פותרים יחד · חשבון אינטגרלי · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון פרק 4 של הבגרות: שטח בין שני גרפים, שטח מורכב עם משיק, פרמטר שנמצא משטח, ופונקציה קדומה שעוברת בנקודה נתונה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בכל שאלת שטח שלושה צעדים קבועים: גבולות (נקודות החיתוך), מי למעלה (מציבים נקודה אחת מהתחום), ורק אז אינטגרל של העליון פחות התחתון.

1 — שטח בין שני גרפים

f(x) = x² − 2x ו-g(x) = 4 − x²

שני הגרפים נפגשים ב-

x=-1

וב-

x=2

. בין שתי הנקודות

g

מעל

f

פעילות אינטראקטיבית

נתונות $f(x)=x^2-2x$ ו- $g(x)=4-x^2$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים. ב. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

\begin{aligned}f(x) &= x^2-2x \\ \quad g(x) &= 4-x^2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הגבולות של האינטגרל הם נקודות החיתוך, לא נקודות החיתוך עם הצירים.

א. חיתוך

\begin{aligned}x^2-2x &= 4-x^2 \ \Rightarrow \ 2x^2-2x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2-x-2 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומסדרים.

א. נקודות

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 2 \qquad (-1,\,3) \\ \ (2,\,0)\end{aligned}

שיעורי ה- $y$ מאחת הפונקציות.

ב. מי למעלה

\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= 4>f(0) \\ &= 0\end{aligned}

בכל התחום $g$ מעל $f$ .

ב. אינטגרל

\int_{-1}^{2} \left[(4-x^2)-(x^2-2x)\right] dx=\int_{-1}^{2} (4+2x-2x^2)\,dx

העליון פחות התחתון, בסוגריים.

ב. קדומה

\Big[4x+x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{20}{3}-\left(-\tfrac{7}{3}\right)

מציבים את הגבול העליון ומחסרים את התחתון.

ב. השטח

S=9

יחידות שטח.

שימו לב: חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה- $x$ (שם $f<0$ ). זה לא משנה דבר — ההפרש $g-f$ חיובי בכל התחום.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם צריך לחלק את האינטגרל ב- $x=0$ , שם $f$ חותכת את ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. בשטח בין שני גרפים מה שקובע הוא הסימן של $g-f$ , לא הסימן של כל פונקציה לבד. חלוקה נדרשת רק אם הגרפים מחליפים מקום.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — שטח מורכב: גרף, משיק וישר

f(x) = 4/x² והמשיק ב-x = 2

המשיק נוגע בגרף ב-

(2,\,1)

. השטח המבוקש נמצא בין הגרף, המשיק והישר

x=1

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{4}{x^2}$ . א. מצאו את משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=2$ . ב. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק והישר $x=1$ .

\begin{aligned}f(x) &= \frac{4}{x^2} \\ &= 4x^{-2}\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כותבים את $f$ כחזקה שלילית: כך קל לגזור וגם קל למצוא קדומה.

א. נקודה

\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}

נקודת ההשקה $(2,\,1)$ .

א. שיפוע

\begin{aligned}f'(x) &= -8x^{-3} \\ &= -\frac{8}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= -1\end{aligned}

כלל החזקה.

א. משיק

\begin{aligned}y-1 &= -(x-2) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3-x\end{aligned}

נקודה ושיפוע.

ב. מי למעלה

\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= 4>3-1 \\ &= 2\end{aligned}

הגרף מעל המשיק בין $x=1$ ל- $x=2$ .

ב. אינטגרל

\int_{1}^{2} \left[\frac{4}{x^2}-(3-x)\right] dx=\Big[-\frac{4}{x}-3x+\frac{x^2}{2}\Big]_{1}^{2}

הקדומה של $4x^{-2}$ היא $-4x^{-1}$ .

ב. השטח

\begin{aligned}(-2-6+2)-\left(-4-3+\tfrac{1}{2}\right) &= -6+6.5 \\ &= 0.5\end{aligned}

השטח: $0.5$ .

הגבולות: $x=1$ (הישר הנתון) ו- $x=2$ (נקודת ההשקה). הגרף קמור, ולכן הוא מעל כל משיק שלו — הבדיקה בנקודה אחת מאשרת זאת.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה הקדומה של $\frac{4}{x^2}$ אינה $\frac{4}{3x^3}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $\frac{4}{x^2}=4x^{-2}$ , ומעלים את החזקה ב- $1$ : $-2+1=-1$ . מקבלים $\frac{4x^{-1}}{-1}=-\frac{4}{x}$ . $\frac{4}{3x^3}$ «העלה» את החזקה שבמכנה, וזה הכיוון ההפוך.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר שנמצא משטח

פעילות אינטראקטיבית

השטח ידוע — מה הגבול?

השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$ , הצירים והישר $x=k$ (כאשר $k>0$ ) שווה ל- $1.5$ . מצאו את $k$ .

$k=3$

$k=\frac{1}{3}$

$k=0.75$

$k=2$

מה הקדומה של $\frac{2}{(x+1)^2}$ ?

$-\frac{2}{x+1}$

להציג את התשובה והפתרון

$2(x+1)^{-2}$ נותן $\frac{2(x+1)^{-1}}{-1}$ . הנגזרת הפנימית היא $1$ .

$\frac{2}{3(x+1)^3}$

להציג את התשובה והפתרון

החזקה היא $-2$ , ומעלים אותה ל- $-1$ , לא ל- $-3$ .

\int \frac{2}{(x+1)^2}\,dx=-\frac{2}{x+1}+C

בדיקה: $\left(-2(x+1)^{-1}\right)'=2(x+1)^{-2}$ ✓

איך כותבים את השטח?

$\int_0^k \frac{2}{(x+1)^2}\,dx$

להציג את התשובה והפתרון

ציר ה- $y$ הוא $x=0$ , והפונקציה חיובית.

$\int_{-1}^k \frac{2}{(x+1)^2}\,dx$

להציג את התשובה והפתרון

$x=-1$ היא אסימפטוטה, לא ציר. השטח מוגבל על ידי ציר ה- $y$ .

\Big[-\frac{2}{x+1}\Big]_0^k=2-\frac{2}{k+1}

מציבים את שני הגבולות.

איך פותרים?

משווים ל- $1.5$

להציג את התשובה והפתרון

המשוואה בנעלם $k$ .

גוזרים לפי $k$ ומשווים לאפס

להציג את התשובה והפתרון

לא מחפשים כאן קיצון: השטח נתון.

\begin{aligned}2-\frac{2}{k+1} &= 1.5 \ \Rightarrow \ \frac{2}{k+1} \\ &= 0.5 \ \Rightarrow \ k+1 \\ &= 4\end{aligned}

$k=3$ , ו- $k>0$ ✓

להציג את התשובה והפתרון

$k=3$ . מי שבחר $\int_{-1}^{k}$ נתקע: האינטגרל לא מוגדר, כי $x=-1$ היא אסימפטוטה. בדיקה מהירה: גם כש- $k$ גדל מאוד, השטח קטן מ- $2$ . לכן $1.5$ אפשרי, ו- $2.5$ לא היה אפשרי.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם יש $k>0$ שעבורו השטח שווה ל- $2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. $2-\frac{2}{k+1}<2$ לכל $k>0$ . השטח מתקרב ל- $2$ כש- $k$ גדל, אבל לא מגיע אליו.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — פונקציה קדומה שעוברת בנקודה, ואז שטח

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=1-\frac{4}{x^2}$ , בתחום $x>0$ . הפונקציה $F$ מקיימת $F'(x)=f(x)$ , והגרף של $F$ עובר בנקודה $(1,\,6)$ . א. מצאו את $F(x)$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון של $F$ וקבעו את סוגה. ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=4$ .

\begin{aligned}F'(x) &= 1-\frac{4}{x^2} \\ \quad F(1) &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנקודה הנתונה קובעת את הקבוע $C$ .

א. קדומה

F(x)=x+\frac{4}{x}+C

הקדומה של $-4x^{-2}$ היא $+4x^{-1}$ .

א. הקבוע

\begin{aligned}F(1) &= 1+4+C \\ &= 6 \ \Rightarrow \ C \\ &= 1\end{aligned}

לכן $F(x)=x+\frac{4}{x}+1$ .

ב. חשודה

\begin{aligned}F'(x) &= f(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

רק $x=2$ בתחום $x>0$ .

ב. סוג

\begin{aligned}f(1) &= -3<0 \\ \quad f(3) &= \tfrac{5}{9}>0 \ \Rightarrow \ \min (2,\,5)\end{aligned}

$F(2)=2+2+1=5$ .

ג. גבולות

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

השטח בין $x=2$ ל- $x=4$ , ושם $f \geq 0$ .

ג. השטח

\begin{aligned}\int_2^4 f(x)\,dx &= F(4)-F(2) \\ &= 6-5 \\ &= 1\end{aligned}

יש כבר קדומה — משתמשים בה.

סעיף ג נפתר בשורה אחת בזכות סעיף א: האינטגרל של $f$ הוא הפרש ערכים של הקדומה $F$ . הקבוע $C$ מתבטל בחיסור.

לעשות את הפעילות ב-elev

איך אפשר לדעת מהגרף של $F$ בלבד איפה $f$ חותכת את ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

במקום שבו ל- $F$ יש נקודת קיצון: שם $F'=f=0$ . כאן זה $x=2$ , המינימום של $F$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 בודקת את התחום של האינטגרל.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של $f(x)=x^2$ ו- $g(x)=8-x^2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.33

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 &= 8-x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

נקודות החיתוך

\begin{aligned}x &= 0: \ g(0) \\ &= 8>f(0) \\ &= 0\end{aligned}

$g$ למעלה

\begin{aligned}\int_{-2}^{2} (8-2x^2)\,dx &= \Big[8x-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_{-2}^{2} \\ &= \tfrac{64}{3}\end{aligned}

העליון פחות התחתון

\tfrac{64}{3} \approx 21.33

השטח

בחישוב $\Big[\ \Big]_{-2}^{2}$ הגבול התחתון שלילי: $-\left(8 \cdot (-2)-\tfrac{2}{3}(-8)\right)=+\tfrac{32}{3}$ . טעות סימן כאן נותנת $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=\frac{9}{x^2}$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , המשיק לגרף בנקודה שבה $x=3$ , והישר $x=1$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.67

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 1 \\ \quad f'(x) &= -\frac{18}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(3) \\ &= -\tfrac{2}{3}\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y=3-\tfrac{2}{3}x

המשיק

\int_1^3 \left(\frac{9}{x^2}-3+\tfrac{2}{3}x\right) dx=\Big[-\frac{9}{x}-3x+\frac{x^2}{3}\Big]_1^3

הגרף מעל המשיק

(-3-9+3)-\left(-9-3+\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{8}{3} \approx 2.67

השטח

הגבולות הם $x=1$ ונקודת ההשקה $x=3$ . מי שלוקח את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- $x$ ( $x=4.5$ ) מחשב שטח אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

השטח המוגבל על ידי הגרף של $f(x)=\frac{3}{(x+2)^2}$ , הצירים והישר $x=k$ (כאשר $k>0$ ) שווה ל- $1$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\int_0^k \frac{3}{(x+2)^2}\,dx &= \Big[-\frac{3}{x+2}\Big]_0^k \\ &= \frac{3}{2}-\frac{3}{k+2}\end{aligned}

קדומה וגבולות

\begin{aligned}\frac{3}{2}-\frac{3}{k+2} &= 1 \ \Rightarrow \ \frac{3}{k+2} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משווים לשטח

\begin{aligned}k+2 &= 6 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

הגבול התחתון הוא $0$ (ציר ה- $y$ ), ולכן מופיע $\frac{3}{0+2}=\frac{3}{2}$ . מי ששוכח לחסר את הגבול התחתון פותר $-\frac{3}{k+2}=1$ ומקבל $k$ שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=1-\frac{9}{x^2}$ , בתחום $x>0$ . הפונקציה $F$ מקיימת $F'(x)=f(x)$ , והגרף של $F$ עובר בנקודה $(1,\,12)$ . השלימו.

המינימום של $F$ : $x=$ ____ , $F=$ ____ ; השטח בין הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=9$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המינימום של $F$ : $x=$ 3 , $F=$ 8 ; השטח בין הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישר $x=9$ : 4

הפתרון:

\begin{aligned}F(x) &= x+\frac{9}{x}+C \\ \quad 1+9+C &= 12 \ \Rightarrow \ C \\ &= 2\end{aligned}

הקדומה והקבוע

\begin{aligned}f(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \quad F(3) &= 3+3+2 \\ &= 8\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}\int_3^9 f(x)\,dx &= F(9)-F(3) \\ &= 12-8 \\ &= 4\end{aligned}

השטח, $f \geq 0$ ב- $[3,9]$

הקבוע $C$ נחוץ לערך $F(3)=8$ , אבל מתבטל בשטח. מי ששוכח את $C$ מקבל מינימום $6$ — ועדיין שטח $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx=-2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}\Big[-\frac{1}{x}\Big]_{-1}^{1} &= -1-1 \\ &= -2\end{aligned}

החישוב ה«אוטומטי»

x=0 \in [-1,\,1]

הפונקציה אינה מוגדרת ב- $x=0$

\frac{1}{x^2}>0

ואינטגרל של פונקציה חיובית לא יכול לצאת שלילי

הטענה לא נכונה. אסור להציב גבולות בקדומה כשבתוך הקטע יש אסימפטוטה. הסימן השלילי הוא הרמז: פונקציה חיובית לא נותנת אינטגרל שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — שטח בין שני גרפים

2 — שטח מורכב: גרף, משיק וישר

3 — פרמטר שנמצא משטח

4 — פונקציה קדומה שעוברת בנקודה, ואז שטח

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev