סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בינוניות: איבר קטן ביותר, מחזור ארוך, סדרת עזר, סכום של המקומות הזוגיים, משוואה מעריכית בניסוי וטעייה, ושתי סדרות יחד.

בכל שאלה של שני צעדים או יותר: בדקו את התשובה ב-n=1n=1 או ב-n=2n=2. רוב הטעויות בפרק מתגלות בהצבה אחת.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הסדרה an=n2−10n+30a_n=n^2-10n+30. מהו האיבר הקטן ביותר בסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

n=102=5\begin{aligned}n &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

קודקוד הפרבולה, והוא מספר טבעי

a5=25−50+30=5\begin{aligned}a_5 &= 25-50+30 \\ &= 5\end{aligned}
a4=a6=6\begin{aligned}a_4 &= a_6 \\ &= 6\end{aligned}

בדיקה בשכנים ✓

כאן הקודקוד נופל על מקום שלם. מי שעונה 3030 חשב את a0a_0, ו-00 אינו מקום בסדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה סדרה: a1=2a_1=2 ו-an+1=an−1an+1a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n+1}. חשבו את a103a_{103}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5

הפתרון:

a2=13a3=−2343=−12\begin{aligned}a_2 &= \frac{1}{3} \\ \quad a_3 &= \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}
a4=−3212=−3a5=−4−2=2\begin{aligned}a_4 &= \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \\ &= -3 \\ \quad a_5 &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

מחזור של 44

103=4⋅25+3 ⇒ a103=a3=−12\begin{aligned}103 &= 4 \cdot 25+3 \ \Rightarrow \ a_{103} \\ &= a_3 \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

שארית 33

המחזור כאן הוא 44, לא 33: ממשיכים לחשב עד ש-a1a_1 באמת חוזר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה סדרה: a1=3a_1=3 ו-an+1=2an−5a_{n+1}=2a_n-5. מגדירים bn=an−5b_n=a_n-5. השלימו.

b1=b_1= ____ , המנה של bnb_n: ____ , a6=a_6= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: b1=b_1= -2 , המנה של bnb_n: 2 , a6=a_6= -59

הפתרון:

bn+1=2an−5−5=2(an−5)=2bn\begin{aligned}b_{n+1} &= 2a_n-5-5 \\ &= 2(a_n-5) \\ &= 2b_n\end{aligned}

הנדסית, q=2q=2

b1=3−5=−2\begin{aligned}b_1 &= 3-5 \\ &= -2\end{aligned}
b6=−2⋅25=−64 ⇒ a6=−59\begin{aligned}b_6 &= -2 \cdot 2^5 \\ &= -64 \ \Rightarrow \ a_6 \\ &= -59\end{aligned}
3,1,−3,−11,−27,−593, 1, -3, -11, -27, -59

בדיקה בכלל ✓

b1b_1 שלילי, ולכן הסדרה יורדת אף ש-q=2q=2. מי שכותב b1=3b_1=3 שכח לחסר 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית הוא 2727, והמנה שלה היא q=−12q=-\frac{1}{2}. מצאו את a1a_1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40.5

הפתרון:

a1=S(1−q)a_1=S(1-q)

מבודדים

=27⋅32=40.5=27 \cdot \frac{3}{2}=40.5

1−(−12)=321-(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}

בסדרה מתחלפת האיבר הראשון גדול מהסכום, כי האיבר השני שלילי. מי שמקבל 13.513.5 שכח את הסימן של qq.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ana_n סדרה הנדסית אינסופית עם a1=3a_1=3 ו-q=12q=\frac{1}{2}. חשבו את סכום כל האיברים שבמקומות הזוגיים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

a2=32q2=14\begin{aligned}a_2 &= \frac{3}{2} \\ \quad q^2 &= \frac{1}{4}\end{aligned}

תת-הסדרה

321−14=32⋅43=2\begin{aligned}\frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{4}} &= \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \\ &= 2\end{aligned}
S=312=62=13⋅6\begin{aligned}S &= \frac{3}{\frac{1}{2}} \\ &= 6 \\ \quad 2 &= \frac{1}{3} \cdot 6\end{aligned}

בדיקה: המקומות הזוגיים הם q1+q=13\frac{q}{1+q}=\frac{1}{3} מהסכום

שני שינויים יחד: איבר ראשון a2a_2 ומנה q2q^2. מי שמשנה רק אחד מהם מקבל 44 או 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

איזו מהסדרות הבאות עולה?

  1. an=(12)na_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n
  2. an=nn+1a_n=\frac{n}{n+1}
  3. an=5−na_n=5-n
  4. an=(−1)n⋅na_n=(-1)^n \cdot n
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב an=nn+1a_n=\frac{n}{n+1}

הפתרון:

an+1−an=n+1n+2−nn+1=1(n+1)(n+2)>0\begin{aligned}a_{n+1}-a_n &= \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} \\ &= \frac{1}{(n+1)(n+2)}>0\end{aligned}

ההפרש חיובי לכל nn

הנכונה: nn+1\frac{n}{n+1}, שמתקרבת ל-11 מלמטה. (−1)nn(-1)^n n מתחלפת, ולכן אינה עולה אף שהערך המוחלט שלה גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בסדרה 5,10,20,40,…5, 10, 20, 40, \ldots: באיזה מקום מופיע האיבר 51205120?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

5⋅2n−1=5120 ⇒ 2n−1=1024\begin{aligned}5 \cdot 2^{n-1} &= 5120 \ \Rightarrow \ 2^{n-1} \\ &= 1024\end{aligned}
210=1024 ⇒ n−1=10\begin{aligned}2^{10} &= 1024 \ \Rightarrow \ n-1 \\ &= 10\end{aligned}

ניסוי

n=11n=11

החזקה היא n−1n-1. מי שעונה 1010 מצא את המעריך, לא את המקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בפתרון שלפניכם שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

a1=1 an+1=3an+4\begin{aligned}a_1 &= 1 \\ \ a_{n+1} &= 3a_n+4\end{aligned}
bn=an+2 ⇒ bn+1=3bn\begin{aligned}b_n &= a_n+2 \ \Rightarrow \ b_{n+1} \\ &= 3b_n\end{aligned}
b1=3 ⇒ bn=3n\begin{aligned}b_1 &= 3 \ \Rightarrow \ b_n \\ &= 3^n\end{aligned}
an=3n+2a_n=3^n+2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: an=3n+2a_n=3^n+2 → an=3n−2a_n=3^n-2

הפתרון:

bn+1=3an+6=3(an+2)\begin{aligned}b_{n+1} &= 3a_n+6 \\ &= 3(a_n+2)\end{aligned}

השורה השנייה נכונה

bn=3⋅3n−1=3n\begin{aligned}b_n &= 3 \cdot 3^{n-1} \\ &= 3^n\end{aligned}

השורה השלישית נכונה

an=bn−2a_n=b_n-2

הטעות: חוזרים הפוך

בדיקה ב-n=1n=1 מגלה מיד: 31+2=5≠13^1+2=5 \neq 1. חוזרים מ-bb ל-aa בפעולה ההפוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: אם ana_n סדרה הנדסית עם q=−2q=-2, אז תת-הסדרה a2,a4,a6,…a_2, a_4, a_6, \ldots מתחלפת בסימן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

qb=q2=4>0\begin{aligned}q_b &= q^2 \\ &= 4>0\end{aligned}

מנה חיובית

הטענה אינה נכונה. המנה של תת-הסדרה היא q2q^2, והיא תמיד חיובית. כל האיברים במקומות הזוגיים באותו סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

an=2⋅3n−1a_n=2 \cdot 3^{n-1} ו-bn=(−1)nb_n=(-1)^n. חשבו את (a1+b1)+(a2+b2)+…+(a9+b9)(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\ldots+(a_9+b_9).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19681

הפתרון:

a1+…+a9=2(39−1)2=19682\begin{aligned}a_1+\ldots+a_9 &= \frac{2(3^9-1)}{2} \\ &= 19682\end{aligned}
b1+…+b9=−1b_1+\ldots+b_9=-1

ארבעה זוגות מתאפסים, נשאר b9=−1b_9=-1

19682−1=1968119682-1=19681

מפרקים לשני סכומים. בסכום של (−1)n(-1)^n עם מספר אי-זוגי של איברים נשאר איבר אחד: −1-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת