חישוב שטחים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

האינטגרל המסוים נותן שטח — אבל עם סימן. מעל ציר ה-xx הוא חיובי, ומתחתיו שלילי. שטח, לעומת זאת, הוא תמיד גודל חיובי. כל הפרק הזה הוא ניהול נכון של ההבדל.

11

הגרף מעל הציר בכל התחום — השטח הוא בדיוק האינטגרל.

22

הגרף מתחת לציר — האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

33

הגרף חוצה את הציר — מפצלים בנקודת החיתוך, מחשבים כל חלק בנפרד, ומחברים ערכים מוחלטים.

ולשטח בין שני גרפים יש נוסחה אחת שמכסה הכול: מחסרים את הפונקציה התחתונה מהעליונה, ומאנטגרלים בין נקודות המפגש.

S=∫ab(fעליונה(x)−fתחתונה(x)) dxS = \int_a^b \big(f_{\text{עליונה}}(x) - f_{\text{תחתונה}}(x)\big)\,dx

ההפרש תמיד אי-שלילי בתחום שבין החיתוכים — ולכן אין כאן בעיית סימן.

שטח בין שני גרפים

מצאו את השטח הכלוא בין y=xy = x ל-y=x2y = x^2.

x=x2⇒x=0 x=1\begin{aligned}x &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 1\end{aligned}

נקודות המפגש — הגבולות

x>x2 בתחום (0,1)x > x^2 \ \text{בתחום} \ (0,1)

הישר למעלה

∫01(x−x2)dx=12−13\int_0^1 (x - x^2)dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
S=16S = \frac{1}{6}

איך יודעים מי למעלה? מציבים נקודה אחת מתוך התחום בשתי הפונקציות ומשווים. שנייה של עבודה שמונעת סימן הפוך בכל השאלה.

מהו השטח הכלוא בין y=4−x2y = 4 - x^2 לציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

נקודות החיתוך: x=±2x = \pm 2. הפרבולה מעל הציר ביניהן, ולכן S=∫−22(4−x2)dx=323≈10.67S = \int_{-2}^{2}(4-x^2)dx = \frac{32}{3} \approx 10.67.

ומהו השטח הכלוא בין y=x2−4y = x^2 - 4 לציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

אותו שטח בדיוק — 323\frac{32}{3}. הפרבולה הזו היא השיקוף של הקודמת, וכולה מתחת לציר; האינטגרל ייתן −323-\frac{32}{3}, והשטח הוא הערך המוחלט.

הטעות שמופיעה כמעט תמיד.

S=−323S = -\frac{32}{3}
S=323S = \frac{32}{3}

שטח שלילי אינו קיים. כשהגרף מתחת לציר — לוקחים ערך מוחלט.

∫−33x3dx=0⇒S=0\begin{aligned}\int_{-3}^{3} x^3 dx &= 0 \Rightarrow S \\ &= 0\end{aligned}
S=2∫03x3dxS = 2\int_0^3 x^3 dx

האינטגרל התאפס כי החלקים ביטלו זה את זה. השטח אינו אפס — חייבים לפצל בנקודת החיתוך.

תרגילים

תרגיל 1

מהו השטח הכלוא בין y=4−x2y = 4 - x^2 לציר ה-xx? (עגלו ל-3 ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.667

הפתרון:

4−x2=0⇒x=±2\begin{aligned}4 - x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

הגבולות

∫−22(4−x2)dx=323\int_{-2}^{2}(4-x^2)dx = \frac{32}{3}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו השטח הכלוא בין y=x2−4y = x^2 - 4 לציר ה-xx? (עגלו ל-3 ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.667

הפתרון:

∫−22(x2−4)dx=−323\int_{-2}^{2}(x^2-4)dx = -\frac{32}{3}

הגרף מתחת לציר

S=∣−323∣=323\begin{aligned}S &= \left|-\frac{32}{3}\right| \\ &= \frac{32}{3}\end{aligned}

ערך מוחלט

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו השטח הכלוא בין y=xy = x ל-y=x2y = x^2? (עגלו ל-4 ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1667

הפתרון:

x=x2⇒x=01\begin{aligned}x &= x^2 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ 1\end{aligned}
∫01(x−x2)dx=16\int_0^1 (x - x^2)dx = \frac{1}{6}

שטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של ההפרש — העליון פחות התחתון. קודם מוצאים איפה הם נפגשים, כי שם הגבולות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו השטח מתחת ל-y=x2y = x^2 בין x=0x=0 ל-x=3x=3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

∫03x2dx=273=9\begin{aligned}\int_0^3 x^2 dx &= \frac{27}{3} \\ &= 9\end{aligned}

כשהגרף מעל הציר, האינטגרל הוא השטח, בלי טיפול נוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו השטח מתחת ל-y=x3y = x^3 בין x=0x=0 ל-x=2x=2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

F(x)=x44F(x) = \frac{x^4}{4}
164−0=4\frac{16}{4} - 0 = 4

אותו מקרה: הפונקציה חיובית בתחום, ולכן האינטגרל נותן ישירות את השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון שהגרף של ff נמצא כולו מתחת לציר ה-xx בתחום, ו-∫15f(x)dx=−12\int_1^5 f(x)dx = -12. מהו השטח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

S=∣−12∣=12\begin{aligned}S &= |-12| \\ &= 12\end{aligned}

מתחת לציר האינטגרל יוצא שלילי — אבל שטח אינו שלילי לעולם. לוקחים ערך מוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

איך מחשבים שטח בין שני גרפים?

  1. ∫ab(תחתונה−עליונה)dx\int_a^b (\text{תחתונה} - \text{עליונה})dx
  2. ∫abf⋅g dx\int_a^b f \cdot g \, dx
  3. ∫ab(עליונה−תחתונה)dx\int_a^b (\text{עליונה} - \text{תחתונה})dx
  4. ∫ab(f+g)dx\int_a^b (f + g)dx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג ∫ab(עליונה−תחתונה)dx\int_a^b (\text{עליונה} - \text{תחתונה})dx

הפתרון:

ההפרש בסדר הזה אי-שלילי בין נקודות המפגש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אם ∫abf(x)dx=0\int_a^b f(x)dx = 0 אז השטח בין הגרף לציר הוא אפס.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∫−33x3dx=0\int_{-3}^{3} x^3 dx = 0
S=2∫03x3dx>0S = 2\int_0^3 x^3 dx > 0

החלקים שמעל ומתחת לציר ביטלו זה את זה בחישוב. השטח מחייב פיצול וערכים מוחלטים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהן נקודות המפגש של y=xy=x ו-y=x2y=x^2? כתבו את ה-xx הגדול מביניהן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x=x2⇒x(x−1)=0\begin{aligned}x &= x^2 \Rightarrow x(x-1) \\ &= 0\end{aligned}
x=0 או x=1\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 1\end{aligned}

נקודות המפגש הן פתרונות המשוואה f=gf = g. הן גם הגבולות של האינטגרל בשאלה הבאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סדרו את שלבי חישוב השטח בין שני גרפים

  • בודקים מי מהן למעלה בתחום
  • התוצאה היא השטח
  • מאנטגרלים את ההפרש בין הגבולות
  • משווים בין הפונקציות ומוצאים את נקודות המפגש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: משווים בין הפונקציות ומוצאים את נקודות המפגש · בודקים מי מהן למעלה בתחום · מאנטגרלים את ההפרש בין הגבולות · התוצאה היא השטח

הפתרון:

הבדיקה של מי למעלה היא השלב שמדלגים עליו — ומשלמים בסימן הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

האם התוצאה יכולה לצאת שלילית?

  • יכול לצאת שלילי
  • תמיד אי-שלילי
  • F(b)−F(a)F(b) - F(a)
  • אינטגרל מסוים
  • ערך מוחלט של אינטגרל
  • שטח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אינטגרל מסוים — יכול לצאת שלילי · שטח — תמיד אי-שלילי · F(b)−F(a)F(b) - F(a) — יכול לצאת שלילי · ערך מוחלט של אינטגרל — תמיד אי-שלילי

הפתרון:

זה כל הלקח של הפרק: אינטגרל הוא מספר עם סימן, שטח הוא גודל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

השלימו עבור y=4−x2y = 4-x^2 וציר ה-xx

נקודות החיתוך הן x=±x = \pm ____ , והשטח הוא בערך ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נקודות החיתוך הן x=±x = \pm 2 , והשטח הוא בערך 10.67

הפתרון:

4−x2=04 - x^2 = 0
S=323≈10.67S = \frac{32}{3} \approx 10.67

קודם הגבולות מתוך נקודות האפס, ואז האינטגרל ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת