקציה שממנה היא באה. הפונקציה הזו נקראת פונקציה קדומה.

∫xn dx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \ne -1)

מעלים את החזקה באחד, ומחלקים בחזקה החדשה — בדיוק ההפך מהגזירה.

ולמה תמיד מוסיפים +C+C? מפני שגזירה מוחקת את המספר החופשי: ל-x2x^2, ל-x2+7x^2+7 ול-x2−100x^2-100 יש בדיוק אותה נגזרת. כשחוזרים אחורה אי אפשר לדעת מה היה שם, ולכן כותבים קבוע כללי.

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\begin{aligned}\int \cos x \, dx &= \sin x + C \qquad \int \sin x \, dx \\ &= -\cos x + C\end{aligned}

שוב, שימו לב למינוס — הפעם הוא צץ אצל הסינוס.

למצוא את הקבוע

נתון f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 וידוע ש-f(1)=5f(1) = 5. מצאו את f(x)f(x).

f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C

הפונקציה הקדומה הכללית

1+C=51 + C = 5

מציבים את הנתון

C=4C = 4
f(x)=x3+4f(x) = x^3 + 4

עכשיו הפונקציה יחידה

בדיקה שלוקחת שנייה: גזרו את התשובה. אם קיבלתם בחזרה את מה שהיה בתוך האינטגרל — הפתרון נכון.

מהי ∫(4x+3) dx\int (4x + 3)\, dx?

להציג את התשובה והפתרון

2x2+3x+C2x^2 + 3x + C. בדיקה: הנגזרת של 2x2+3x2x^2+3x היא 4x+34x+3 ✓.

ולמה ∫x−1dx\int x^{-1} dx אינו x00\frac{x^0}{0}?

להציג את התשובה והפתרון

מפני שחלוקה באפס אסורה — ולכן הכלל מוגבל ל-n≠−1n \ne -1. המקרה הזה מטופל בנפרד ואינו בתוכנית של שאלון 571.

הטעות שעולה נקודה בכל שאלה.

∫3x2dx=x3\int 3x^2 dx = x^3
∫3x2dx=x3+C\int 3x^2 dx = x^3 + C

בלי +C+C התשובה אינה שלמה: יש אינסוף פונקציות קדומות, לא אחת.

תרגילים

תרגיל 1

מהי ∫3x2 dx\int 3x^2 \, dx?

  1. x33+C\frac{x^3}{3} + C
  2. x3+Cx^3 + C
  3. 6x+C6x + C
  4. 3x3+C3x^3 + C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x3+Cx^3 + C

הפתרון:

בדיקה: הנגזרת של x3x^3 היא 3x23x^2 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי ∫(4x+3) dx\int (4x + 3) \, dx?

  1. x2+3x+Cx^2 + 3x + C
  2. 2x2+3x+C2x^2 + 3x + C
  3. 2x2+3+C2x^2 + 3 + C
  4. 4x2+3x+C4x^2 + 3x + C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2x2+3x+C2x^2 + 3x + C

הפתרון:

האינטגרל הוא הפעולה ההפוכה לגזירה: מעלים את החזקה באחד ומחלקים במעריך החדש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx?

  1. −sin⁡x+C-\sin x + C
  2. cos⁡x+C\cos x + C
  3. −cos⁡x+C-\cos x + C
  4. sin⁡x+C\sin x + C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד sin⁡x+C\sin x + C

הפתרון:

האינטגרל של הקוסינוס הוא סינוס. שווה לזכור את הזוג הזה בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי ∫sin⁡x dx\int \sin x \, dx?

  1. sin⁡x+C\sin x + C
  2. −cos⁡x+C-\cos x + C
  3. cos⁡x+C\cos x + C
  4. −sin⁡x+C-\sin x + C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −cos⁡x+C-\cos x + C

הפתרון:

כאן המינוס מופיע — הפוך מהגזירה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 ו-f(1)=5f(1) = 5. מהו הקבוע CC?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C
1+C=51 + C = 5
C=4C = 4

הקבוע CC נקבע רק כשיודעים ערך אחד של הפונקציה — בלעדיו יש אינסוף פונקציות קדומות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ולפי הסעיף הקודם — מהו f(2)f(2)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

f(x)=x3+4f(x) = x^3 + 4
f(2)=8+4=12\begin{aligned}f(2) &= 8 + 4 \\ &= 12\end{aligned}

אחרי שמצאנו את CC, הפונקציה מלאה וניתן להציב בה כל מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1 ו-f(0)=3f(0) = 3. מהו f(2)f(2)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

f(x)=x2+x+Cf(x) = x^2 + x + C
C=3C = 3

מהנתון f(0)=3f(0)=3

f(2)=4+2+3=9\begin{aligned}f(2) &= 4 + 2 + 3 \\ &= 9\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לפונקציה f′(x)=2xf'(x) = 2x יש בדיוק פונקציה קדומה אחת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x2+Cx^2 + C

לכל CC

יש אינסוף — כולן נבדלות במספר חופשי בלבד. רק נתון נוסף (נקודה על הגרף) בוחר אחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו כל אינטגרל לתוצאה שלו

  • ∫2x dx\int 2x \, dx
  • ∫x3 dx\int x^3 \, dx
  • ∫5 dx\int 5 \, dx
  • ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx
  • x44+C\frac{x^4}{4} + C
  • sin⁡x+C\sin x + C
  • 5x+C5x + C
  • x2+Cx^2 + C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∫2x dx\int 2x \, dx — x2+Cx^2 + C · ∫x3 dx\int x^3 \, dx — x44+C\frac{x^4}{4} + C · ∫5 dx\int 5 \, dx — 5x+C5x + C · ∫cos⁡x dx\int \cos x \, dx — sin⁡x+C\sin x + C

הפתרון:

בכל שורה אפשר לבדוק בגזירה חוזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

∫4x dx=2x2+C\int 4x \, dx = 2x^2 + C
∫x2 dx=x33+C\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C
∫cos⁡x dx=−sin⁡x+C\int \cos x \, dx = -\sin x + C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∫cos⁡x dx=−sin⁡x+C\int \cos x \, dx = -\sin x + C → ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C

הפתרון:

המינוס שייך לאינטגרל של הסינוס, לא של הקוסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מהו המקדם של x3x^3 בפונקציה הקדומה של f′(x)=6x2f'(x) = 6x^2? (כלומר ∫6x2dx=ax3+C\int 6x^2 dx = ax^3 + C)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∫6x2dx=2x3+C\int 6x^2 dx = 2x^3 + C

המקדם עולה מהחלוקה במעריך החדש: 6 חלקי 3 נותן 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת