תרגול · גאומטריה במעגל · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: זוויות במעגל, מרובע בר-חסימה, דמיון ומכפלת קטעים, ושטחים באמצעות $S$ . מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

הנקודות $A$ , $B$ , $C$ על מעגל שמרכזו $O$ , ו- $A$ על הקשת הגדולה $BC$ . נתון $\angle BAC=70^\circ$ . חשבו את $\angle BOC$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 140

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BOC &= 2 \cdot 70^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

$140^\circ$ . מההיקפית למרכזית כופלים ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במרובע $ABCD$ נתון $\angle B+\angle D=180^\circ$ . איזה משפט מאפשר להסיק שאפשר לחסום אותו במעגל?

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ — אפשר לחסום אותו במעגל
סכום הזוויות במרובע הוא $360^\circ$
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ — אפשר לחסום אותו במעגל

הפתרון:

\angle B+\angle D=180^\circ \Rightarrow \text{חסום}

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ — אפשר לחסום אותו במעגל

הנכונה: המשפט ההפוך. המשפט הישיר מתחיל ממרובע שכבר חסום, ולכן אי אפשר להשתמש בו כדי להוכיח חסימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ . נתון $PA=9$ , $PB=4$ ו- $PD=6$ . חשבו את $PC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

PA \cdot PB=PC \cdot PD

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים

\begin{aligned}36 &= 6 \cdot PC \Rightarrow PC \\ &= 6\end{aligned}

$PC=6$ : במקרה הזה $P$ היא אמצע המיתר $CD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל, ו- $EF$ משיק למעגל ב- $A$ . נתון $\angle FAB=65^\circ$ ו- $\angle BAC=45^\circ$ ( $C$ על הקשת הגדולה $AB$ ). חשבו את $\angle ABC$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

\angle ACB=65^\circ

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ-45^\circ-65^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

$70^\circ$ . המשיק «מעביר» את $65^\circ$ לקודקוד $C$ , מול המיתר $AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ואלכסוניו נחתכים ב- $P$ . הוכיחו: $PA \cdot PC=PB \cdot PD$ .

$ABCD$ חסום במעגל
האלכסונים נחתכים ב- $P$

$PA \cdot PC=PB \cdot PD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle APB=\angle DPC$ — זוויות קודקודיות שוות
$\angle BAC=\angle BDC$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות $BC$
$\triangle APB \sim \triangle DPC$ — משפט דמיון ז.ז
$\frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}$ — במשולשים דומים, יחס הצלעות המתאימות שווה ליחס הדמיון
$PA \cdot PC=PB \cdot PD$ — כפל בהצלבה

הפתרון:

\triangle APB \sim \triangle DPC

קודקודיות, והיקפיות על הקשת $BC$

\frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}

$A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow C$

PA \cdot PC=PB \cdot PD

האלכסונים הם שני מיתרים נחתכים, ולכן זו בדיוק מכפלת קטעי המיתרים. המלכודת: יחס $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}$ , שמשווה קטעים של אותו אלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$AB$ קוטר במעגל, $C$ על המעגל, ו- $CD \perp AB$ ( $D$ על $AB$ ). נתון $AD=9$ ו- $DB=16$ . חשבו את $AC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\triangle ACD \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADC=\angle ACB=90^\circ$

\begin{aligned}\frac{AC}{AB} &= \frac{AD}{AC} \Rightarrow AC^2 \\ &= AD \cdot AB\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}AC^2 &= 9 \cdot 25 \\ &= 225 \Rightarrow AC \\ &= 15\end{aligned}

$AB=9+16=25$

$AC=15$ . הגורם השני הוא כל הקוטר $AB$ , לא $DB$ . $\sqrt{9 \cdot 16}=12$ הוא $CD$ , קטע אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ וחותך $PAB$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PT=6$ ו- $PA=4$ , ושטח המשולש $PTA$ הוא $16$ סמ״ר. השלימו.

$AB=$ ____ , $S_{PBT}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB=$ 5 , $S_{PBT}=$ 36

הפתרון:

\begin{aligned}PB &= \frac{PT^2}{PA} \\ &= \frac{36}{4} \\ &= 9 \Rightarrow AB \\ &= 5\end{aligned}

משיק וחותך

\begin{aligned}k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון $\triangle PTA \sim \triangle PBT$

\begin{aligned}S_{PBT} &= 16 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 36\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

$AB=5$ ו- $S_{PBT}=36$ . בדיקה: $\frac{PA}{PT}=\frac{4}{6}$ נותן את אותו $k$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ו- $EF$ משיק למעגל ב- $B$ . נתון $\angle FBA=40^\circ$ ו- $\angle BAC=70^\circ$ ( $D$ על הקשת $AC$ שאינה מכילה את $B$ ). חשבו את $\angle ADC$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle FBA \\ &= 40^\circ\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ-70^\circ-40^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABC$

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ-70^\circ \\ &= 110^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

$110^\circ$ . שלושה משפטים בשרשרת: משיק ומיתר, סכום זוויות במשולש, מרובע חסום. מי שעצר ב- $70^\circ$ ענה על $\angle ABC$ ולא על $\angle ADC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ . נתון $PA=2$ , $PB=9$ , $PC=3$ ו- $PD=6$ , ושטח המשולש $APC$ הוא $S$ . שטח המרובע $ACBD$ שווה ל- $k \cdot S$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.5

הפתרון:

\begin{aligned}\triangle APC \sim \triangle DPB \\ \ k &= \frac{PA}{PD} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

בדיקה: $\frac{PC}{PB}=\frac{3}{9}$ ✓

S_{DPB}=9S

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{APD} &= \frac{PD}{PC} \cdot S \\ &= 2S\end{aligned}

גובה משותף מ- $A$ לישר $CD$

\begin{aligned}S_{BPC} &= \frac{PC}{PD} \cdot 9S \\ &= 4.5S\end{aligned}

גובה משותף מ- $B$ לישר $CD$

S+9S+2S+4.5S=16.5S

ארבעת המשולשים

$k=16.5$ . המלכודת: להעלות בריבוע גם את $\frac{PD}{PC}$ . המשולשים $APC$ ו- $APD$ אינם דומים: יש להם רק גובה משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ הקטעים $BE$ ו- $CF$ הם גבהים, והם נפגשים ב- $H$ . נתון $\angle BHC=125^\circ$ . חשבו את $\angle BAC$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55

הפתרון:

\begin{aligned}\angle FHE &= \angle BHC \\ &= 125^\circ\end{aligned}

זוויות קודקודיות שוות

\angle AEH+\angle AFH=180^\circ

שתי זוויות ישרות: $AFHE$ חסום

\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ-125^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

$55^\circ$ . זו השאלה של השיעור בכיוון ההפוך: $\angle A+\angle BHC=180^\circ$ תמיד, בכל משולש חד-זוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev