סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: קריאה בטבלה, עץ של שני שלבים, ההצלחה הראשונה, ברנולי, יחס אורכים ופרמטר pp. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: האם יש תנאי («מבין», «ידוע ש»)? אם כן, יש מכנה. והאם השליפה עם החזרה או בלי?

תרגילים

תרגיל 1

בסדנה השתתפו 300 איש: 120 סטודנטים (SS) ו-180 שאינם סטודנטים. מבין הסטודנטים 90 היו מרוצים (MM), ומבין האחרים 108 היו מרוצים. מה ההסתברות שמשתתף אקראי היה מרוצה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.66

הפתרון:

P(M)=90+108300=198300=0.66\begin{aligned}P(M) &= \frac{90+108}{300} \\ &= \frac{198}{300} \\ &= 0.66\end{aligned}

סך השורה MM חלקי סך הכול

מי שחישב 90120\frac{90}{120} ענה על שאלה אחרת: כמה מהסטודנטים היו מרוצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדנה השתתפו 300 איש: 120 סטודנטים (SS) ו-180 שאינם סטודנטים. מבין הסטודנטים 90 היו מרוצים (MM), ומבין האחרים 108 היו מרוצים. משתתף אקראי היה מרוצה. מה ההסתברות שהוא סטודנט? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.45

הפתרון:

P(S∣M)=90198=511≈0.45\begin{aligned}P(S \mid M) &= \frac{90}{198} \\ &= \frac{5}{11} \approx 0.45\end{aligned}

המשבצת חלקי כל המרוצים

התנאי הוא «מרוצה», ולכן המכנה 198. 90120\frac{90}{120} הוא הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדנה השתתפו 300 איש: 120 סטודנטים (SS) ו-180 שאינם סטודנטים. מבין הסטודנטים 90 היו מרוצים (MM), ומבין האחרים 108 היו מרוצים. הוכיחו או הפריכו: המאורעות SS ו-MM בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(M∣S)=90120=0.75\begin{aligned}P(M \mid S) &= \frac{90}{120} \\ &= 0.75\end{aligned}

בתנאי

P(M)=0.66P(M)=0.66

בלי תנאי

0.75≠0.660.75 \neq 0.66

הטענה לא נכונה. סטודנטים היו מרוצים יותר מהממוצע, ולכן המאורעות תלויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בכיתה 12 תלמידים, ו-5 מהם בחוג תיאטרון. בוחרים באקראי שני תלמידים שונים לוועדה. מה ההסתברות ששניהם מחוג התיאטרון? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.15

הפתרון:

512⋅411=20132=533≈0.15\begin{aligned}\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} &= \frac{20}{132} \\ &= \frac{5}{33} \approx 0.15\end{aligned}

בלי החזרה: תלמיד לא נבחר פעמיים

«שני תלמידים שונים» פירושו שליפה בלי החזרה. (512)2≈0.17\left(\frac{5}{12}\right)^2 \approx 0.17 היא טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 0.30.3, והניסיונות בלתי תלויים. מה ההסתברות שההצלחה הראשונה תהיה בדיוק בניסיון השני?

  1. 0.490.49
  2. 0.210.21
  3. 0.30.3
  4. 0.090.09
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 0.210.21

הפתרון:

0.7⋅0.3=0.210.7 \cdot 0.3=0.21

כישלון ואז הצלחה

הנכונה: 0.210.21. 0.090.09 הוא «שתי הצלחות». 0.490.49 הוא «שני כישלונות». 0.30.3 מתעלם מהניסיון הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מטילים קובייה הוגנת 3 פעמים. מה ההסתברות שבדיוק פעם אחת יצא 6? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.35

הפתרון:

P3(1)=3⋅16⋅(56)2P_3(1)=3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2

ברנולי

=75216≈0.35=\frac{75}{216} \approx 0.35

המקדם 33 סופר את ההטלה שבה יצא ה-6: ראשונה, שנייה או שלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

רכבת מגיעה לתחנה ברגע אקראי בין 8:00 ל-8:30. מה ההסתברות שתגיע בין 8:10 ל-8:16? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

16−1030=630=0.2\begin{aligned}\frac{16-10}{30} &= \frac{6}{30} \\ &= 0.2\end{aligned}

אורך הקטע חלקי אורך כל התחום

במרחב רציף מודדים אורכים. המכנה הוא 30 דקות, לא 60.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון: P(A)=pP(A)=p, P(B∣A)=0.5P(B \mid A)=0.5, P(B∣Aˉ)=0.2P(B \mid \bar{A})=0.2 ו-P(B)=0.32P(B)=0.32. מצאו את pp. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

0.5p+0.2(1−p)=0.320.5p+0.2(1-p)=0.32

הסתברות שלמה

0.2+0.3p=0.32 ⇒ p=0.4\begin{aligned}0.2+0.3p &= 0.32 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.4\end{aligned}

הענף 0.20.2 יוצא מ-Aˉ\bar{A}, שהסתברותו 1−p1-p.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא pp, והניסיונות בלתי תלויים. התאימו כל מאורע לביטוי שלו.

  • בדיוק 2 הצלחות ב-3 ניסיונות
  • ההצלחה הראשונה בניסיון השלישי
  • לפחות הצלחה אחת ב-3 ניסיונות
  • 3 הצלחות ב-3 ניסיונות
  • (1−p)2p(1-p)^2 p
  • 1−(1−p)31-(1-p)^3
  • 3p2(1−p)3p^2(1-p)
  • p3p^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בדיוק 2 הצלחות ב-3 ניסיונות — 3p2(1−p)3p^2(1-p) · ההצלחה הראשונה בניסיון השלישי — (1−p)2p(1-p)^2 p · לפחות הצלחה אחת ב-3 ניסיונות — 1−(1−p)31-(1-p)^3 · 3 הצלחות ב-3 ניסיונות — p3p^3

הפתרון:

(32)p2(1−p)\binom{3}{2}p^2(1-p)

ברנולי

1−(1−p)31-(1-p)^3

המשלים של «אף הצלחה»

שני הביטויים הראשונים דומים, וההבדל הוא הסדר: בברנולי כל סדר נספר, ובשאלת «הראשונה» הסדר קבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

70% מבקבוקי השמן בחנות מגיעים מבית בד א', ו-30% מבית בד ב'. בבית בד א' 90% מהבקבוקים באיכות מעולה, ובבית בד ב' 60%. בקבוק אקראי באיכות מעולה. מה ההסתברות שהוא מבית בד ב'? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.22

הפתרון:

P(T)=0.7⋅0.9+0.3⋅0.6=0.63+0.18=0.81\begin{aligned}P(T) &= 0.7 \cdot 0.9+0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.63+0.18 \\ &= 0.81\end{aligned}

הסתברות שלמה

0.180.81=29≈0.22\frac{0.18}{0.81}=\frac{2}{9} \approx 0.22

בייס

מי שענה 0.60.6 השתמש בענף, כלומר ב-P(T∣ב)P(T \mid \text{ב}), במקום בהסתברות בדיעבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת