תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: הפונקציה הקדומה והקבוע CC, האינטגרל המסוים, ושטחים — מתחת לציר ובין שני גרפים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהי ∫(6x2−4x) dx\int (6x^2 - 4x) \, dx?

  1. 6x3−4x2+C6x^3 - 4x^2 + C
  2. 12x−4+C12x - 4 + C
  3. 2x3−2x2+C2x^3 - 2x^2 + C
  4. 3x3−2x2+C3x^3 - 2x^2 + C
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2x3−2x2+C2x^3 - 2x^2 + C

הפתרון:

∫6x2 dx=6x33=2x3\begin{aligned}\int 6x^2 \, dx &= \frac{6x^3}{3} \\ &= 2x^3\end{aligned}

מעלים חזקה ומחלקים בחזקה החדשה

∫4x dx=4x22=2x2\begin{aligned}\int 4x \, dx &= \frac{4x^2}{2} \\ &= 2x^2\end{aligned}

בדיקה: הנגזרת של 2x3−2x22x^3 - 2x^2 היא 6x2−4x6x^2 - 4x. 12x−412x - 4 היא הנגזרת — הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

חשבו את ∫124x3 dx\int_1^2 4x^3 \, dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

F(x)=x4F(x) = x^4
F(2)−F(1)=16−1=15\begin{aligned}F(2) - F(1) &= 16 - 1 \\ &= 15\end{aligned}

האינטגרל המסוים הוא מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מתקיים ∫0πsin⁡x dx=0\int_0^{\pi} \sin x \, dx = 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

F(x)=−cos⁡xF(x) = -\cos x

המינוס צץ אצל הסינוס

−cos⁡π−(−cos⁡0)=1+1=2\begin{aligned}-\cos\pi - (-\cos 0) &= 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}

התוצאה 00 מתקבלת כשלוקחים בטעות F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x ומחשבים sin⁡π−sin⁡0\sin\pi - \sin 0. ואכן, בין 00 ל-π\pi הסינוס כולו מעל הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתון f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2 וידוע ש-f(1)=4f(1) = 4. מהו f(3)f(3)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

f(x)=3x2−2x+Cf(x) = 3x^2 - 2x + C
3−2+C=4⇒C=3\begin{aligned}3 - 2 + C &= 4 \Rightarrow C \\ &= 3\end{aligned}
f(3)=27−6+3=24\begin{aligned}f(3) &= 27 - 6 + 3 \\ &= 24\end{aligned}

הנקודה הנתונה קובעת את CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו השטח הכלוא בין y=x2y = x^2 ל-y=2xy = 2x? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.333

הפתרון:

x2=2x⇒x=0  x=2\begin{aligned}x^2 &= 2x \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות המפגש

x=1: 2>1x = 1: \ 2 > 1

הישר מעל הפרבולה בתחום

∫02(2x−x2) dx=4−83\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = 4 - \frac{8}{3}
S=43≈1.333S = \frac{4}{3} \approx 1.333

עליונה פחות תחתונה, בין נקודות המפגש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון ∫06f(x) dx=20\int_0^6 f(x) \, dx = 20 ו-∫02f(x) dx=8\int_0^2 f(x) \, dx = 8. מהו ∫62f(x) dx\int_6^2 f(x) \, dx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -12

הפתרון:

∫26f=20−8=12\begin{aligned}\int_2^6 f &= 20 - 8 \\ &= 12\end{aligned}
∫62f=−∫26f=−12\begin{aligned}\int_6^2 f &= -\int_2^6 f \\ &= -12\end{aligned}

הגבולות הפוכים — הסימן מתהפך

שימו לב לסדר הגבולות בשאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו השטח הכלוא בין הגרף של y=x2−2xy = x^2 - 2x, ציר ה-xx והישר x=3x = 3, בתחום 0≤x≤30 \le x \le 3? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.667

הפתרון:

x2−2x=0⇒x=0  x=2\begin{aligned}x^2 - 2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

הגרף חוצה את הציר ב-2

∫02(x2−2x) dx=−43\int_0^2 (x^2 - 2x) \, dx = -\frac{4}{3}

מתחת לציר

∫23(x2−2x) dx=43\int_2^3 (x^2 - 2x) \, dx = \frac{4}{3}

מעל הציר

S=43+43=83≈2.667\begin{aligned}S &= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \\ &= \frac{8}{3} \approx 2.667\end{aligned}

האינטגרל על כל התחום יוצא 00 — אבל השטח אינו אפס. מפצלים בנקודת החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

מים זורמים לבריכה בקצב r(t)=6t−t2r(t) = 6t - t^2 מ״ק לשעה, כאשר tt הוא הזמן בשעות, 0≤t≤60 \le t \le 6. כמות המים שנכנסה היא השטח מתחת לגרף הקצב. כמה מ״ק מים נכנסו לבריכה בשש השעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

∫06(6t−t2) dt\int_0^6 (6t - t^2) \, dt

הקצב אינו שלילי בתחום

F(t)=3t2−t33F(t) = 3t^2 - \frac{t^3}{3}
F(6)−F(0)=108−72=36\begin{aligned}F(6) - F(0) &= 108 - 72 \\ &= 36\end{aligned}

36 מ״ק מים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון ∫0acos⁡x dx=0.5\int_0^a \cos x \, dx = 0.5, כאשר 0<a<π20 < a < \frac{\pi}{2}. מהו aa? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.524

הפתרון:

sin⁡a−sin⁡0=0.5\sin a - \sin 0 = 0.5
sin⁡a=0.5⇒a=π6\begin{aligned}\sin a &= 0.5 \Rightarrow a \\ &= \frac{\pi}{6}\end{aligned}

הפתרון היחיד בתחום

π6≈0.524\frac{\pi}{6} \approx 0.524

הנעלם הוא הגבול העליון — מחשבים כרגיל, ופותרים משוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהו השטח הכלוא בין הפרבולה y=4−x2y = 4 - x^2 לישר y=x+2y = x + 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.5

הפתרון:

4−x2=x+2⇒x2+x−2=0\begin{aligned}4 - x^2 &= x + 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 \\ &= 0\end{aligned}
x=−2  x=1\begin{aligned}x &= -2 \ \\ \ x &= 1\end{aligned}

נקודות המפגש

x=0: 4>2x = 0: \ 4 > 2

הפרבולה למעלה

∫−21(2−x−x2) dx=(2−12−13)−(−4−2+83)\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-4 - 2 + \frac{8}{3}\right)
=76+103=4.5= \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = 4.5

השטח הוא 4.54.5 יחידות שטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת