האינטגרל המסוים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

האינטגרל הלא מסוים מחזיר משפחת פונקציות. האינטגרל המסוים מחזיר מספר — ומחשבים אותו בשני שלבים: מוצאים פונקציה קדומה, ומחסרים את ערכיה בשני הקצוות.

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

ו-CC נעלם מעצמו: (F(b)+C)−(F(a)+C)=F(b)−F(a)(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a).

למה החיסור הזה נותן דווקא שטח? כי אפשר לכסות את השטח במלבנים דקים ולסכם אותם. ככל שהמלבנים צרים יותר, הסכום מתקרב לשטח האמיתי — והאינטגרל הוא בדיוק הגבול הזה.

חישוב מלא

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2 + 2x)\,dx.

F(x)=x3+x2F(x) = x^3 + x^2

פונקציה קדומה — בלי CC, הוא יתבטל

F(3)=27+9=36\begin{aligned}F(3) &= 27 + 9 \\ &= 36\end{aligned}
F(1)=1+1=2\begin{aligned}F(1) &= 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}
36−2=3436 - 2 = 34

זו התשובה — מספר

סדר הגבולות משנה סימן: ∫baf=−∫abf\int_b^a f = -\int_a^b f. אם קיבלתם שטח שלילי, בדקו קודם שלא החלפתם בין הגבולות.

חשבו את ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}, ולכן F(2)−F(0)=83−0=83≈2.67F(2)-F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2.67.

ומהו ∫0π2cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx?

להציג את התשובה והפתרון

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x, ולכן sin⁡π2−sin⁡0=1−0=1\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1.

הטעות הנפוצה.

F(a)−F(b)F(a) - F(b)
F(b)−F(a)F(b) - F(a)

קודם הגבול העליון. היפוך הסדר הופך את הסימן ומאבד את התשובה.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את ∫13(3x2+2x) dx\int_1^3 (3x^2 + 2x)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34

הפתרון:

F(x)=x3+x2F(x) = x^3 + x^2
F(3)−F(1)=36−2=34\begin{aligned}F(3) - F(1) &= 36 - 2 \\ &= 34\end{aligned}

אינטגרל מסוים הוא הפרש: הפונקציה הקדומה בגבול העליון פחות בגבול התחתון. הקבוע CC מתבטל תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx. (עגלו ל-3 ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.667

הפתרון:

F(x)=x33F(x) = \frac{x^3}{3}
83−0≈2.667\frac{8}{3} - 0 \approx 2.667

אותה מכניקה. שימו לב שהגבול התחתון 0 אינו «אפס אוטומטי» — צריך להציב אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את ∫01(2x+1) dx\int_0^1 (2x + 1)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

F(x)=x2+xF(x) = x^2 + x
F(1)−F(0)=2−0=2\begin{aligned}F(1) - F(0) &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

מוצאים קדומה, מציבים שני גבולות, מחסרים. שלושה שלבים קבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חשבו את ∫0π2cos⁡x dx\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x
1−0=11 - 0 = 1

הקדומה של הקוסינוס היא סינוס, ובגבולות האלה ההפרש יוצא בדיוק 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את ∫−22(4−x2) dx\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx. (עגלו ל-3 ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.667

הפתרון:

F(x)=4x−x33F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}
F(2)−F(−2)=163+163=323\begin{aligned}F(2) - F(-2) &= \frac{16}{3} + \frac{16}{3} \\ &= \frac{32}{3}\end{aligned}

הגבול התחתון שלילי — כשמציבים אותו בחזקה אי-זוגית, הסימן מתהפך ושני האיברים מצטברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את ∫126x dx\int_1^2 6x\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

F(x)=3x2F(x) = 3x^2
12−3=912 - 3 = 9

קדומה, הצבה, חיסור. גם כשהפונקציה פשוטה, הסדר לא משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

תוצאת אינטגרל מסוים היא פונקציה של xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)

שני מספרים

זהו מספר. ה-xx נעלם ברגע שמציבים את הגבולות — הוא רק משתנה עזר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מתקיים ∫31f(x)dx=−∫13f(x)dx\int_3^1 f(x)dx = -\int_1^3 f(x)dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

F(1)−F(3)=−(F(3)−F(1))F(1)-F(3) = -(F(3)-F(1))

החלפת הגבולות הופכת את הסימן — תכונה שימושית כשמפצלים תחומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון ∫04f(x)dx=10\int_0^4 f(x)dx = 10 ו-∫02f(x)dx=3\int_0^2 f(x)dx = 3. מהו ∫24f(x)dx\int_2^4 f(x)dx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

∫04=∫02+∫24\int_0^4 = \int_0^2 + \int_2^4

תכונת הפיצול

10=3+x⇒x=7\begin{aligned}10 &= 3 + x \Rightarrow x \\ &= 7\end{aligned}

אפשר לפצל אינטגרל לפי נקודת ביניים — ולחבר בחזרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את שלבי חישוב האינטגרל המסוים

  • מוצאים פונקציה קדומה F(x)F(x)
  • מחסרים: F(b)−F(a)F(b) - F(a)
  • מציבים את הגבול העליון: F(b)F(b)
  • מציבים את הגבול התחתון: F(a)F(a)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מוצאים פונקציה קדומה F(x)F(x) · מציבים את הגבול העליון: F(b)F(b) · מציבים את הגבול התחתון: F(a)F(a) · מחסרים: F(b)−F(a)F(b) - F(a)

הפתרון:

הסדר חשוב — בעיקר בשלב האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

השלימו את חישוב ∫132x dx\int_1^3 2x\,dx

F(3)=F(3) = ____ , F(1)=F(1) = ____ , והתוצאה היא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(3)=F(3) = 9 , F(1)=F(1) = 1 , והתוצאה היא 8

הפתרון:

F(x)=x2F(x) = x^2
9−1=89 - 1 = 8

שתי שורות: קודם הקדומה, ואז ההפרש בין שני הגבולות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת