סדרה 3 — לקראת הבגרות · טבלאות ועצים · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת ההסתברות של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. שאלה ראשונה: פרמטר $p$ , בייס וברנולי (סעיפים א-ד). שאלה שנייה: קופסה שנבחרת בהגרלה ועד ההצלחה הראשונה (א-ג). שאלה שלישית: שלושה ענפים, התחום של $p$ והשוואה בדיעבד (א-ג).

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. כתבו את התוצאה של כל סעיף במדויק (שבר או כל הספרות), ועגלו רק בתשובה הסופית.

תרגילים

תרגיל 1

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. א. מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

\begin{aligned}P(K) &= 0.7p+0.4(1-p) \\ &= 0.4+0.3p\end{aligned}

הסתברות שלמה

\begin{aligned}0.4+0.3p &= 0.49 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.3\end{aligned}

הענף $0.4$ יוצא מ«גיטרה», שהסתברותה $1-p$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. ב. בוחרים באקראי תלמיד שמופיע בקונצרט. מה ההסתברות שהוא לומד גיטרה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.57

הפתרון:

\begin{aligned}P(G \cap K) &= 0.7 \cdot 0.4 \\ &= 0.28\end{aligned}

המסלול של הגיטרה

\frac{0.28}{0.49}=\frac{4}{7} \approx 0.57

בייס

המכנה הוא $0.49$ , כל המופיעים. $0.4$ הוא $P(K \mid G)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. ג. בוחרים באקראי 5 תלמידים מבית הספר. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם מופיעים בקונצרט? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.32

הפתרון:

P_5(2)=\binom{5}{2} \cdot 0.49^2 \cdot 0.51^3

ברנולי, עם $P(K)=0.49$

\approx 0.32

ההסתברות בברנולי היא $0.49$ מהנתונים, לא $0.7$ ולא $0.4$ : התלמידים נבחרים מכל בית הספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בבית ספר למוזיקה, $p$ מהתלמידים לומדים פסנתר והשאר לומדים גיטרה. מבין לומדי הפסנתר, 70% מופיעים בקונצרט של סוף השנה. מבין לומדי הגיטרה, 40% מופיעים. ידוע ש-49% מכלל התלמידים מופיעים בקונצרט. ד. ידוע שמבין 5 התלמידים שנבחרו, לפחות 4 מופיעים בקונצרט. מה ההסתברות שכל החמישה מופיעים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.16

הפתרון:

P_5(5)=0.49^5 \approx 0.0282

המונה

P_5(4)=5 \cdot 0.49^4 \cdot 0.51 \approx 0.1470

בדיוק 4

\frac{0.0282}{0.0282+0.1470} \approx 0.16

חלקי «לפחות 4»

עגלו רק בסוף. «כל החמישה» הוא חלק מ«לפחות 4», ולכן החיתוך הוא פשוט $P_5(5)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקופסה א' 4 כדורים כחולים וכדור צהוב אחד. בקופסה ב' 2 כדורים כחולים ו-3 צהובים. מטילים מטבע הוגן: אם יוצא «עץ» בוחרים בקופסה א', ואם יוצא «פלי» בוחרים בקופסה ב'. מהקופסה שנבחרה שולפים כדור אחד. א. מה ההסתברות שהכדור צהוב? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} &= \frac{4}{10} \\ &= 0.4\end{aligned}

הסתברות שלמה

מי שחיבר $\frac{1}{5}+\frac{3}{5}$ שכח את $\frac{1}{2}$ של המטבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בקופסה א' 4 כדורים כחולים וכדור צהוב אחד. בקופסה ב' 2 כדורים כחולים ו-3 צהובים. מטילים מטבע הוגן: אם יוצא «עץ» בוחרים בקופסה א', ואם יוצא «פלי» בוחרים בקופסה ב'. מהקופסה שנבחרה שולפים כדור אחד. ב. הכדור שנשלף צהוב. מה ההסתברות שנבחרה קופסה ב'? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

\frac{0.3}{0.4}=0.75

המסלול של קופסה ב' חלקי כל הצהובים

שלושה מתוך ארבעת הכדורים הצהובים נמצאים בקופסה ב', והמטבע נותן לשתי הקופסאות סיכוי שווה. לכן $\frac{3}{4}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בקופסה א' 4 כדורים כחולים וכדור צהוב אחד. בקופסה ב' 2 כדורים כחולים ו-3 צהובים. מטילים מטבע הוגן: אם יוצא «עץ» בוחרים בקופסה א', ואם יוצא «פלי» בוחרים בקופסה ב'. מהקופסה שנבחרה שולפים כדור אחד. ג. מחזירים את הכדור לקופסה שלו, וחוזרים על כל הניסוי (הטלת מטבע ושליפה) עד שנשלף כדור צהוב. מה ההסתברות שיידרשו בדיוק 3 ניסויים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.144

הפתרון:

P(Y)=0.4

מסעיף א, זהה בכל ניסוי

0.6^2 \cdot 0.4=0.144

שני ניסויים בלי צהוב, ואז צהוב

כל «ניסיון» כאן הוא הניסוי השלם של שני שלבים. ההסתברות להצלחה בו היא $0.4$ מסעיף א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במרכז ספורט שלושה חוגים. 50% מהמנויים בחוג שחייה, 30% בחוג טניס והשאר בחוג כדורסל, וכל מנוי בחוג אחד בלבד. מבין מנויי השחייה, $p$ מגיעים גם בסופי שבוע. מבין מנויי הטניס, $2p$ מגיעים בסופי שבוע, ומבין מנויי הכדורסל, מחצית. א. מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של $p$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

0 \leq p \leq 1

ענף $p$

0 \leq 2p \leq 1 \ \Rightarrow \ p \leq 0.5

ענף $2p$

0 \leq p \leq 0.5

חיתוך

התחום נקבע לפי הענף המחמיר: $2p$ . מי שענה $1$ בדק רק את הענף $p$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במרכז ספורט שלושה חוגים. 50% מהמנויים בחוג שחייה, 30% בחוג טניס והשאר בחוג כדורסל, וכל מנוי בחוג אחד בלבד. מבין מנויי השחייה, $p$ מגיעים גם בסופי שבוע. מבין מנויי הטניס, $2p$ מגיעים בסופי שבוע, ומבין מנויי הכדורסל, מחצית. ב. ידוע ש-32% מהמנויים מגיעים בסופי שבוע. מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

0.5p+0.3 \cdot 2p+0.2 \cdot 0.5=1.1p+0.1

שלושה מסלולים

\begin{aligned}1.1p+0.1 &= 0.32 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.2\end{aligned}

0.2 \leq 0.5

בתחום מסעיף א ✓

שלושה חוגים, ולכן שלושה מסלולים. בודקים שהפתרון בתחום שנמצא בסעיף א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במרכז ספורט שלושה חוגים. 50% מהמנויים בחוג שחייה, 30% בחוג טניס והשאר בחוג כדורסל, וכל מנוי בחוג אחד בלבד. מבין מנויי השחייה, $p$ מגיעים גם בסופי שבוע. מבין מנויי הטניס, $2p$ מגיעים בסופי שבוע, ומבין מנויי הכדורסל, מחצית. ג. ידוע ש-32% מהמנויים מגיעים בסופי שבוע. הוכיחו או הפריכו: מנוי אקראי שמגיע בסוף שבוע הוא, בהסתברות הגבוהה ביותר, מנוי טניס.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

0.5 \cdot 0.2=0.10

שחייה

0.3 \cdot 0.4=0.12

טניס

0.2 \cdot 0.5=0.10

כדורסל

\begin{aligned}\frac{0.12}{0.32} &= 0.375 > \frac{0.10}{0.32} \\ &= 0.3125\end{aligned}

המכנה משותף, ולכן משווים מונים

הטענה נכונה, אף שחוג הטניס קטן מחוג השחייה. בהסתברות בדיעבד המכנה משותף לכל החוגים, ולכן מספיק להשוות את המסלולים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev