סדרה 2 — בינוני · טבלאות ועצים · כיתה י״א

עשר שאלות של שניים-שלושה צעדים, מכל חלקי הפרק: בייס עם שלושה ענפים, עץ תלוי של שלושה שלבים, משוואה ריבועית ב- $p$ , «לכל היותר $n$ ניסיונות», ברנולי עם תנאי, שטח דרך המשלים והעברת כדור בין קופסאות.

בכל שאלה זהו קודם את סוג השאלה: טבלה, עץ תלוי, פרמטר, עד ההצלחה הראשונה או ברנולי. הסוג קובע את הכלי.

תרגילים

תרגיל 1

בספרייה עירונית שלושה סניפים. 50% מההשאלות נעשות בסניף הצפון, 30% בסניף המרכז ו-20% בסניף הדרום. ספר חוזר באיחור בהסתברות $0.1$ בצפון, $0.2$ במרכז ו- $0.3$ בדרום. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

הסתברות שספר אקראי חוזר באיחור: ____ , ספר חזר באיחור; ההסתברות שהושאל בצפון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הסתברות שספר אקראי חוזר באיחור: 0.17 , ספר חזר באיחור; ההסתברות שהושאל בצפון: 0.29

הפתרון:

\begin{aligned}0.5 \cdot 0.1+0.3 \cdot 0.2+0.2 \cdot 0.3 &= 0.05+0.06+0.06 \\ &= 0.17\end{aligned}

שלושה מסלולים

\frac{0.05}{0.17} \approx 0.29

בייס

לצפון יש מחצית מההשאלות, אבל רק כשליש מהאיחורים. מי שענה $0.5$ לא השתמש במידע «חזר באיחור».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בחידון שלוש שאלות. על הראשונה תלמיד עונה נכון בהסתברות $0.8$ . אחרי תשובה נכונה, ההסתברות לענות נכון על הבאה היא $0.8$ . אחרי טעות, $0.5$ . מה ההסתברות שיענה נכון על בדיוק שתי שאלות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.288

הפתרון:

0.8 \cdot 0.8 \cdot 0.2=0.128

הטעות בסוף

0.8 \cdot 0.2 \cdot 0.5=0.08

הטעות באמצע

0.2 \cdot 0.5 \cdot 0.8=0.08

הטעות בהתחלה

0.128+0.08+0.08=0.288

שלושה מסלולים

השאלות תלויות, ולכן אין כאן ברנולי: $3 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2=0.384$ היא טעות. כל מסלול מחושב לפי הענפים שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בכל אחד משני משחקים בלתי תלויים, קבוצה מנצחת בהסתברות $p$ , ו- $p>0.5$ . ההסתברות שתנצח בדיוק באחד מהם היא $0.42$ . מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

2p(1-p)=0.42

שני מסלולים

p^2-p+0.21=0

מסדרים ומחלקים ב- $-2$

\begin{aligned}p &= 0.3 \ \text{או} \ p \\ &= 0.7\end{aligned}

p=0.7

התנאי $p>0.5$

בלי התנאי $p>0.5$ היו לשאלה שתי תשובות. הביטוי $2p(1-p)$ לא משתנה כשמחליפים $p$ ב- $1-p$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא $0.25$ , והניסיונות בלתי תלויים. מהו מספר הניסיונות הקטן ביותר $n$ שבשבילו ההסתברות להצליח לפחות פעם אחת היא לפחות $0.75$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

1-0.75^n \geq 0.75 \ \Leftrightarrow \ 0.75^n \leq 0.25

המשלים

0.75^4 \approx 0.316 \qquad 0.75^5 \approx 0.237

מנסים ערכים

n=5

אינטואיציה של «ארבעה ניסיונות של רבע» נותנת $4$ , וזו טעות: $1-0.75^4 \approx 0.68$ . הסתברויות של ניסיונות חוזרים לא מתחברות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בכל יום בשבוע בקיץ, ההסתברות ליום שמשי היא $0.9$ , בלי תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שבשבוע של 7 ימים יהיו לפחות 6 ימים שמשיים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.85

הפתרון:

P_7(7)=0.9^7 \approx 0.478

כל השבוע

P_7(6)=7 \cdot 0.9^6 \cdot 0.1 \approx 0.372

בדיוק 6

0.478+0.372 \approx 0.85

«לפחות 6» הם שני מקרים: 6 או 7. מי שחישב רק $P_7(6)$ קיבל פחות ממחצית התשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מטילים מטבע הוגן 3 פעמים. ידוע שיצא «עץ» לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיצא «עץ» בכל שלוש ההטלות?

$\frac{7}{8}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{7}$
$\frac{1}{8}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{1}{7}$

הפתרון:

\begin{aligned}P(\geq 1) &= 1-\frac{1}{8} \\ &= \frac{7}{8}\end{aligned}

התנאי

\frac{1/8}{7/8}=\frac{1}{7}

שלוש «עץ» נמצא בתוך התנאי

הנכונה: $\frac{1}{7}$ . $\frac{1}{8}$ מתעלם מהתנאי. התנאי משאיר 7 סדרות שוות הסתברות, ורק אחת מהן היא «עץ-עץ-עץ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$ABCD$ ריבוע. $E$ אמצע הצלע $AB$ , ו- $F$ אמצע הצלע $BC$ . בוחרים נקודה אקראית בתוך הריבוע. מה ההסתברות שהיא בתוך המשולש $DEF$ ? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

\begin{aligned}S_{AED} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a \\ &= \frac{a^2}{4}\end{aligned}

משולש ישר זווית בקודקוד $A$

\begin{aligned}S_{EBF} &= \frac{a^2}{8} \\ \quad S_{FCD} &= \frac{a^2}{4}\end{aligned}

שני המשולשים האחרים

\begin{aligned}S_{DEF} &= a^2-\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{8}-\frac{a^2}{4} \\ &= \frac{3a^2}{8}\end{aligned}

הריבוע פחות שלושת המשולשים

\begin{aligned}P &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

יחס שטחים

את שטח $DEF$ קשה לחשב ישירות, וקל לחשב דרך המשלים: מה שנשאר מחוץ לו הוא שלושה משולשים ישרי זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: אם $A$ ו- $B$ בלתי תלויים, אז גם $\bar{A}$ ו- $\bar{B}$ בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-P(A)-P(B)+P(A \cap B)

המשלים של $A \cup B$

=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

אי-תלות

=(1-P(A))(1-P(B))=P(\bar{A})P(\bar{B})

פירוק לגורמים

הטענה נכונה. אם הידיעה ש- $A$ קרה לא משנה את הסיכוי של $B$ , גם הידיעה ש- $A$ לא קרה לא משנה אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 אדומים ו-2 לבנים. מעבירים כדור אקראי מקופסה I לקופסה II, ואחר כך שולפים כדור אקראי מקופסה II. מה ההסתברות שהכדור שנשלף מקופסה II אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.52

הפתרון:

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}

הועבר אדום: בקופסה II יש 3 אדומים מתוך 5

\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{25}

הועבר לבן: 2 אדומים מתוך 5

\frac{13}{25}=0.52

הסתברות שלמה

אחרי ההעברה יש בקופסה II 5 כדורים, לא 4. זה המכנה של הענף השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 אדומים ו-2 לבנים. מעבירים כדור אקראי מקופסה I לקופסה II, ואחר כך שולפים כדור אקראי מקופסה II. הכדור שנשלף מקופסה II אדום. מה ההסתברות שהכדור שהועבר היה אדום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.69

הפתרון:

\frac{9/25}{13/25}=\frac{9}{13} \approx 0.69

בייס

המכנה הוא ההסתברות מהשאלה הקודמת. $\frac{3}{5}$ הוא ההסתברות להעביר אדום לפני שיודעים מה נשלף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev