סדרה 3 — לקראת הבגרות · גאומטריה במעגל · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלה 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה. סעיף מאוחר מותר להשתמש בכל מה שהוכח בסעיף מוקדם, גם אם לא הצלחתם להוכיח אותו.

בבחינה, סעיף «הוכיחו» שלא הצלחתם בו אינו סוף השאלה: מניחים את הטענה ועוברים לסעיף הבא. החישוב בסעיף האחרון שווה נקודות גם בלי ההוכחה.

תרגילים

תרגיל 1

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). א. הוכיחו: $\triangle PAC \sim \triangle PBA$ .

$PA$ משיק למעגל ב- $A$
$B$ , $C$ , $P$ על ישר אחד

$\triangle PAC \sim \triangle PBA$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle APC=\angle BPA$ — זווית משותפת
$\angle PAC=\angle PBA$ — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
$\triangle PAC \sim \triangle PBA$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle P=\angle P

משותפת

\angle PAC=\angle ABC

משיק $AP$ ומיתר $AC$

\triangle PAC \sim \triangle PBA

ז.ז

ההתאמה: $P \leftrightarrow P$ , $A \leftrightarrow B$ , $C \leftrightarrow A$ . היא תקבע את כל היחסים בסעיפים הבאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). ב. נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . חשבו את $PA$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PA}

מסעיף א: צלעות מתאימות

\begin{aligned}PA^2 &= PC \cdot PB \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

$PB=4+5=9$

PA=6

$PA=6$ . $PB$ הוא כל החותך: $4+5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . ג. נתון גם $AC=4$ . חשבו את $AB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\frac{AC}{BA}=\frac{PA}{PB}

מסעיף א: $AC \leftrightarrow BA$

\begin{aligned}\frac{4}{AB} &= \frac{6}{9} \Rightarrow AB \\ &= 6\end{aligned}

$PA=6$ מסעיף ב

$AB=6$ . המלכודת: $\frac{AC}{AB}=\frac{PC}{PB}=\frac{4}{9}$ . $PC$ ו- $PB$ אינן צלעות מתאימות: $PC$ מתאימה ל- $PA$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל. המשיק למעגל בנקודה $A$ חותך את המשך הצלע $BC$ בנקודה $P$ ( $C$ בין $B$ ל- $P$ ). נתון $PC=4$ ו- $BC=5$ . ד. שטח המשולש $PAC$ הוא $S$ . שטח המשולש $ABC$ שווה ל- $k \cdot S$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.25

הפתרון:

\begin{aligned}k_{sim} &= \frac{PA}{PB} \\ &= \frac{6}{9} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון מסעיף א

\begin{aligned}S_{PBA} &= S \cdot \frac{9}{4} \\ &= \frac{9}{4}S\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{ABC} &= S_{PBA}-S_{PAC} \\ &= \frac{9}{4}S-S \\ &= \frac{5}{4}S\end{aligned}

המשולש $PBA$ מורכב מ- $PAC$ ומ- $ABC$

$k=1.25$ . שני צעדים: דמיון בריבוע, ואז חיסור שטחים. דרך בדיקה: למשולשים $PAC$ ו- $ABC$ גובה משותף מ- $A$ , ולכן היחס $\frac{BC}{PC}=\frac{5}{4}$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . א. הוכיחו: $OD \parallel AC$ .

$AB$ קוטר, $O$ המרכז
$D$ אמצע הקשת $BC$

$OD \parallel AC$

להציג את התשובה והפתרון

$OA=OD$ — רדיוסים במעגל שווים
$\angle ODA=\angle OAD$ — במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\angle OAD=\angle DAC$ — זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות
$\angle ODA=\angle DAC$ — כלל המעבר
$OD \parallel AC$ — אם זוויות מתחלפות שוות — הישרים מקבילים

הפתרון:

\angle ODA=\angle OAD

רדיוסים: משולש שווה שוקיים

\angle OAD=\angle DAC

קשתות שוות $BD$ ו- $DC$

\angle ODA=\angle DAC \Rightarrow OD \parallel AC

מתחלפות, עם החותך $AD$

ההוכחה עוברת דרך הרדיוסים: $OA=OD$ נותן את הזווית שחסרה. המלכודת: לכתוב $\angle ODA=\angle DAC$ «כי היקפיות». $\angle ODA$ אינה היקפית: אחת מזרועותיה היא הרדיוס $DO$ , ולא מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . ב. מוכיחים ש- $\triangle ACE \sim \triangle BDE$ . איזה זוג נימוקים מספיק?

$\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$ (זוויות על הקוטר $AB$ ), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)
$\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות), ו- $AE=BE$
$\angle CAE=\angle EAB$ (חוצה זווית), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)
$\angle ACB=90^\circ$ (זווית על קוטר), ו- $OD \parallel AC$ (סעיף א)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$ (זוויות על הקוטר $AB$ ), ו- $\angle AEC=\angle BED$ (קודקודיות)

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACE &= \angle BDE \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, פעמיים

\angle AEC=\angle BED

זוויות קודקודיות שוות

\triangle ACE \sim \triangle BDE

ז.ז

הנכונה: שתי זוויות ישרות וזוויות קודקודיות. באפשרות האחרונה $\angle EAB$ אינה זווית של $\triangle BDE$ . ובאפשרות השנייה יש רק זווית אחת בכל משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ . המיתר $AD$ חותך את $BC$ בנקודה $E$ . ג. נתון $\angle ABC=30^\circ$ . חשבו את היחס $\frac{CE}{EB}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACB &= 90^\circ \Rightarrow AC \\ &= \tfrac{1}{2}AB\end{aligned}

זווית על קוטר, וניצב מול $30^\circ$

\angle CAE=\angle EAB

קשתות שוות: $AE$ חוצה את $\angle CAB$

\begin{aligned}\frac{CE}{EB} &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

$\frac{CE}{EB}=0.5$ . המפתח הוא לזהות ש- $AE$ חוצה זווית במשולש $ABC$ , כי $D$ אמצע הקשת. מי שענה $2$ הפך את היחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . א. הוכיחו שהנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ נמצאות על מעגל אחד.

$AD \perp BC$
$CF \perp AB$

הנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד

להציג את התשובה והפתרון

$\angle AFC=90^\circ$ — הגדרת גובה במשולש $CF$
$\angle ADC=90^\circ$ — הגדרת גובה במשולש $AD$
$F$ על המעגל שקוטרו $AC$ — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
$D$ על המעגל שקוטרו $AC$ — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
הנקודות $A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד — שתיהן על אותו מעגל, שעובר גם דרך $A$ ו- $C$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle AFC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

גבהים

F ,\ D

שתיהן «רואות» את $AC$ בזווית ישרה, ולכן על המעגל שקוטרו $AC$

כאן הזוויות הישרות אינן נגדיות במרובע $AFDC$ ( $F$ ו- $D$ סמוכות בו). לכן לא עובדים עם סכום $180^\circ$ , אלא עם הקוטר המשותף $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . ב. הוכיחו: $\triangle BFD \sim \triangle BCA$ .

$A$ , $F$ , $D$ , $C$ על מעגל אחד (סעיף א)

$\triangle BFD \sim \triangle BCA$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle FBD=\angle CBA$ — זווית משותפת
$\angle AFD+\angle ACD=180^\circ$ — במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ ( $AFDC$ )
$\angle AFD+\angle BFD=180^\circ$ — סכום זוויות צמודות הוא $180^\circ$
$\angle BFD=\angle ACD$ — משלימות לאותה זווית
$\triangle BFD \sim \triangle BCA$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle BFD=\angle BCA

זווית חיצונית של המרובע החסום $AFDC$ שווה לפנימית שממול

\angle B=\angle B

משותפת

\triangle BFD \sim \triangle BCA

ז.ז

ההתאמה: $F \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$ . המשולש הקטן «הפוך» ביחס לגדול: $FD$ אינו מקביל ל- $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש חד-זוויות $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $CF$ הם גבהים ( $D$ על $BC$ , $F$ על $AB$ ), והם נפגשים בנקודה $H$ . ג. נתון $BD=4$ , $BF=5$ ו- $BA=12$ . חשבו את $BC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{BA}

מסעיף ב: $F \leftrightarrow C$ , $D \leftrightarrow A$

\begin{aligned}\frac{5}{BC} &= \frac{4}{12} \Rightarrow BC \\ &= 15\end{aligned}

$BC=15$ . בדיקה: $BF \cdot BA=5 \cdot 12=60=4 \cdot 15=BD \cdot BC$ , שני חותכים מ- $B$ למעגל של סעיף א ✓. מי שהתאים $F \leftrightarrow A$ קיבל $\frac{BF}{BA}=\frac{BD}{BC}$ , כלומר $BC=9.6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev