סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שני צעדים: משפט במעגל ואחריו משפט במשולש, דמיון ואחריו מכפלה, או הוכחה לסדר. הנושאים מעורבבים בכוונה, כמו בבגרות.

כשהשאלה מבקשת אורך, חפשו שני משולשים דומים שהאורך הוא צלע באחד מהם. כשהיא מבקשת זווית, חפשו קשת שהזווית נשענת עליה.

תרגילים

תרגיל 1

50°ABCEF

המשולש ABCABC חסום במעגל, ו-EFEF משיק למעגל ב-AA. נתון ∠FAB=50∘\angle FAB=50^\circ ו-∠ABC=70∘\angle ABC=70^\circ (CC על הקשת הגדולה ABAB). חשבו את ∠BAC\angle BAC (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∠ACB=∠FAB=50∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle FAB \\ &= 50^\circ\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

∠BAC=180∘−70∘−50∘=60∘\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ-70^\circ-50^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

60∘60^\circ. הזווית בין המשיק למיתר ABAB עוברת ל-CC, מול המיתר ABAB, לא ל-BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

OABCD

ABAB קוטר במעגל, CC נקודה על המעגל, ו-CD⊥ABCD \perp AB (DD על ABAB). הוכיחו: △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC.

  • ABAB קוטר
  • CD⊥ABCD \perp AB

△ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠CAD=∠BAC\angle CAD=\angle BAC — זווית משותפת
  2. ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
  3. ∠ADC=90∘\angle ADC=90^\circ — נתון: CD⊥ABCD \perp AB
  4. △ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠A=∠A\angle A=\angle A

משותפת

∠ADC=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

אנך, וזווית על קוטר

△ACD∼△ABC\triangle ACD \sim \triangle ABC

ז.ז

ההתאמה: A↔AA \leftrightarrow A, D↔CD \leftrightarrow C (הזוויות הישרות), C↔BC \leftrightarrow B. מי שכותב △ACD∼△ACB\triangle ACD \sim \triangle ACB מתאים את הזווית הישרה DD לזווית BB, שאינה ישרה, ומקבל יחסים שגויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

75°ABCDE

במרובע ABCDABCD מאריכים את BCBC עד EE. המרובע חסום במעגל, ו-∠DCE=75∘\angle DCE=75^\circ. השלימו (במעלות).

∠BAD=\angle BAD= ____ , ∠BCD=\angle BCD= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠BAD=\angle BAD= 75 , ∠BCD=\angle BCD= 105

הפתרון:

∠BCD=180∘−75∘=105∘\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ-75^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום זוויות צמודות הוא 180∘180^\circ

∠BAD=180∘−105∘=75∘\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ-105^\circ \\ &= 75^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שממול. אין צורך לזכור את זה בעל פה: צמודות, ואחר כך נגדיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

PABCD

מהנקודה PP יוצאים שני חותכים: PABPAB ו-PCDPCD (AA בין PP ל-BB, CC בין PP ל-DD). נתון PA=4PA=4, AB=5AB=5 ו-PC=3PC=3. חשבו את CDCD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB=PC \cdot PD

שני חותכים: △PAD∼△PCB\triangle PAD \sim \triangle PCB

4⋅9=3⋅PD⇒PD=12\begin{aligned}4 \cdot 9 &= 3 \cdot PD \Rightarrow PD \\ &= 12\end{aligned}

PB=4+5=9PB=4+5=9

CD=PD−PC=12−3=9\begin{aligned}CD &= PD-PC \\ &= 12-3 \\ &= 9\end{aligned}

CD=9CD=9. שני צעדים: המכפלה נותנת את PDPD, ורק אז מחסרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את BCBC ב-EE ואת המעגל ב-DD. סדרו את שורות ההוכחה ש-AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC=AD \cdot AE.

  • ∠ADB=∠ACE\angle ADB=\angle ACE — היקפיות על הקשת ABAB
  • ∠BAD=∠EAC\angle BAD=\angle EAC — נתון: חוצה זווית
  • ABAE=ADAC\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC} — צלעות מתאימות
  • △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC — ז.ז
  • AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC=AD \cdot AE — כפל בהצלבה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠BAD=∠EAC\angle BAD=\angle EAC — נתון: חוצה זווית · ∠ADB=∠ACE\angle ADB=\angle ACE — היקפיות על הקשת ABAB · △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC — ז.ז · ABAE=ADAC\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC} — צלעות מתאימות · AB⋅AC=AD⋅AEAB \cdot AC=AD \cdot AE — כפל בהצלבה

הפתרון:

△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC

שתי זוויות

ABAE=ADAC⇒AB⋅AC=AD⋅AE\begin{aligned}\frac{AB}{AE} &= \frac{AD}{AC} \Rightarrow AB \cdot AC \\ &= AD \cdot AE\end{aligned}

הדמיון קודם, היחס אחריו, והמכפלה בסוף. הזוג B↔EB \leftrightarrow E קובע ש-ABAB מתאימה ל-AEAE.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDP

המיתרים ABAB ו-CDCD נחתכים ב-PP. נתון PA=xPA=x, PB=8PB=8, PC=4PC=4 ו-PD=x+2PD=x+2. מצאו את xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

8x=4(x+2)8x=4(x+2)

מכפלת קטעי מיתרים

4x=8⇒x=2\begin{aligned}4x &= 8 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

x=2x=2. בדיקה: 2⋅8=16=4⋅42 \cdot 8=16=4 \cdot 4 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDP

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והאלכסונים נחתכים ב-PP. איזה זוג משולשים דומה תמיד?

  1. △APB∼△CPB\triangle APB \sim \triangle CPB
  2. △APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC
  3. △ABC∼△ADC\triangle ABC \sim \triangle ADC
  4. △APD∼△APB\triangle APD \sim \triangle APB
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב △APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC

הפתרון:

∠APB=∠DPC\angle APB=\angle DPC

זוויות קודקודיות שוות

∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות BCBC

△APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC

ז.ז

הנכונה: △APB∼△DPC\triangle APB \sim \triangle DPC, המשולשים ה«נגדיים» סביב PP. המשולשים ה«שכנים» (APBAPB ו-CPBCPB) חולקים זווית צמודה, לא שווה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD

מיינו את זוגות הזוויות: שוות תמיד, או משלימות תמיד ל-180∘180^\circ?

  • שוות
  • משלימות ל-180∘180^\circ
  • זוויות נגדיות במרובע חסום
  • זווית בין משיק למיתר, והיקפית על המיתר מצדו השני
  • זווית חיצונית של מרובע חסום, והפנימית שממול
  • זווית פנימית של מרובע חסום, והחיצונית שלידה
  • שתי היקפיות על מיתר ABAB, באותו צד שלו
  • שתי היקפיות על מיתר ABAB, משני צדיו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שתי היקפיות על מיתר ABAB, באותו צד שלו — שוות · שתי היקפיות על מיתר ABAB, משני צדיו — משלימות ל-180∘180^\circ · זוויות נגדיות במרובע חסום — משלימות ל-180∘180^\circ · זווית בין משיק למיתר, והיקפית על המיתר מצדו השני — שוות · זווית חיצונית של מרובע חסום, והפנימית שממול — שוות · זווית פנימית של מרובע חסום, והחיצונית שלידה — משלימות ל-180∘180^\circ

הפתרון:

AB⌢\overset{\frown}{AB}

אותו צד של המיתר: שתי הזוויות נשענות על אותה קשת

∠ACB+∠ADB=180∘\angle ACB+\angle ADB=180^\circ

משני הצדדים: מרובע חסום

השאלה המבחינה: באיזה צד של המיתר נמצא הקודקוד. אותו צד — שוות. צדדים מנוגדים — משלימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

OABCD

ABAB קוטר במעגל, CC על המעגל, ו-CD⊥ABCD \perp AB (DD על ABAB). נתון AD=4AD=4 ו-DB=9DB=9. חשבו את CDCD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

△ACD∼△CBD\triangle ACD \sim \triangle CBD

ז.ז: ∠ADC=∠CDB=90∘\angle ADC=\angle CDB=90^\circ, ו-∠ACD=∠CBD\angle ACD=\angle CBD (שתיהן משלימות את ∠A\angle A ל-90∘90^\circ)

CDBD=ADCD⇒CD2=AD⋅DB\begin{aligned}\frac{CD}{BD} &= \frac{AD}{CD} \Rightarrow CD^2 \\ &= AD \cdot DB\end{aligned}

צלעות מתאימות

CD2=36⇒CD=6\begin{aligned}CD^2 &= 36 \Rightarrow CD \\ &= 6\end{aligned}

CD=6CD=6. ההתאמה היא A↔CA \leftrightarrow C, C↔BC \leftrightarrow B. מי שכתב CD2=AD⋅ABCD^2=AD \cdot AB ערבב את הקטעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCEFH

במשולש ABCABC הקטעים BEBE ו-CFCF הם גבהים. הוכיחו או הפריכו: ∠AEF=∠ABC\angle AEF=\angle ABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

B, C, E, FB ,\ C ,\ E ,\ F

על המעגל שקוטרו BCBC: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

∠AEF+∠FEC=180∘\angle AEF+\angle FEC=180^\circ

סכום זוויות צמודות הוא 180∘180^\circ

∠FBC+∠FEC=180∘\angle FBC+\angle FEC=180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ (BCEFBCEF)

∠AEF=∠FBC=∠ABC\begin{aligned}\angle AEF &= \angle FBC \\ &= \angle ABC\end{aligned}

משלימות לאותה זווית

הטענה נכונה. המרובע BCEFBCEF חסום, ו-∠AEF\angle AEF היא הזווית החיצונית שלו ב-EE. לכן היא שווה לזווית הפנימית שממול, ב-BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת