תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: טבלה דו-ממדית, עץ עם שליפה בלי החזרה, פרמטר pp, עד ההצלחה הראשונה, ברנולי ויחס אורכים. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מבין 200 תיירים, 120 הגיעו בטיסה ישירה, ו-30 מהם ביקרו באילת. מבין 80 האחרים, 40 ביקרו באילת. תייר אקראי ביקר באילת. מה ההסתברות שהגיע בטיסה ישירה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.43

הפתרון:

30+40=7030+40=70

ביקרו באילת

3070=37≈0.43\frac{30}{70}=\frac{3}{7} \approx 0.43

המשבצת חלקי סך העמודה של התנאי

התנאי הוא «ביקר באילת», ולכן המכנה 70. 30120\frac{30}{120} הוא הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 0.50.5, והניסיונות בלתי תלויים. מה ההסתברות שההצלחה הראשונה תהיה בניסיון השלישי? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

0.52⋅0.5=0.1250.5^2 \cdot 0.5=0.125

שני כישלונות ואז הצלחה

כאן p=1−pp=1-p, ולכן כל מסלול של שלושה ניסיונות שווה 18\frac{1}{8}. רק מסלול אחד מתאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 2 «עץ»?

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 14\frac{1}{4}
  3. 38\frac{3}{8}
  4. 116\frac{1}{16}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 38\frac{3}{8}

הפתרון:

(42)⋅116=616=38\begin{aligned}\binom{4}{2} \cdot \frac{1}{16} &= \frac{6}{16} \\ &= \frac{3}{8}\end{aligned}

ברנולי

הנכונה: 38\frac{3}{8}. 116\frac{1}{16} הוא מסלול אחד, ויש 6 כאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

בקופסה 5 כרטיסים, ו-2 מהם זוכים. שולפים 3 כרטיסים בלי החזרה. מה ההסתברות שלפחות אחד מהם זוכה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.9

הפתרון:

35⋅24⋅13=110\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{10}

המשלים, אף כרטיס זוכה: שלושה לא זוכים ברצף

1−0.1=0.91-0.1=0.9

בלי החזרה המכנה יורד בכל שליפה. «לפחות אחד» מחשבים דרך המשלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון: P(A)=0.5P(A)=0.5, P(B∣A)=pP(B \mid A)=p, P(B∣Aˉ)=0.3P(B \mid \bar{A})=0.3 ו-P(A∣B)=0.625P(A \mid B)=0.625. מצאו את pp. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

P(B)=0.5p+0.15P(B)=0.5p+0.15

הסתברות שלמה

0.5p0.5p+0.15=0.625\frac{0.5p}{0.5p+0.15}=0.625

בייס

0.1875p=0.09375 ⇒ p=0.5\begin{aligned}0.1875p &= 0.09375 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.5\end{aligned}

הנתון P(A∣B)P(A \mid B) הוא הסתברות בדיעבד, ולכן המשוואה היא שבר. בדיקה: 0.250.4=0.625\frac{0.25}{0.4}=0.625 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בחדר 6 נורות. כל נורה נשרפת במהלך השנה בהסתברות 0.10.1, בלי תלות באחרות. מה ההסתברות שבמהלך השנה תישרף נורה אחת לכל היותר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.89

הפתרון:

P6(0)=0.96≈0.531P_6(0)=0.9^6 \approx 0.531

אף נורה

P6(1)=6⋅0.1⋅0.95≈0.354P_6(1)=6 \cdot 0.1 \cdot 0.9^5 \approx 0.354

בדיוק אחת

≈0.89\approx 0.89

«לכל היותר אחת» הוא 0 או 1. מי שחישב 1−0.1=0.91-0.1=0.9 התייחס לנורה אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הרופא קורא למטופל הבא ברגע אקראי בין 9:00 ל-9:40. מה ההסתברות שיקרא לו אחרי 9:25? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

40−2540=1540=0.375\begin{aligned}\frac{40-25}{40} &= \frac{15}{40} \\ &= 0.375\end{aligned}

אורך הקטע חלקי אורך התחום

המכנה הוא 40 הדקות של התחום, לא שעה שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

בקופסה nn כדורים לבנים ו-3 שחורים, ויש בה יותר כדורים לבנים משחורים. שולפים שני כדורים בלי החזרה. ההסתברות לקבל שני כדורים בצבעים שונים היא 12\frac{1}{2}. מצאו את nn.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2⋅nn+3⋅3n+2=122 \cdot \frac{n}{n+3} \cdot \frac{3}{n+2}=\frac{1}{2}

שני סדרים

12n=(n+3)(n+2) ⇒ n2−7n+6=0\begin{aligned}12n &= (n+3)(n+2) \ \Rightarrow \ n^2-7n+6 \\ &= 0\end{aligned}
n=1 או n=6\begin{aligned}n &= 1 \ \text{או} \ n \\ &= 6\end{aligned}
n=6n=6

יותר לבנים משחורים

שני הפתרונות הם מספרים טבעיים, ורק התנאי «יותר לבנים» בוחר ביניהם. בדיקה: 2⋅69⋅38=122 \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{3}{8}=\frac{1}{2} ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שחקן זורק 5 זריקות בלתי תלויות, ובכל אחת קולע בהסתברות 0.60.6. ידוע שקלע בדיוק 3 פעמים. מה ההסתברות שהזריקה האחרונה הייתה קליעה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

0.6⋅(42)0.62⋅0.420.6 \cdot \binom{4}{2} 0.6^2 \cdot 0.4^2

האחרונה קליעה, ועוד 2 מבין 4

(53)0.63⋅0.42\binom{5}{3} 0.6^3 \cdot 0.4^2

בדיוק 3

610=0.6\frac{6}{10}=0.6

החזקות מצטמצמות

התשובה שווה ל-35\frac{3}{5} ולא ל-pp: אילו pp היה 0.90.9, התשובה הייתה עדיין 0.60.6. בתנאי «בדיוק 3», כל אחת מ-5 הזריקות היא קליעה בהסתברות 35\frac{3}{5}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 0.20.2, והניסיונות בלתי תלויים. ידוע ששני הניסיונות הראשונים נכשלו. מה ההסתברות שההצלחה הראשונה תגיע לכל המאוחר בניסיון הרביעי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.36

הפתרון:

0.2+0.8⋅0.2=0.360.2+0.8 \cdot 0.2=0.36

הצלחה בניסיון 3, או כישלון בו והצלחה בניסיון 4

1−0.82=0.361-0.8^2=0.36

הניסיונות הבאים לא «זוכרים» את הכישלונות

שני הכישלונות כבר קרו, ולכן לא כופלים בהם שוב. מי שענה 0.82⋅0.36≈0.230.8^2 \cdot 0.36 \approx 0.23 חישב בלי התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת