תרגול · כלל נסיגה · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: איבר לפי המקום, כלל נסיגה, סדרת עזר, מחזור, תת-סדרות, סכום אינסופי ושבר מחזורי. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

נתונה הסדרה $a_n=2n^2-7$ . חשבו את $a_5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 43

הפתרון:

\begin{aligned}a_5 &= 2 \cdot 25-7 \\ &= 43\end{aligned}

$2 \cdot 5^2=50$ , לא $10^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה סדרה: $a_1=1$ ו- $a_{n+1}=2a_n+3$ . חשבו את $a_4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= 5 \\ \ a_3 &= 13 \\ \ a_4 &= 29\end{aligned}

איבר אחרי איבר

שלושה צעדים. מי שמחבר $3$ לפני הכפל מקבל $a_2=8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

חשבו את הסכום האינסופי $50+10+2+\ldots$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62.5

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 50 \\ \quad q &= \frac{1}{5}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{50}{\frac{4}{5}} \\ &= 62.5\end{aligned}

הסכום קצת יותר מ- $a_1+a_2=60$ , כמו שצריך. מי שמקבל $40$ כפל ב- $\frac{4}{5}$ במקום לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=6$ ו- $q=\frac{1}{2}$ . חשבו את סכום כל האיברים שבמקומות האי-זוגיים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_1 \\ &= 6 \\ \quad q_b &= \frac{1}{4}\end{aligned}

\frac{6}{\frac{3}{4}}=8

הסכום כולו $12$ , ולכן המקומות הזוגיים תורמים $4$ . מי שמציב $q=\frac{1}{2}$ מקבל $12$ , את הסכום של כל האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הסדרה $a_n=n^2+2n$ . איזה מהמספרים הבאים הוא איבר בסדרה?

$99$
$50$
$60$
$100$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $99$

הפתרון:

\begin{aligned}n^2+2n &= 99 \ \Rightarrow \ (n+11)(n-9) \\ &= 0\end{aligned}

$n=9$

\begin{aligned}n^2+2n &= 100: \ \Delta \\ &= 404\end{aligned}

לא ריבוע של מספר שלם

הנכונה: $99$ , $a_9=81+18$ . $100$ «נראה» מתאים, אבל $a_9=99$ ו- $a_{10}=120$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה סדרה: $a_1=2$ ו- $a_{n+1}=3-a_n$ . חשבו את $a_1+a_2+\ldots+a_{25}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38

הפתרון:

2, \ 1, \ 2, \ 1, \ \ldots

מחזור של $2$

12 \cdot (2+1)=36

$12$ מחזורים שלמים

\begin{aligned}36+a_{25} &= 36+2 \\ &= 38\end{aligned}

$25$ אי-זוגי: נשאר $a_{25}=2$

$25$ איברים הם $12$ מחזורים ועוד איבר אחד. מי שעונה $37.5$ כפל $25$ בממוצע, כאילו מספר האיברים זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כתבו את $0.1\overline{2}=0.1222\ldots$ כשבר מצומצם.

מונה: ____ , מכנה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מונה: 11 , מכנה: 90

הפתרון:

0.1+(0.02+0.002+\ldots)

החלק שלא חוזר, ואחריו סדרה הנדסית

\begin{aligned}\frac{0.02}{0.9} &= \frac{2}{90} \\ &= \frac{1}{45}\end{aligned}

$a_1=0.02$ , $q=0.1$

\begin{aligned}\frac{1}{10}+\frac{1}{45} &= \frac{9+2}{90} \\ &= \frac{11}{90}\end{aligned}

המחזור מתחיל רק בספרה השנייה. מי שכותב $\frac{12}{99}$ חשב את $0.\overline{12}=0.1212\ldots$ , מספר אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה סדרה: $a_1=2$ ו- $a_{n+1}=4a_n-3$ . באיזה מקום מופיע האיבר $1025$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}b_n &= a_n-1 \ \Rightarrow \ b_{n+1} \\ &= 4a_n-4 \\ &= 4b_n\end{aligned}

סדרת עזר הנדסית

\begin{aligned}b_1 &= 1 \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 4^{n-1}+1\end{aligned}

\begin{aligned}4^{n-1} &= 1024 \\ &= 4^5\end{aligned}

ניסוי: $4^4=256$ , $4^5=1024$

n=6

$1$ הוא המספר שהכלל לא מזיז: $4 \cdot 1-3=1$ . מי שעונה $5$ מצא את המעריך ולא את המקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1=12$ , וסכום כל איבריה הוא $18$ . חשבו את סכום כל איברי הסדרה $b_n=a_n^2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 162

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{12}{1-q} &= 18 \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}b_1 &= 144 \\ \quad q_b &= \frac{1}{9}\end{aligned}

ריבוע של סדרה הנדסית

\frac{144}{\frac{8}{9}}=162

הסכום של הריבועים אינו ריבוע הסכום: $18^2=324$ . יש לבנות את הסדרה החדשה ולסכום אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה סדרה: $a_1=1$ . כאשר $n$ אי-זוגי, $a_{n+1}=a_n+1$ . כאשר $n$ זוגי, $a_{n+1}=2a_n$ . חשבו את $a_{13}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 190

הפתרון:

1, \ 2, \ 4, \ 5, \ 10, \ 11, \ 22

שבעה איברים

\begin{aligned}a_{2k+1} &= 2(a_{2k-1}+1) \\ &= 2a_{2k-1}+2\end{aligned}

שני צעדים

\begin{aligned}c_k &= a_{2k-1}+2: \ 3 \\ 6 \\ 12 \\ 24 \\ \ldots\end{aligned}

הנדסית, $q=2$

\begin{aligned}a_{13} &= c_7-2 \\ &= 3 \cdot 2^6-2 \\ &= 190\end{aligned}

$13=2 \cdot 7-1$

$a_{13}$ הוא האיבר השביעי של תת-הסדרה. חישוב ישיר של שלושה-עשר איברים מגיע לאותה תשובה ומשמש בדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev