סדרה 2 — בינוני · חשבון אינטגרלי · כיתה י״א

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: שטח בין גרפים, שטח שהגרף חוצה בו את הציר, שטח עם משיק, פונקציות מהצורה $\frac{1}{(ax+b)^2}$ , ופרמטר שנמצא משטח נתון.

לפני שכותבים אינטגרל, שרטטו את הגרפים בערך. השרטוט מראה אם צריך לחלק את התחום, ומי העליון בכל חלק.

תרגילים

תרגיל 1

חשבו את השטח המוגבל בין הגרפים של $f(x)=x^2-1$ ו- $g(x)=1-x^2$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.67

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-1 &= 1-x^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1\end{aligned}

נקודות החיתוך

\int_{-1}^{1} (2-2x^2)\,dx=\Big[2x-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_{-1}^{1}

$g$ למעלה

\tfrac{4}{3}-\left(-\tfrac{4}{3}\right)=\tfrac{8}{3} \approx 2.67

השטח

השטח כולו חצי מעל הציר וחצי מתחתיו, ובכל זאת אין כאן חלוקה: ההפרש $g-f$ חיובי בכל התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\frac{6}{(2x+1)^2}$ , הצירים והישר $x=1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\int 6(2x+1)^{-2}\,dx &= \frac{6(2x+1)^{-1}}{-1 \cdot 2} \\ &= -\frac{3}{2x+1}\end{aligned}

מחלקים גם במקדם $2$

\begin{aligned}\Big[-\frac{3}{2x+1}\Big]_0^1 &= -1-(-3) \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

בלי החלוקה במקדם $2$ יוצאת קדומה $-\frac{6}{2x+1}$ , ושטח כפול: $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשיק לגרף של $y=x^2$ בנקודה $(2,\,4)$ הוא $y=4x-4$ . חשבו את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, המשיק וציר ה- $x$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

\begin{aligned}4x-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

המשיק חותך את ציר ה- $x$

\int_0^2 x^2\,dx=\tfrac{8}{3}

כל השטח מתחת לפרבולה עד $x=2$

\tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4=2

מחסרים את המשולש שמתחת למשיק

\tfrac{8}{3}-2=\tfrac{2}{3} \approx 0.67

השטח

השטח המבוקש אינו $\int_0^2 (x^2-(4x-4))\,dx$ : בין $x=0$ ל- $x=1$ המשיק מתחת לציר, והגבול שם הוא הציר עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

השטח המוגבל בין הגרף של $y=x^2$ לבין הישר $y=a^2$ , כאשר $a>0$ , שווה ל- $36$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}x^2 &= a^2 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm a\end{aligned}

נקודות החיתוך

\begin{aligned}\int_{-a}^{a} (a^2-x^2)\,dx &= 2a^3-\tfrac{2}{3}a^3 \\ &= \tfrac{4}{3}a^3\end{aligned}

השטח באמצעות $a$

\begin{aligned}\tfrac{4}{3}a^3 &= 36 \ \Rightarrow \ a^3 \\ &= 27 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

פותרים

הגבולות תלויים ב- $a$ , ולכן מציבים אותם גם ב- $a^2x$ : $a^2 \cdot a-a^2 \cdot (-a)=2a^3$ . מי שמשאיר $a^2x$ בלי להציב נתקע עם $x$ בתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

חשבו את השטח הכולל המוגבל בין הגרפים של $f(x)=x^3$ ו- $g(x)=x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}x^3 &= x \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ 0 \\ \ 1\end{aligned}

שלוש נקודות חיתוך

\int_{-1}^{0} (x^3-x)\,dx=\tfrac{1}{4}

ב- $[-1,0]$ : $f$ למעלה

\int_{0}^{1} (x-x^3)\,dx=\tfrac{1}{4}

ב- $[0,1]$ : $g$ למעלה

\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=0.5

מחברים

אינטגרל אחד $\int_{-1}^{1} (x-x^3)\,dx$ נותן $0$ : שני השטחים מתקזזים. הגרפים מחליפים מקום ב- $x=0$ , ושם מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון $F'(x)=2x-\frac{2}{x^2}$ , והגרף של $F$ עובר בנקודה $(1,\,4)$ . חשבו את $F(2)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

F(x)=x^2+\frac{2}{x}+C

הקדומה של $-2x^{-2}$ היא $+2x^{-1}$

\begin{aligned}1+2+C &= 4 \ \Rightarrow \ C \\ &= 1\end{aligned}

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}F(2) &= 4+1+1 \\ &= 6\end{aligned}

מחשבים

שני מינוסים מתבטלים: $\frac{-2x^{-1}}{-1}=+\frac{2}{x}$ . מי שכותב $-\frac{2}{x}$ מקבל $C=5$ ו- $F(2)=8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\frac{8}{x^2}$ , הישר $y=x$ והישר $x=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{8}{x^2} &= x \ \Rightarrow \ x^3 \\ &= 8 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודת החיתוך

x=3: \ 3>\tfrac{8}{9}

הישר $y=x$ למעלה

\begin{aligned}\int_2^4 \left(x-\frac{8}{x^2}\right) dx &= \Big[\frac{x^2}{2}+\frac{8}{x}\Big]_2^4 \\ &= 10-6 \\ &= 4\end{aligned}

השטח

הגבול השמאלי הוא נקודת החיתוך $x=2$ , לא $x=0$ . בין $0$ ל- $2$ יש אסימפטוטה ב- $x=0$ , והשטח שם אינו חסום בישר $x=4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

רוצים לחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=x^2-4$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=0$ ו- $x=3$ . איזה ביטוי נותן אותו?

$\int_0^2 (x^2-4)\,dx+\int_2^3 (x^2-4)\,dx$
$-\int_0^2 (x^2-4)\,dx+\int_2^3 (x^2-4)\,dx$
$\int_0^3 (x^2-4)\,dx$
$-\int_0^3 (x^2-4)\,dx$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-\int_0^2 (x^2-4)\,dx+\int_2^3 (x^2-4)\,dx$

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר בתוך התחום

\begin{aligned}\int_0^2 (4-x^2)\,dx &= \tfrac{16}{3} \qquad \int_2^3 (x^2-4)\,dx \\ &= \tfrac{7}{3}\end{aligned}

מתחת לציר, ואז מעליו

\tfrac{23}{3} \approx 7.67

השטח

הנכונה: הביטוי עם המינוס על החלק הראשון. $\int_0^3 (x^2-4)\,dx=-3$ : החלקים מתקזזים, והתוצאה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=\frac{k}{x^2}$ (כאשר $k>0$ ), ציר ה- $x$ והישרים $x=1$ ו- $x=3$ שווה ל- $4$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\int_1^3 \frac{k}{x^2}\,dx &= \Big[-\frac{k}{x}\Big]_1^3 \\ &= -\frac{k}{3}+k \\ &= \frac{2k}{3}\end{aligned}

השטח באמצעות $k$

\begin{aligned}\frac{2k}{3} &= 4 \ \Rightarrow \ k \\ &= 6\end{aligned}

פותרים

$k$ הוא קבוע, והוא יוצא מהאינטגרל כמו כל מקדם. אין צורך «לגזור לפי $k$ ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הוכיחו או הפריכו: השטח המוגבל על ידי הגרף של $y=x^2-2x$ וציר ה- $x$ שווה ל- $\int_0^2 (x^2-2x)\,dx$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-2x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

הגבולות

\begin{aligned}\int_0^2 (x^2-2x)\,dx &= \tfrac{8}{3}-4 \\ &= -\tfrac{4}{3}\end{aligned}

האינטגרל שלילי

S=\tfrac{4}{3}

השטח הוא הערך המוחלט

הטענה לא נכונה. בין $0$ ל- $2$ הגרף מתחת לציר, ולכן האינטגרל שלילי. השטח הוא $\tfrac{4}{3}$ , לא $-\tfrac{4}{3}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev