סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: פונקציה קדומה של פולינום ושל 1x2\frac{1}{x^2}, אינטגרל מסוים, קדומה שעוברת בנקודה, ושטחים פשוטים — מתחת לגרף ובין שני גרפים.

לפני כל אינטגרל: כתבו כל שבר כחזקה שלילית (4x2=4x−2\frac{4}{x^2}=4x^{-2}). ואחרי כל קדומה: גזרו אותה וודאו שחזרתם לפונקציה שבתוך האינטגרל.

תרגילים

תרגיל 1

מהי ∫4x2 dx\int \frac{4}{x^2}\,dx?

  1. 43x3+C\frac{4}{3x^3}+C
  2. 4x+C\frac{4}{x}+C
  3. −8x3+C-\frac{8}{x^3}+C
  4. −4x+C-\frac{4}{x}+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −4x+C-\frac{4}{x}+C

הפתרון:

∫4x−2 dx=4x−1−1+C\int 4x^{-2}\,dx=\frac{4x^{-1}}{-1}+C

מעלים את החזקה ב-11

=−4x+C=-\frac{4}{x}+C

בדיקה: (−4x−1)′=4x−2(-4x^{-1})'=4x^{-2} ✓

הנכונה: −4x+C-\frac{4}{x}+C. −8x3-\frac{8}{x^3} היא נגזרת של 4x2\frac{4}{x^2}, לא קדומה. 4x\frac{4}{x} שכחה שמחלקים ב-−1-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫14(2x−1) dx\int_1^4 (2x-1)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

[x2−x]14\Big[x^2-x\Big]_1^4

קדומה

(16−4)−(1−1)=12(16-4)-(1-1)=12

מציבים

גם כשהגבול התחתון נותן 00, כותבים אותו. כאן 1−1=01-1=0, אבל ב-∫24\int_2^4 הוא היה 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את ∫128x3 dx\int_1^2 \frac{8}{x^3}\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

∫8x−3 dx=8x−2−2=−4x2\begin{aligned}\int 8x^{-3}\,dx &= \frac{8x^{-2}}{-2} \\ &= -\frac{4}{x^2}\end{aligned}

קדומה

[−4x2]12=−1−(−4)=3\begin{aligned}\Big[-\frac{4}{x^2}\Big]_1^2 &= -1-(-4) \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

המינוס של הקדומה נכנס גם לגבול התחתון: −(−4)=+4-(-4)=+4. מי שמאבד אותו מקבל −5-5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי ∫1(2x+1)2 dx\int \frac{1}{(2x+1)^2}\,dx?

  1. 13(2x+1)3+C\frac{1}{3(2x+1)^3}+C
  2. −22x+1+C-\frac{2}{2x+1}+C
  3. −12x+1+C-\frac{1}{2x+1}+C
  4. −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C

הפתרון:

∫(2x+1)−2 dx=(2x+1)−1−1⋅2+C\int (2x+1)^{-2}\,dx=\frac{(2x+1)^{-1}}{-1 \cdot 2}+C

חזקה של ביטוי לינארי: מחלקים גם במקדם של xx

=−12(2x+1)+C=-\frac{1}{2(2x+1)}+C

בדיקה בגזירה: שרשרת נותנת פי 22

הנכונה: −12(2x+1)+C-\frac{1}{2(2x+1)}+C. −12x+1-\frac{1}{2x+1} שכחה לחלק ב-22: הנגזרת שלה היא 2(2x+1)2\frac{2}{(2x+1)^2}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון F′(x)=6x2−2F'(x)=6x^2-2, והגרף של FF עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). חשבו את F(2)F(2).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

F(x)=2x3−2x+CF(x)=2x^3-2x+C

קדומה

2−2+C=3 ⇒ C=3\begin{aligned}2-2+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

F(2)=16−4+3=15\begin{aligned}F(2) &= 16-4+3 \\ &= 15\end{aligned}

מחשבים

בלי הקבוע CC יוצא 1212. הנקודה הנתונה היא בדיוק מה שקובע את CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של y=x2y=x^2 לבין הישר y=2x+3y=2x+3. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.67

הפתרון:

x2=2x+3 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}x^2 &= 2x+3 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות החיתוך

∫−13(2x+3−x2) dx=[x2+3x−x33]−13\int_{-1}^{3} (2x+3-x^2)\,dx=\Big[x^2+3x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{3}

הישר למעלה

9−(−53)=323≈10.679-\left(-\tfrac{5}{3}\right)=\tfrac{32}{3} \approx 10.67

השטח

בדיקה ב-x=0x=0: הישר נותן 33, הפרבולה 00. מי שמחסר בסדר הפוך מקבל −10.67-10.67 — ושטח אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=2x2y=\frac{2}{x^2}, ציר ה-xx והישרים x=1x=1 ו-x=4x=4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

∫142x−2 dx=[−2x]14\int_1^4 2x^{-2}\,dx=\Big[-\frac{2}{x}\Big]_1^4

הפונקציה חיובית

−12−(−2)=1.5-\tfrac{1}{2}-(-2)=1.5

מציבים

ככל ש-xx גדל, 2x2\frac{2}{x^2} קטנה מהר. לכן רוב השטח קרוב ל-x=1x=1, והתשובה קטנה ממה שהרוחב 33 מרמז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: אם ∫03f(x) dx=5\int_0^3 f(x)\,dx=5, אז ∫03(f(x)+2)dx=7\int_0^3 \left(f(x)+2\right) dx=7.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∫03(f+2) dx=∫03f dx+∫032 dx\int_0^3 (f+2)\,dx=\int_0^3 f\,dx+\int_0^3 2\,dx

אינטגרל של סכום

=5+2⋅3=11=5+2 \cdot 3=11

הקבוע 22 «נפרש» על רוחב 33

הטענה לא נכונה. ∫032 dx=6\int_0^3 2\,dx=6, לא 22: הזזה של הגרף ב-22 למעלה מוסיפה מלבן ברוחב 33 ובגובה 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=x3y=x^3, ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=2x=2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.25

הפתרון:

∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx=4

מעל הציר

∫−10x3 dx=−14\int_{-1}^0 x^3\,dx=-\tfrac{1}{4}

מתחת לציר: השטח 14\tfrac{1}{4}

4+14=4.254+\tfrac{1}{4}=4.25

מחברים שטחים

אינטגרל אחד מ-−1-1 עד 22 נותן 3.753.75: החלק שמתחת לציר מתקזז. בשטח מחלקים בנקודה שבה הגרף חוצה את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון ∫0k2x dx=9\int_0^k 2x\,dx=9, כאשר k>0k>0. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

[x2]0k=k2\Big[x^2\Big]_0^k=k^2

קדומה

k2=9 ⇒ k=3\begin{aligned}k^2 &= 9 \ \Rightarrow \ k \\ &= 3\end{aligned}

k>0k>0

גם k=−3k=-3 פותר k2=9k^2=9, אבל הנתון k>0k>0 פוסל אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת