סדרה 3 — לקראת הבגרות · כלל נסיגה · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: שאלה על סדרה הנדסית אינסופית וסדרה שנבנית ממנה (סעיפים א–ד), שאלה על כלל נסיגה עם סדרת עזר (א–ג), ושאלה קצרה על סדרה שמוגדרת בנוסחה אחת ומתנהגת כמו שתי סדרות (א–ג). לכל סעיף פתיח זהה.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: מה ידוע, איזו סדרה הנדסית (איבר ראשון ומנה), ובדיקה בנתון אחד. סעיף שנשען על קודמו מתחיל מהתוצאה שלו.

תרגילים

תרגיל 1

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . א. מצאו את המנה $q$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

a_3+a_4=q^2(a_1+a_2)

כל איבר כפול $q^2$ מהאיבר שני מקומות לפניו

\begin{aligned}q^2 &= \frac{6}{24} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

q=\frac{1}{2}

הסדרה חיובית: $q>0$

$q=-\frac{1}{2}$ פותר גם הוא $q^2=\frac{1}{4}$ , אבל אז האיברים מתחלפים בסימן, בסתירה לנתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ב. מצאו את $a_1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

a_1(1+q)=24

$a_2=a_1q$

\begin{aligned}a_1 \cdot \frac{3}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 16\end{aligned}

\begin{aligned}16+8 &= 24 \\ \quad 4+2 &= 6\end{aligned}

בדיקה ✓

$a_1+a_1q=a_1(1+q)$ , לא $a_1 \cdot 2q$ . מי שכותב $2q$ מקבל $a_1=24$ , ואז $a_1+a_2=36$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ג. מגדירים $b_k=a_{2k-1}+a_{2k}$ (כלומר $b_1=a_1+a_2$ , $b_2=a_3+a_4$ , ...). מהי המנה של $b_k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}b_{k+1} &= a_{2k+1}+a_{2k+2} \\ &= q^2(a_{2k-1}+a_{2k})\end{aligned}

שני צעדים קדימה

\begin{aligned}q_b &= q^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{b_2}{b_1} &= \frac{6}{24} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה בנתונים ✓

$b$ מדלגת שני מקומות בכל צעד. ובדיקה: $\frac{24}{\frac{3}{4}}=32=\frac{16}{\frac{1}{2}}$ , כלומר סכום $b$ שווה לסכום $a$ , כמו שצריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$a_n$ סדרה הנדסית אינסופית יורדת שכל איבריה חיוביים. ידוע ש- $a_1+a_2=24$ ו- $a_3+a_4=6$ . ד. מסמנים ב- $S$ את סכום כל איברי $a_n$ , וב- $S_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים. מהו $n$ הקטן ביותר שעבורו $S-S_n<0.01$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{16}{\frac{1}{2}} \\ &= 32\end{aligned}

S-S_n=32\left(\tfrac{1}{2}\right)^n<0.01 \ \Rightarrow \ 2^n>3200

הופכים: הכיוון מתהפך

\begin{aligned}2^{11} &= 2048 \\ \quad 2^{12} &= 4096\end{aligned}

ניסוי: $n=12$

«מה שחסר לסכום» הוא $S \cdot q^n$ . מי שפותר $\left(\frac{1}{2}\right)^n<0.01$ בלי ה- $32$ מקבל $n=7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . א. הראו ש- $b_n$ הנדסית. השלימו.

$b_1=$ ____ , המנה של $b_n$ : ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $b_1=$ 3 , המנה של $b_n$ : 0.5

הפתרון:

\begin{aligned}b_{n+1} &= \frac{1}{2}a_n+1-2 \\ &= \frac{1}{2}(a_n-2) \\ &= \frac{1}{2}b_n\end{aligned}

מציבים את הכלל

\begin{aligned}b_1 &= 5-2 \\ &= 3\end{aligned}

$2$ הוא המספר שהכלל לא מזיז: $\frac{1}{2} \cdot 2+1=2$ . לכן בוחרים $b_n=a_n-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . ב. הביעו את $a_n$ באמצעות $n$ .

$a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=2-3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $a_n=2+3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

הפתרון:

b_n=3\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}

a_n=b_n+2

\begin{aligned}a_1 &= 5 \\ \quad a_2 &= 3.5 \\ &= \tfrac{5}{2}+1\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: $2+3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ . $5\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ מתעלמת מה- $+1$ בכלל. החזקה $n$ נותנת $a_1=3.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה סדרה: $a_1=5$ ו- $a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1$ . מגדירים $b_n=a_n-2$ . ג. חשבו את $(a_1-2)+(a_2-2)+(a_3-2)+\ldots$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(a_1-2)+(a_2-2)+\ldots=b_1+b_2+\ldots

זה בדיוק סכום $b_n$

\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=6

$|q|<1$

לסדרה $a_n$ עצמה אין סכום: האיברים מתקרבים ל- $2$ , לא ל- $0$ . מי שמחשב $\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=10$ סכם את הסדרה הלא נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . א. השלימו.

$a_1=$ ____ , $a_2=$ ____ , $a_4=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_1=$ 0 , $a_2=$ 0.5 , $a_4=$ 0.125

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= \frac{-2+2}{4} \\ &= 0\end{aligned}

$n$ אי-זוגי: המחוברים מבטלים זה את זה

\begin{aligned}a_2 &= \frac{4+4}{16} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= \frac{16+16}{256} \\ &= \frac{1}{8}\end{aligned}

כש- $n$ אי-זוגי, $(-2)^n=-2^n$ ולכן $a_n=0$ . כש- $n$ זוגי, $a_n=\frac{2 \cdot 2^n}{4^n}=2\left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . ב. מה נכון לגבי תת-הסדרה $a_2, a_4, a_6, \ldots$ ?

הנדסית עם מנה $\frac{1}{2}$
הנדסית עם מנה $\frac{1}{4}$
הנדסית עם מנה $-\frac{1}{2}$
אינה הנדסית

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הנדסית עם מנה $\frac{1}{4}$

הפתרון:

\begin{aligned}a_{2k} &= 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2k} \\ &= 2\left(\tfrac{1}{4}\right)^k\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{a_4}{a_2} &= \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: מנה $\frac{1}{4}$ . בין $a_2$ ל- $a_4$ יש שני צעדים של $\frac{1}{2}$ . מי שבחר $\frac{1}{2}$ ספר צעד אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הסדרה $a_n=\frac{(-2)^n+2^n}{4^n}$ . ג. חשבו את סכום כל איברי הסדרה $a_1+a_2+a_3+\ldots$ עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

a_1+a_2+\ldots=a_2+a_4+a_6+\ldots

המקומות האי-זוגיים תורמים $0$

\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}

\approx 0.67

הסדרה כולה אינה הנדסית (יש בה אפסים), אבל הסכום שלה הוא סכום של תת-סדרה הנדסית. מי שמציב $q=\frac{1}{2}$ מקבל $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev