סדרה 3 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח פרק 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פרמטר, משיק ושני שטחים; שטח בין שתי פרבולות וישר שמחלק אותו; ופונקציה שנתונה רק הנגזרת שלה.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בקודמו. בסעיף שטח כתבו תמיד שלוש שורות: גבולות, מי למעלה, אינטגרל. ואם כבר מצאתם קדומה בסעיף קודם — השתמשו בה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(2)=a4−1=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{a}{4}-1 \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (2, 0)(2,\,0) על הגרף

a=4a=4

פותרים

חיתוך עם ציר ה-xx פירושו f(2)=0f(2)=0, לא f′(2)=0f'(2)=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. ב. מצאו את משוואת המשיק לגרף של ff בנקודה שבה x=1x=1.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -8 x+x+ 11

הפתרון:

f(1)=4−1=3\begin{aligned}f(1) &= 4-1 \\ &= 3\end{aligned}

נקודת ההשקה (1, 3)(1,\,3)

f′(x)=−8x3 ⇒ f′(1)=−8\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{8}{x^3} \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= -8\end{aligned}

השיפוע

y−3=−8(x−1) ⇒ y=−8x+11\begin{aligned}y-3 &= -8(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -8x+11\end{aligned}

המשיק

הגזירה של 4x−24x^{-2} נותנת −8x−3-8x^{-3}. והקבוע −1-1 נעלם בגזירה, אבל לא בערך f(1)f(1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישר x=1x=1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

1≤x≤2: f(x)≥01 \leq x \leq 2: \ f(x) \geq 0

בין הישר x=1x=1 לבין החיתוך עם הציר

∫12(4x2−1)dx=[−4x−x]12\int_1^2 \left(\frac{4}{x^2}-1\right) dx=\Big[-\frac{4}{x}-x\Big]_1^2

קדומה

(−2−2)−(−4−1)=1(-2-2)-(-4-1)=1

השטח

הגבול הימני הוא x=2x=2, נקודת החיתוך מסעיף א — לא ישר שכתוב בשאלה. בלי סעיף א אין גבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=ax2−1f(x)=\frac{a}{x^2}-1, כאשר a>0a>0 פרמטר. הגרף של ff חותך את ציר ה-xx בנקודה שבה x=2x=2. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, המשיק מסעיף ב והישר x=2x=2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′′(x)=24x4>0f''(x)=\frac{24}{x^4}>0

הגרף קמור, ולכן מעל המשיק

∫12(4x2−1+8x−11)dx=[−4x+4x2−12x]12\int_1^2 \left(\frac{4}{x^2}-1+8x-11\right) dx=\Big[-\frac{4}{x}+4x^2-12x\Big]_1^2

הגרף פחות המשיק

(−2+16−24)−(−4+4−12)=−10+12=2\begin{aligned}(-2+16-24)-(-4+4-12) &= -10+12 \\ &= 2\end{aligned}

השטח

חלק מהשטח נמצא מתחת לציר ה-xx (המשיק שלילי ל-x>1.375x>1.375), אבל בשטח בין שני גרפים זה לא משנה: קובע רק מי למעלה. אין כאן צורך לחלק את התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונות הפונקציות f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x ו-g(x)=x2−2xg(x)=x^2-2x. א. מצאו את נקודת החיתוך של שני הגרפים שאינה בראשית.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 4 , y=y= 8

הפתרון:

−x2+6x=x2−2x ⇒ 2x2−8x=0\begin{aligned}-x^2+6x &= x^2-2x \ \Rightarrow \ 2x^2-8x \\ &= 0\end{aligned}

משווים

2x(x−4)=0 ⇒ x=0 x=4\begin{aligned}2x(x-4) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

f(4)=−16+24=8\begin{aligned}f(4) &= -16+24 \\ &= 8\end{aligned}

שיעור ה-yy

אסור לחלק ב-xx: כך הולך לאיבוד הפתרון x=0x=0. מוציאים גורם משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונות הפונקציות f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x ו-g(x)=x2−2xg(x)=x^2-2x. ב. חשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.33

הפתרון:

x=1: f(1)=5>g(1)=−1\begin{aligned}x &= 1: \ f(1) \\ &= 5>g(1) \\ &= -1\end{aligned}

ff למעלה

∫04[(−x2+6x)−(x2−2x)]dx=∫04(8x−2x2) dx\int_0^4 \left[(-x^2+6x)-(x^2-2x)\right] dx=\int_0^4 (8x-2x^2)\,dx

העליון פחות התחתון

[4x2−23x3]04=64−1283=643≈21.33\begin{aligned}\Big[4x^2-\tfrac{2}{3}x^3\Big]_0^4 &= 64-\tfrac{128}{3} \\ &= \tfrac{64}{3} \approx 21.33\end{aligned}

השטח

המינוס שלפני הסוגריים של gg הופך את כל הסימנים: −(x2−2x)=−x2+2x-(x^2-2x)=-x^2+2x. מי שכותב −x2−2x-x^2-2x מקבל ∫04(4x−2x2)\int_0^4(4x-2x^2), והגבולות כבר לא מתאימים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות הפונקציות f(x)=−x2+6xf(x)=-x^2+6x ו-g(x)=x2−2xg(x)=x^2-2x. ג. הישר x=cx=c, כאשר 0<c<40<c<4, מחלק את השטח מסעיף ב לשני חלקים שווים. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

∫0c(8x−2x2) dx=12⋅643=323\begin{aligned}\int_0^c (8x-2x^2)\,dx &= \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{64}{3} \\ &= \tfrac{32}{3}\end{aligned}

חצי השטח

4c2−23c3=323 ⇒ c3−6c2+16=0\begin{aligned}4c^2-\tfrac{2}{3}c^3 &= \tfrac{32}{3} \ \Rightarrow \ c^3-6c^2+16 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים ב-−32-\tfrac{3}{2}

(c−2)(c2−4c−8)=0(c-2)(c^2-4c-8)=0

c=2c=2 מאפס את הביטוי

c=2(2±23∉(0, 4))c=2 \quad (2 \pm 2\sqrt{3} \notin (0,\,4))

רק פתרון אחד בתחום

אפשר לראות זאת בלי חישוב: 8x−2x2=2x(4−x)8x-2x^2=2x(4-x) סימטרי סביב x=2x=2. מי שמחלק את האורך 44 ומקבל c=2c=2 צדק כאן במקרה — בשטח לא סימטרי זה לא עובד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=1−4(x+1)2f(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}. הפונקציה gg מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), והגרף של gg עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). א. מצאו את g(x)g(x), וחשבו את g(3)g(3).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

g(x)=x+4x+1+Cg(x)=x+\frac{4}{x+1}+C

הקדומה של −4(x+1)−2-4(x+1)^{-2} היא +4(x+1)−1+4(x+1)^{-1}

1+2+C=3 ⇒ C=0\begin{aligned}1+2+C &= 3 \ \Rightarrow \ C \\ &= 0\end{aligned}

מציבים את הנקודה

g(3)=3+1=4\begin{aligned}g(3) &= 3+1 \\ &= 4\end{aligned}

מחשבים

גם כאן שני מינוסים מתבטלים. מי שכותב x−4x+1x-\frac{4}{x+1} מקבל C=4C=4, ובדיקה בגזירה חושפת את הטעות מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=1−4(x+1)2f(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}. הפונקציה gg מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), והגרף של gg עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). ב. מצאו את נקודות הקיצון של gg.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; מקסימום: x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: x=x= 1 , y=y= 3 ; מקסימום: x=x= -3 , y=y= -5

הפתרון:

g′(x)=f(x)=0 ⇒ (x+1)2=4 ⇒ x=1 x=−3\begin{aligned}g'(x) &= f(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (x+1)^2 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -3\end{aligned}

נקודות חשודות

f(−4)>0, f(−2)<0, f(0)<0, f(2)>0f(-4)>0 ,\ f(-2)<0 ,\ f(0)<0 ,\ f(2)>0

סימן g′g'; x=−1x=-1 מחוץ לתחום

g(1)=3g(−3)=−3−2=−5\begin{aligned}g(1) &= 3 \qquad g(-3) \\ &= -3-2 \\ &= -5\end{aligned}

הערכים

ערך המקסימום (−5-5) קטן מערך המינימום (33). זה אפשרי, כי הן על שני ענפים שונים, משני צדי האסימפטוטה x=−1x=-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=1−4(x+1)2f(x)=1-\frac{4}{(x+1)^2}. הפונקציה gg מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), והגרף של gg עובר בנקודה (1, 3)(1,\,3). ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של ff, ציר ה-xx והישר x=3x=3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(1)=01≤x≤3: f(x)≥0\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad 1 \leq x \leq 3: \ f(x) \geq 0\end{aligned}

הגרף חותך את הציר ב-x=1x=1

∫13f(x) dx=g(3)−g(1)\int_1^3 f(x)\,dx=g(3)-g(1)

gg היא קדומה של ff

4−3=14-3=1

מסעיפים א ו-ב

אין צורך לחשב קדומה שוב: gg כבר נמצאה. הגבול השמאלי x=1x=1 הוא גם אפס של ff וגם המינימום של gg — אותו מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת